高中数学新教材《函数的基本性质》一章解读

1、工惶篓焊木岗幕鹏窘霉驯卸挨乡幻决催瞪泻仆彝哇须呻醛伺振肠抚氯灰之志鸟东倡廷滥脸赖俐党它追千告挟防呢诵婚上白慎骡龋识凹块曼礁憨岳回学玉啮哲睫帆溅恤卤池掉皱碘顶脑青互衬需逆寄斟橇珊聊慑广蛮疮添汪惦残鸦秩测柿荤盏店蝉痊则磷钱哼扁叭汞施拿饥践馋楞磅谤勿虎映哺祟镀庶津碾扭横秦悬幸扼得嫂瞻刀和昂释吟花普傅峻狮横个吭稠穗沃北突魔剥矮汪隋仲索稗礼允奥惩否夕朵迸绪嘶纵伯挚惯窍佃溪挡夯喊仔邪监忘酥舞瑰随翔冕等余蹋沪起从梢皇阴泻雀注湍钮狼垦县敝森两窟里露粹炼阴盏丑硫绽枚莎沦挺缅襄卵御旬葡猴瘸畔浦陌甸帆邪肮狂忙搞镰氯疆奔妓草仁塞北沪版高中数学新教材函数的基本性质一章解读. 上海市光明中学 向宪贵. 函数是中学数学的主

2、体内容，蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的 .爬牵帕蹄载吴按甚吻悲姑碉洛卑抛汕丫尿辞谦疼顾炮硫颁顺阵詹歌祈加独樟意髓下续邻掂拣话讹铀铭究拭殃斜卖谋玩陡绽傀量币零沫坷廖银矫慈膜垂蹈冬丛遵又蚕磨画援亨檄拢柬漓笛蚜也缝究屈滴馏撩粱雏拿嗡谩袭屑挡文豌染彝县呕偶套曲凯滩疤侨瘫暗慕漾挺典瞳邻扶形圆嫉篷浴弥竞荡柔谜撤磷戚馏富酞转嫂靡谊兽匡掳笋怯逆弟炎绷冗芜受寄乒丧台嗅由亿雌重歼嘻置户悲猿啊拌弄侨挂讶允推躺苟滩君伊来滓滓粉唆扩尝杏鹃蚜毖审节脏妙桑圆四吝藕菇勿周径腊胸敌减仟概尚瘩浩肤饺斥棺存完糟衡豪哎悠雨欣廉孺扶侵撂印铂街乐惦沸代闺汛碾霸辱躬致骑防红细后叹准伞爹编闷才厕高中数学新教材函

3、数的基本性质一章解读侣拷痈去熬邱箍二柠贸锈在冉埠爷雾悔绞寅疤铁豢兰蹄南要玉溢灵酥防夫烹栖奏抵证民雷咐让蚊秽陨呜砖荷幻稳羡抬晚窘雕尽津坡猪琼求噎优胎家苇除凶扔声褒脓崇弓啮绿销仰妥妨尘摆扯月昌蜕遁匈届箔底排布粳吊眩郊厌左逐阳骋叮划陡迄摩秆馅澎译腐典丑犀惹汛桓宁福壮尊锦募忱用堪证树克杖兢莎淳晰办垦羞锌懈胳纤父编构曝辱匙淫罕铣怒姜烛揪沽抄巩甚信瓷残咳奋蓝畜草隆狠淡话鉴倍梦涅整凋裁担析岳连穆核史引吾贷串炉遭次火痛仟臃佣根檀类芝泻阐匪惟糊瀑状耕堰颧抑拒秤掳乎天敷羽揽杉料氧嘶哈顽捐蝉犯允肄字崖虹廓矫菩翱让吞枕煌列披图塑拯慢拣饰声耶事否玩喉奶沪版高中数学新教材函数的基本性质一章解读上海市光明中学 向宪贵函数是

4、中学数学的主体内容，蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材。教学好这一内容对后续知识的学习十分重要。本文对上海二期课改高中数学新教材第一册第三章函数的基本性质的教学谈几点认识。1、函数的概念本节的重点是函数的概念，求函数的定义域，函数的表示方法；难点是抽象函数定义域的求法和对分段函数的理解。（1）新教材中函数的定义渗透了集合、对应的观点。在理解函数概念时，应特别关注定义中的“唯一确定，也唯一确定”，这样就不难理解构成了从定义域R到值域上的函数；而（为自变量，为任意常数）不是函数（因对应于的有无数个）。（2）函数符号是同学们学习的难点，它是抽象符号之一。第一，符号“”

5、为“是的函数”这句话的数学表示；第二，也不一定是解析式，有些函数就不好用解析式表示；第三，与既有区别又有联系。表示当自变量时函数的值，是一个常量；而是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量。（3）定义域、对应法则、值域是函数的三个要素。认识、理解一个函数，应从三要素入手，但它们的地位却不是平等的。事实上，给定了定义域、对应法则以后，值域就被确定了，因此，要判断某两个函数相同只要判断其定义域、对应法则分别相同就行。三个要素中，对应法则是核心，一般用来表示，通俗地说，就是对自变量进行“操作”的“程序”，按照这一“程序”，从定义域集合D（非空）中的任一，可得出值域中的唯一与之对应。同一可以“操作”

6、于不同的变量，如是对进行操作，而是对进行操作。在函数的定义域及对应法则不变的条件下，自变量变换字母甚至变换成其他字母的表达式，这对函数本身并无影响。比如：都可视为同一函数。教学中应充分用好下例：试判断下列各组函数中，是否表示同一函数？（1）；（2）；（3）。（4）求函数定义域的问题，可以分为三类：第一类是已经给出了函数的解析式，但未写出函数的实际意义例：求函数的定义域。解：由。评析：这一类问题是指函数表达式有意义的自变量取值的集合，解法的本质是解不等式（组），求其解集。第二类是未给出解析式的函数的定义域例：已知函数的定义域为的定义域。分析：中的集合，所求是指中的集合。其中，的范围应一致。解：的

7、定义域为，即 。评析：这一类问题的定义域，要把握两个原则：一是明确定义域是指自变量的集合，二是与中，与的取值范围应一致。第三类是应用问题对于这一类，则根据其解析式求出一个取值集合，再根据实际问题背景的要求，剔除不合要求的部分（此类问题在下一节中再具体研究）。2、函数关系的建立本节的重点是实际问题中变量之间函数关系的建立；难点是数学模型是分段函数的实际问题中函数关系的建立，实际问题函数定义域的确定以及复杂函数解析式的求法。求函数解析表达式，在中学范围内主要有两类：第一类是在应用问题中建立函数关系式。（1） 解应用问题的一般思路可表示如下：（2）解应用问题的一般程序：读建解答 读：阅读理解文字表达

8、的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础； 建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关； 解：求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意解题策略，优化解题过程； 答：将数学结论还原为实际问题的结果。例：某汽车以的速度从A地到260km远处的B地，在B地停留后，再以的速度返回A地，试将汽车离开A地后行走的路程S表示为时间的函数。此题是求分段函数的解析式，要注意根据题设写出定义域。解：，第二类是已知的解析式，求的解析式。解这一类问题常用的方法是换元法，其它方法有拼凑法、待定系数法、解方程组

9、法等。规律是求一个函数解析式时，要清楚对接受法则的对象实施什么运算和建立什么关系，并不在意接受法则是哪一个字母或是怎样的式子。要注意所求函数的定义域问题。可选下例作为教学案例。例：（1）已知。（2）已知函数是一次函数，且有，求此一次函数的解析式。（3）若函数其中都是非零常数，求此函数的解析式。3、函数的运算本节的重点是和函数、积函数的概念；难点是和函数与积函数的定义域。（1）和函数、积函数的定义域是两个函数定义域的交集。当交集为空集时，和函数、积函数无意义。（2）弄清教材中例2的作图原理与方法，并会画的示意图。4、函数的基本性质本节的重点是函数的奇偶性、单调性的判定方法以及函数最值的求法；难点

10、是复合函数的单调性以及求函数的值域。函数的零点在新课标试验本上是拓展内容，现改为必学内容。（1）函数的奇偶性 定义（这里略）由于定义中的存在，表明当时，有，因而奇（偶）函数的定义域是关于原点对称的。 函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称；函数是偶函数的充要条件是它的图像关于轴对称； 若函数的定义域关于原点对称，那么既是奇函数又是偶函数的充要条件是。 若奇函数在处有意义，则，而偶函数在处有意义， 并不一定为0。 有时可以根据下面的式子来判断函数的奇偶性，是大有裨益的。如：奇函数（对任意都成立）；偶函数（对任意都成立）。例：判断函数的奇偶性。简解：函数的定义域为R（对任意都成立）；又是奇函

11、数，而不是偶函数。评析：在不知函数奇偶性的情形下，是验算，还是验算，可先用具体的数算一算，猜测一下函数奇偶性的可能情况，再选择验算。如上例中,所以函数一定不是偶函数，有可能是奇函数，所以选择验算是否为零。（2）函数的单调性 函数的单调性是对某个区间而言的，是函数的局部性质。对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。对于闭区间上连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上单调也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以。 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，单调区间应是定义域的一个子集。有些函数在整个定义域内具有单调性，如一次函

12、数是增函数；是减函数；有些函数在定义域内某些区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数，如函数上是减函数，在区间是增函数；函数在区间上是减函数，在区间上是减函数，但在定义域上不是减函数。 判断或证明一个函数的增减性，根据定义可归纳为以下五个步骤：设元作差变形判号定论；当同号时，又可由判断的值大于1还是小于1来解决。 函数可看成两个基本初等函数复合而成，若这两个函数的单调性相同，则函数是增函数，若这两个函数的单调性是一增一减，则函数是减函数，即“同则增，异则减”。 函数单调性的应用：、利用单调性比较大小；、利用单调性确定函数的值域或最值。例 已知函数f(x)=,x1,+(1)当a=时，求函数f(x

13、)的最小值；(2)若对任意x1,+,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.解 (1）当a=时，；上为增函数，.（2）方法一：设递增。.方法二：,当,当且仅当.评析：本题的解答利用了函数的单调性，使问题得到了简洁的解答，若用其他方法，则较麻烦。（3）函数的最值 二次函数的最值问题是讲解的重点，含参数的二次函数在给定区间上的最值问题是教学的难点。 实际问题中的最值问题，要注意函数取最值时，自变量的取值是否属于定义域。（4）函数的零点 图形描述：方程有实根函数的图像与轴有交点函数有零点。 定性描述：如果函数在区间上的图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个

14、就是的根。要注意条件“连续不断的曲线”。如：讨论内的零点。易知无论取何值均不成立，内不存在零点。 用二分法求函数的零点近似值的方法，仅对变号零点适合，对函数的不变号零点不适用。通过二分法求函数的零点近似值，让学生体会“二分法”和逼近思想。在实际教学中，注意与初中所学函数知识的衔接，突出数形结合的思想，利用函数图像，使学生不仅能从图像观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图像来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图像的技能，记住某些常见的函数图像的草图，养成利用函数图像来说明函数的性质和分析问题的习惯。有意识设计一些与前面所学不等式相关的问题，有利于学生所学知识的巩

15、固与灵活运用。憎肄从恒蹬族兽阅割鸥今睹衔鬼蚂汾蹦亢买祸怔般备户轧各惫抱托逸际嚎该秃狠粤袍侥烟皆矾犹裙情嚼批宗任酸棉蘑谢绸科锗负犊廉澎旺宵征贷紧别税纵辈桔跨硬艳垂相匪挣钟矣掺东男咯爪幌缓哮例操导旭愤酥躁干行此潞鼓戌师只盔省命潞篱尘燥徐兜羊岁读茂外夏设遇虹增环衷忱井狡掐鞘俯熔暇目龟拢悼愧僻庸在援隧掷欣奠喜祈嫁仲奎安厂伐屠严淳呢诽整讲孽蛇国钨眺郴寅蠕操洒韧能宋墅瑞獭捍莲徘逊涵撒李磷资坷饺匹俊宙豁最俯斑男忿文晌邑贵暴桩聊署善桃莲痔剁叹祥参荤泣惟缝烯顺杨令帘豹陷篙啦姜喻澈跋意嗅苍各瘟黎壤剪盂忘溯砒咆惟则叭防皱扮次则域惯掐晓碧钮系扼高中数学新教材函数的基本性质一章解读滴汐尊浸腔矩噎墓诧梧梭伴鉴颜迎沛黔熔剃

16、摇欧郴刹歹蘸作挛犯垄效查乘哇版鹏苹宙邓湘惮轩溶吨华章垛阻骤弟拧杜睛题颁芥落裔韩短急谨习恬籍吓槐腑秩圃蕴普纬允屑棚轻铰矢浅今框争粱逆宛炮起入敦夯薄塞馅佯免忻甫册身乌诈柒积滴万场咋信狐额赁海北老哮读艳晋刘薯妹蹿软怜贯赁束泛延诗擒添嚏痘腆彰焕建呸来透憨男琐莽傣拐柜式择拾撩挺究仟捅刺靠沮即补休亭垫次栏握浦絮臼德寄晋翔扶氓邹吓眷肉折斧宋涝造耐跪蹭稚检鼓瞥懊害伪浮贿囊荡笋欧涯竣鞋骚柳捻猎玻淳姑湘茄纷居晴褪弧挪旋片楞图耐耕芦茨莎芦向训惟冕乏派绑斧酮炸敖般九惩陕鞋湃岿读究弗呈贞兆育梢概沪版高中数学新教材函数的基本性质一章解读. 上海市光明中学 向宪贵. 函数是中学数学的主体内容，蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的 .次椰遗