高考数学考点讲解考点导数的应用单调性最值极值新课标解析版

1、考点10 导数的应用（单调性、最值、极值）【高考再现】热点一 利用导数研究函数的单调性1.（2012年高考（辽宁文）函数y=x2x的单调递减区间为（）A(1,1B(0,1C1,+)D(0,+)【答案】B【解析】故选B2.（2012年高考（浙江理）设a0，b0A若，则ab B若，则abC若，则ab D若，则ab3.（2012年高考（浙江文）已知aR,函数(1)求f(x)的单调区间。(2)证明:当0x1时, 。【解析】(1)由题意得,当时,恒成立,此时的单调递增区间为.当时,此时函数的单调递增区间为.(2)由于,当时,.当时,.设,则.则有01-0+1减极小值增1所以.当时,.故.4.（2012年

2、高考（新课标理）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.得:当时,令;则当时,当时,的最大值为5.（2012年高考（陕西理）设函数,则（）A为的极大值点B为的极小值点C为的极大值点D为的极小值点【答案】D【解析】,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D.6.（2012年高考（重庆理）设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A函数有极大值和极小值B函数有极大值和极小值C函数有极大值和极小值D函数有极大值和极小值7.（2012年高考（重庆文）已知函数在处取得极值为(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,

3、求在上的最大值.【解析】:()因 故 由于 在点 处取得极值故有即 ,化简得解得()由()知,令 ,得当时,故在上为增函数;当 时, 故在 上为减函数当 时 ,故在 上为增函数.由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得极小值由题设条件知 得此时,因此 上的最小值为8.（2012年高考（广东文）设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,.(),令可得.因为,所以有两根和,且.当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点.当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递

4、增所以在内只有极小值点,没有极大值点.当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点.9.（2012年高考（江西文）已知函数在上单调递减且满足.(1)求的取值范围;(2)设,求在上的最大值和最小值.【解析】(1)由,则,依题意须对于任意,有,当时,因为二次函数的图像开口向上,而,所以须,即,当时,对任意,有,符合条件;当时,对任意,符合要求,当时,因,不符合条件,故的取值范围为.(2)因当时,在上取得最小值,在上取得最大值;当时,对于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值;当时,由,10.（2012年高考（江苏）若函数在处

5、取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.【解析】(1)由,得. 1和是函数的两个极值点, ,解得. (3)令,则. 先讨论关于 的方程 根的情况:当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2. 当时, ,一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 当时, ,于是是单调增函数,从而. 此时在无实根. 当时.,于是是单调增函数. 又,的图象不间断, 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根.

6、当时,于是是单调减两数. 又, ,的图象不间断,在(一1,1 )内有唯一实根. 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时有三个不同的根,满足. 现考虑函数的零点:( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点. ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 11.（2012年高考（湖南理）已知函数=,其中a0.(1)若对一切xR,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若

7、不存在,请说明理由. ()由题意知,令则【方法总结】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数yf(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.热点三 利用导数研

8、究综合问题12.（2012年高考（天津文）已知函数(I)求函数的单调区间; (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.13.（2012年高考（陕西文）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,求b+3c的最小值和最大值;(3)设,若对任意,有,求的取值范围;【解析】（）当 又当， 解法三：由题意，知 解得， 又， 当时，；当， 的最小值是-6，最大值是0（2）当时， 对任意上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下：14.（2012年高考（天津理）已知函数的最小值为,其中.()求的值;

9、()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.【解析】(1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）15.（2012年高考（陕西理）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.【解析】(1),时,在内存在零点.又当时, 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.注:()()也可合并证明如下:用表示中的较大者.当,即时,恒成立(3)证法一 设是在内的唯一零点,于是有又由(1)知在上是递增的,故,所以,数列是递增数列.证法二 设是在内的唯一零点则的零点在内,故,所以,数列是递增数列.【考点剖析】

10、一明确要求1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)4.会利用导数解决某些实际问题.二命题方向1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考

11、！4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.三规律总结两个注意(1)注意函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件三个防范【基础练习】1.(教材习题改编)函数f(x)1xsin x在(0,2)上是()A增函数B减函数 C在(0，)上增，在(，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增答案

12、：A解析：f(x)1cos x>0，f(x)在(0,2)上递增2(教材习题改编)函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是 ()A9B16C12 D11答案： B解析：由f(x)123x20，得x2或x2.又f(3)9，f(2)16，f(2)16，f(3)9，函数f(x)在3,3上的最小值为16.3(经典习题)已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_答案：(，3)(6，)解析：f(x)3x22mxm60有两个不等实根，即4m212×(m6)>0.m>6或m<3.4. (经典习题)若a>3，则方程x3ax2

13、10在(0,2)上恰有_个实根答案：1解析：设f(x)x3ax21，则f(x)3x22axx(3x2a)，由于a>3，则在(0,2)上f(x)<0，f(x)为减函数，而f(0)1>0，f(2)94a<0，则方程x3ax210在(0,2)上恰有1个实根5. (教材习题改编)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_【答案】 (1,11)【解析】f(x)3x230x333(x11)(x1)，当1<x<11时，f(x)<0，f(x)单调递减【名校模拟】一基础扎实1(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )已知向量，满足，且关于的函数

14、在实数集上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是 A B C D2.(2012年云南省第一次统一检测理)函数的极大值等于（A）（B） （C） （D）【答案】A【解析】，.当或时，当时，当时，取得极大值.的极大值等于.故选（A）.3.(山西省2012年高考考前适应性训练文)若商品的年利润（万元）与年产量（百万件）的函数关系式：（，则获得最大利润时的年产量为（ ） A4百万件 B3百万件 C2百万件 D1百万件【答案】B 【解析】依题意得，当时，；当时，因此当时，该商品的年利润最大，依题意得知，选B.4(浙江省温州中学2012届高三10月月考理）函数在区间上的最大值是.解析：，5.(东城区普通高中示

15、范校高三综合练习(二) （文）) (本题满分13分) 已知函数，.() 当时, 求函数的单调区间；() 当时，若任意给定的,在上总存在两个不同的，使 得成立，求的取值范围由题意可得 解得. 综上，a的取值范围为. -13分6.(河南省郑州市2012届高三第二次质量预测文)已知函数.(I)当时，求在上的最大值和最小值(II)若函数在1, e上为增函数，求正实数a的取值范围.所以，只需，所以. 12分7.(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知实数是常数，. 当时，是增函数.（）求的取值范围；（）设是正整数，证明：解：（），. 当时，是增函数，在时恒成立.即在时恒成立.当时，是减函数，

16、当时，. 8.(长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)（本题满分12分）已知函数（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。9.(湖北省八校2012届高三第一次联考文)（本小题满分14分）已知二次函数对任意实数均满足 （1）求的表达式； （2）若关于的方程在1，2上有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）设，若成立，求实数m的取值范围。（3）由题意可得（）当时，在为增函数，显然，如，使得成立，所以符合题意;9分当时，恒成立，所以不符合题意; 10分当时，在为减函数，在为增函数；，13分综上：14分10.（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）(

17、本小题满分14分)已知函数（）求此函数的单调区间及最值；（）求证：对于任意正整数n，均有（为自然对数的底数）；（）当a1时，是否存在过点（1，1）的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由()取，由知，故，取，则9分二能力拔高 11.（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）设直线x=t 与函数f（x）=，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1 B. C. D.【答案】C【解析】解：设函数y=f（x）-g（x）=x2-lnx，求导数得y =2x-1 /x =(2x 2 -1) /x当0x 时，y0，函数在(0， )上为单调减函数，当x 时

18、，y0，函数在(，+)上为单调增函数所以当x= 时，所设函数的最小值为1 /2 +1/ 2 ln2所求t的值为 .4.12. (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是A.B.C. D. 13. （湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）若函数在处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为 ( )A B C D答案：A 解析：由题意得，函数在处有极值， 所以，则， 即， 即函数在处的切线的斜率为，故选A。14.(湖北省八校2012届高三第一次联考文) 函数，其中是常数，其图像是一条直线，称这个函娄为线性函数，而对于非线性可导函

19、数，在已知点附近一点的函数值可以用下面方法求其近似代替值，利用这一方法，对于实数，取的值为4，则m的近似代替值是。答案：解析：由题意得，所以在上单调递增，选择附近的点，则。15.(湖北省武汉市2012年普通高等学校招生适应性训练文)（本小题满分14分）已知函数.（为自然对数的底）（）求的最小值；（）是否存在常数使得对于任意的正数恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.16.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考理）（本小题满分14分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e上的最大值为

20、-3，求a的值；（3）当a=-1时，试推断方程=是否有实数解.17.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）(本小题14分)已知，函数（其中为自然对数的底数） （）求函数在区间上的最小值； （）设数列的通项，是前项和，证明：18.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)（本题满分15分）设函数（），（）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；（）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”设，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由（）解法一：不等式

21、的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，令，由且， 所以函数的一个零点在区间， 则另一个零点一定在区间， 4分故解之得6分因此11分 下面证明恒成立设，则所以当时，；当时，因此时取得最大值，则故所求“分界线”方程为：15分19.（2012理科数学试卷）(本题满分14分) 设和是函数的两个极值点，其中，() 求的取值范围；() 若，求的最大值注：e是自然对数的底数 ()解:当时，若设，则于是有 构造函数（其中），则所以在上单调递减，故的最大值是 14分20.(北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)（本小题共13分）已知函数（）（）试讨论在区间上的单调性；（）

22、当时，曲线上总存在相异两点，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：. 【命题分析】第一问用求导数的方法求函数的单调区间，注意的两个根的大小。第二问曲线在点，处的切线互相平行，所以两个斜率相等，转化出恒成立问题，只需求出的最值即可。（）证明：由题意可得，当时，（，且）.即 ，所以，. 8分因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得. 11分令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为， 所以. 13分21.(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理) (本小题满分12分）已知函数(a ,bR，e为自然对数的底数），.(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；(II)当a&g

23、t;0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.法二：等价于在R上有解，即三提升自我22. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知点P在曲线y=ex(e自然对数的底数)上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是A.B. 2eC.D. e【答案】A【解析】：曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d，设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，y=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1，d=丨PQ丨的最小值为2d= ，故

24、选 A23(湖北省八校2012届高三第一次联考理)定义在R上的函数，则（ ）ABCD24（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）已知函数f (x)=f (p-x),且当时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则（ ）A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b【答案】D【解析】解：函数y=f（x）满足f（x）=f（-x），函数y=f（x）的图象关于直线x= 2 对称，因为当 x(0，/ 2 )时，f（x）=x+sinx，所以f（x）=1+cosx0在(0，/ 2 )上恒成立，所以函数在(0

25、，/2 )上是增函数，所以函数y=f（x）在（ /2 ， ）上是减函数因为2距离对称轴最近，其次是1，最远的时3，所以根据函数的有关性质可得：f（3）f（1）f（2），即 cab，故选D.25. (湖北文科数学冲刺试卷（二）)26.(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)（本小题满分14分）已知函数.（）求的单调区间；（）若，求证：函数只有一个零点，且；（）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.（本题可参考数据：）（）解：的定义域为. 1分令，或. 当时，函数与随的变化情况如下表：00极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.3分当时，. 所以，函数

26、的单调递减区间是.4分当时，函数与随的变化情况如下表：000极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.5分（）解：因为，所以对任意且由()可知：，且. 10分因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以，. 11分所以.当时，=>0. 所以. 13分所以的最小值为.所以使得恒成立的的最大值为.14分27.(2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)（本小题满分13分）已知函数： ,（1） 当时，求的最小值；（2）当时，若存在,使得对任意的恒成立，求的取值范围.(2) 若存在,使得对任意的恒成立，即当时，由（1）可知，, 为增函数，,当时为减函数，13分28.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理) (本小题满分12分)已知函数()讨论函数在定义域内的极值点的个数；()若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；()当，证明：（沈阳）()当且时，试比较的大小（大连）（）证明：，8分令，则只要证明在上单调递增，又，显然函数在上单调递增10分，即，在上单调递增，即，当