高考数学讲义微专题13利用函数解决实际问题(含详细解析)

1、微专题13 利用数学模型解决实际问题、基础知识: 1、使用函数模型解决实际问题(1)题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系(涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示)。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值(2)需用到的数学工具与知识点：分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数(二次函数，对勾函数等)，则可利用导数分析其单调性，进而求得

2、最值均值不等式：在部分解析式中(可构造和为定值或积为定值)可通过均值不等式迅速的找到最值。分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解(3)常见的数量关系: 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如:1平行四边形面积底高梯形面积 一 (上底 下底) 局2A _1二角形面积一底高2商业问题：利润营业额成本货物单价数量成本本息总和本金利息本金利率本金总价单价数量利息问题：利息本金利率(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变 量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。2、使用线性规划模型解决实际问题(1)

3、题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题(2)与函数模型的不同之处函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围 (或最值)线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。(3)解题步骤：根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示)，并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决(4)注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点

4、，代入到目标函数中并比较大小3、使用三角函数模型解决实际问题(1)题目特点：题目以几何图形(主要是三角形)作为基础，条件多与边角相关csinC(2)需要用到的数学工具与知识点:一 asin A sinB 正弦定理：设 VABC三边a,b,c所对的角分别为 A,B,C ,则有 余弦定理(以a和对角A为例)，a2 b2 c 2bccosA三角函数表达式的化简与变形函数y Asin x 的值域(3)解题技巧与注意事项：在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 在图形中要注意变量的取值范围二、典型例题： 例1：如图所示，将

5、一矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN ,要求M在AB的B延长线上， N在AD的延长线上，且对角线 MN过C点。已知AB 3米，AD 2米。(1)设AN x (单位：米)，要使花坛 AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；(2)若x 3,4)(单位：米)，则当AM ,AN的长度分别是多少时，花坛 AMPN的面积最大？并求出最大面积。(1)思路：根据相似三角形可得线段比例:SampnAN3x2AM x 232 ,解出x的范围即可解：QVNDC:VNAMND DCAMDCAN DCANANSampn3x232解得:NDANAM3x282，3 U(2)思路：求解：设fAN AD

6、AM 3x x-23x 依题息可得:x 232 x 64 0 x 08,AMPN面积的最大值，即求表达式3x2x 3,4)3x23L的最大值,x 2分离常数求解即3xND DC,从而解出 AMAN AM4=3x2x 22,1,2,根据对勾函数可得:1时，y达到最大值，即y27此时t 13,所以AN 3,AM答：当AN3,AM9时，四边形 AMPN的面积最大，为27m2例2:时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假 设某网校的套题每日的销售量 y (单位：千套)与销售价格：x (单位：元/套)满足的关系式m2y 4 x 6 ,其中2 x 6,m为常数.已知销售

7、价格为 4兀/套时，每日可售出x 2套题21千套.(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)m2解：(1)将x 4,y 21代入关系式可得：21m 4 4 6 m 102(2 )思路：依题意可得售出一套，所得利润为x 2元，所以总的利润102f x x 20 4x6 ，其中2 x 6,利用导数判定 f x的单调性，进而 x 2可求得最大值点x10斛：依题思所狄利润 f x x 2 y x 2 4x6x 2化简可得：f x4x3 56x2f' x 12x2 11

8、2x 240令f x 0 ,即解不等式 3x10Q2 x 6 解得x 310f x在2,10单调递增，在3240x 278 2 x 64 3x 10 x 610 x 6010,6单调递减3-10什r例3:某人销售某种商品,发现每日的销售量y (单位：kg)与销售价格x (单位：元/kg)满足关系式y150x 6 177x 6a(x 9)2,6 x 9,其中a为常数.已知销售价格为8元/kg时,x, 9 x 15该日的销售量是80kg.(1)求a的值;(2)若该商品成本为6元/kg ,求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大.一, 1502 . 一解：(1)当 x 8时，80 a

9、 8 9 ,解得：a 5x在x 取得取大值，即x ; 3.3 31505 x 9 ,6 x 9x 6y 177x,9 x 15 x 6(2)思路：依题意可得销售商品所获得利润f x x 6 y,所以f x也是一个分段函数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出f x的最大值。解：设商品利润为 f x ,则有f x x 6 y,由第(1)问可得：150177,915,6x9, 一一，2当 6 x 9时，f x 150 5 x 9 x 62贝 Ufx5x92x6x915 x 7 x 9令f x 0 ,由x 6,9 解得：6x7f x在6,7单调递增，在 7,单调递减f x f 7

10、1702当 9 x 15时，f x 177 x2 6x x 3186f x在9,15单调递减f xf 9 150f 7f 9f x max 170例4:已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费 236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天数，根P是多少元?据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用（2）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这 x天中用于配料的总费用 y （元）关于x的

11、函数 关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?解：（1）第8天剩余配料为2 200 400 （千克）第9天剩余配料为200千克该厂用于配料的保管费为：P 70 0.03 400 0.03 200 88 （元）(2)当 X 7时，y 360x 10x 236236 370x当 x 7时，y 360x 236 70 6 x 73x2 321x 432综上所述：y236 370x, x 73x2 321x 432,x 7设W为平均每天支付的费用，则 W ?x236 370x ,x 7x3x2 321x 432,x 7 x当x 7时，W236 370x c370x236，当x

12、 7时，Wx28267404_ .432当 x 7时，W 3x 321 3 x144144x321 3 2 x 321 393x， x_ ,144等号成立条件：xx 12xWmin 393 (元)例5:甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是5元，每人可为3位老人服务，乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，两校都有学生参加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45元，如何安排 甲，乙两校参加活动的人数，才能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少人？ 思路：本题涉及的变量有两个：甲校人数与乙校的人数，且所给条件均为关于两校

13、人数的不等式，所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为x,乙校人数为y,所求问题为目标函数z 3x 5y ,列出约束条件后通过数形结合即可求出z的最大值解：设甲校人数为 x,乙校人数为y,依题意，x,y应满足的条件为:5x 3 y 45x, y目标函数z3x 5y可得。动直线l经过M时,3x -,通过数形结合55z取得最大值5xQ M : x3y 45 y 1求救,6,5如图,zmax3x5y43某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人救生员没有直接从 A处游向B处，而是沿岸边自 A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行

14、进速度为2 米/秒，BAD 450。(1)分析救生员的选择是否正确;(2)在AD上找一点C,使救生员从A至ij B的时间为最短，并求出最短时间A解：(1)思路：所谓“选择是否正确”,是指方案二所用的时间是否比直接游到B处时间短,所以考虑分别求出两种方案所用的时间,再进行比较即可。解：从图形可得：AB 300 0 300，2,所以t1sin45o如2 150/(s) 2而 |AD BD| 300，所以 t2 300 300200(s)Qtit2 ,所以救生员的选择是正确的(2)思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量x ,并构造出时间关于 x的函数f x再求出f x的最小值即可。不妨设CD则BC

15、| V3002x2，所以时间x的最小值即可300 x 3002 x2,再求导求出 f解：设|CD| x,则|BC J3002 x2 ,设所用时间为fx工 300 x,3002 x2f x 62,，1 1 2x3002X2 3xf x -6 2 2.3002 x26,3002 x2令 f' x 0 ,即解不等式 3x J3002 x2 0 3x 53002 x222222 300-,9x2 3002 x2x2 ,解得：x 75V28f x在0,75j2单调递减，在 75j2,300单调递增f x min f 75应50 100 72 （秒）答：当|CD| 75应时，救生员所用的时间最短，

16、为 50 100企秒答：甲，乙两校参加活动的人数分别为6和5时，受到服务的老人最多，最多为 43人2例7:某人有楼房一幢，室内面积共计180m,拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18布，可住游客5名，每名游客每天住宿费 40元；小房间每间面积为 15nt可以住游客3名，每名游客每天住宿费 50元；装修大房间每间需要 1000元，装修小房间每间需要 600元.如果他只能筹款 8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为x间，小房间为y间，每天的房租收益为z元），求x,y各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能

17、获得最大的房租收益是多少？思路：本题的主要变量是 x,y,从题目中可发现对 x,y的约束条件有 3个，一个是房间数必须是非负整数，所以 x,y N ,第二个条件是室内面积为180m2,所以大小房间面积和要不大于180m2 ,第三个条件是装修费用总和不高于8000元，据此列出约束条件：18x 15y 180200x150y,所1000x 600y 8000,所求收益 z x, y N以该模型为线性规划问题，数形结合即可。解：依题意可得对 x, y的约束条件为：18x 15y 1806x5y601000x 600y 80005x3y40,所求目标函数为z 200x 150yx, y Nx, yN作

18、出可行域，依图可得：直线过 M 3,8或M 0,12时，z最大，即zmax 18000答：当大房间为3间，小房间为8间；或者不设大房间，小房间为12间时，收益最大，最大 值为18000元例8:某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB AD 4万米,BC 6万米，CD 2万米(1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD的面积及圆面半径 R的值(2)因地理条件的限制，边界AD,CD不能变更，而边界 AB, BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点 P,

19、使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值解：（1）在VABC中，由余弦定理可得： _ 22_ 2_AC AB BC 2AB BC cosB 在VADC中，由余弦定理可得： _ 22_ 2_AC AD DC 2AD DC cosD 因为四边形ABCD内接于圆 B D 180o cosB cosD所以由可得：42 62 2 4 6cosB 42 2 2 2 4 2cos B1解得：cosB B 60D 12021 1SABCD SVABC SVADCAB BC sin B AD DC sin DABCD V ABCV ADC2 214 6 sin60o 12 4 sin120o 8

20、« （万平方米）22由余弦定理可得：AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 28AC 2 .7AC 2 72R sin B 、3"2"4 2132.2iR 3(2)设 APx,CPSAPCDSVAPCSVADC由(1)可知SVADC若要APCD面积最大，只需 SVAPC取大SVAPC-AP CPsin P -AP3 CPsinB xy4在VAPC中，由余弦定理可得:AC2_22 _AP2 PC2 2AP PC cosP即28o2xy cos60xy 28Q x22xy28xy 2xy xy ,即 xy28当且仅当xy时，等号成立Sapcd2 .39:3所以

21、四边形APCD的最大面积为例9:如图是一块平行四边形园地ABCD ,经测量，AB20m,BC 10m, ABC 1200,(1)当点F与点C重合时，试确定点 E的位置ABCD的边上，不计路的宽度)拟过线段 AB上一点E设计一条直路 EF (点F在四边形 将该园地分为面积比为 3:1的左，右两部分，分别种植不同的花卉，设 EB x,EF y (单 位：m)(2)求y关于x的函数表达式(3)试确定点E,F的位置，使得直路 EF长度最短解：(1)当F与C重合时，SVBEFBE h (设h为平行四边形的高)SabcdAB hBE1h - AB h41 一 rr 1依也忌可信：SVBEF-SABCD即二

22、42一 1-一BE AB即E为AB的中点 2(2) Q E在线段AB上0 x 20当 x 10,20 时,可得F在线段BC上Q AB 20m, BC10m, ABC120oSyabcdABBC sin ABC20100.31SVEBF-SYABCD425 V3 Q SVEBF1 BE2BFsin120o ABF100在VBEF中EF2SEBE2EFBF2 2BE BFcosEBFx20,10 时,BCFCF 10 x当BECF时,100c 100 o2x cos120 x当BECF时,100002 100x点F在线段CD上,此时四边形EBCF为梯形或平行四边形CFEFEF2x2 5x 25综上所述可得:(3)即求y的最小值当 x 10,20 时，y10 sin60o，由 Sebcf1 _一 一一二 &ABCD25>/3 信:41022x 10 2 2 1 0 2x 10 cos120o10210 2x 2 22 10000x2100,102. x2 5x 25,0 x等号成立条件：x2 10000 x 10 x当 x 0,10 时，y 22 x2 5x 25一_ _o1010 2x cos602 x2 5x 25x 20102 10000x一210010000一2100 10