深圳市宝安区鹏晖中英文学校数学几何模型压轴题单元达标训练题(Word版含答案)

1、深圳市宝安区鹏晖中英文学校数学几何模型压轴题单元达标训练（Word版含答案）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在RtAABC中，Z4 = 90。，A3 = AC,点O，E分别在边A3，AC 上，AD = AE,连接。C,点M，P, N分别为OE, DC, 8c的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是 （2）探究证明：把/1£>石绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN, BD，CE,判断PMN的形状，并说明理由：（3）拓展延伸：把石绕点A在平而内自由旋转，若A£>=4, AB = 0,请直接写出尸MN面积的最大值.4

2、9【答案】（1） PM = PN, PM上PN ； （2 ）等腰直角三角形，见解析：（3） 2【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又AABC为 等腰直角三角形，AD=AE,所以得PN=PM,且互相垂直：（2）由旋转可推出再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN,再利 用角度间关系推导出垂直即可：（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM,且PM_LPN,利用三角形而积 公式求解即可.【详解】 (1) PM = PN, PM 工 PN ；已知点M，P, N分别为OE，DC. 8c的中点，根据三角形的中位线定理可得pm EC, P

3、N = >BD, PM HEC, PN/BD 22根据平行线性质可得ZDPM = /DCE, ANPD = ZADC在 RIM5C 中，ZA = 90°, AB = AC，AD = AE可得 BD = EC, ZDCE + ZADC = 90°即得PM = RV, PMLPN故答案为：PM = PN ； PM LPN .（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得ABAD = ZCAE, 又AB=AC, AD=AE . ABADACAE:.BD = CE, ZABD = ZACE, 点M,。分别为Of, DC的中点 PM是AOCE的中位线:.PM =?CE,且 PMHC

4、E, 2同理可证PN =8O,且PN"BD2:,PM=PN, ZMPD = AECD. /PNC = /DBC, ZMPD = ZECD = ZACD+ZACE = ZACD+ZABD,ZDPN = NPNC+NPCN = ZDBC+ZPCN, ZMPN = ZMPD+ZDPN = ZACD+ZABD+ZDBC+ZPCN = ZABC+ZACB = 90°即尸MN为等腰直角三角形.DZ（3）把A4D石绕点A旋转的如图的位置，B此时 PN = L（AO + A3） = 7, PM =-（AE + AC） = 7 22且N、PM的值最长，由（2）可知PM = PN, PM VP

5、N149所以"MN面积最大值为-x7x7 = .22【点睛】 本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的 判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系.2.在 Rt/kACB 和 RtzXAEF 中，ZACB= ZAEF=90% 若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE.图1图2图3如图1,若点E, F分别落在边AB, AC上，求证：PC = PE；如图2,把图1中的4AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探 索PC与PE的数量关系，并说明理由.如图3,把图2中的4AEF绕着点A顺时针旋转，点

6、F落在边AB上.其他条件不变， 问题中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明：如果变化，请说明理由.【答案】（1）见解析：（2） PC=PE,理由见解析：（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可：（2）先判断4CBP乡ZkHPF,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）先判断DAF02XEAF,再判断aDAP组EAP,然后用比例式即可;【详解】解：（1）证明：如图：,/ Z ACB = Z AEF=90°, FCB和 BEF都为直角三角形.点P是BF的中点，1 1/. CP= BF, EP= BF,22/. PC=PE.(2)

7、 PC=PE理由如下:如图2,延长CP, EF交于点H,/. EHCB, , N CBP = N PFH, NH = NBCP,.点P是BF的中点，/. PF=PB, . CBP合 HFP(AAS),/. PC=PH,Z AEF = 90%, , 1/.在 RtA CEH 中，EP= CH, 2 , PC=PE.（3）中的结论,仍然成立,即PC=PE,理由如下:如图3,过点F作FDJ_AC于点D,过点P作PMJ_AC于点M,连接PD, Z DAF = Z EAF, Z FDA=Z FEA=90",NDAF = NE", 在仆 DAF 和 EAF 中， /FDA = NFEA

8、,AF = AF,.A DAFW EAF(AAS),J AD=AE,AD = AE,在仆 DAP2 EAP 中，/DAP = ZEAP.AP = AP.二.a DAP* EAP (SAS),. PD = PF,FD±AC, BC±ACf PM_LAC,/. FD/BC/PM,DM _ FPmcpb'丁点P是BF的中点，J DM = MC,又；PMJLAC, PC=PD,又PD = PE,，PC=PE.【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的 性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点.3.如图，

9、在矩形A5C。中，AB = 6cm, AD = Scm,连接80,将A3。绕8点作顺 时针方向旋转得到A8'。'（9与3重合），且点。刚好落在3c的延长上，AZ7与 CO相交于点E.（1）求矩形48CQ与A?。'重叠部分（如图1中阴影部分AB'CE）的而积：（2）将以每秒2。%的速度沿直线5C向右平移，如图2,当&移动到C点时 停止移动.设矩形A5C。与A'8'O'重登部分的面积为）'，移动的时间为x,请你直接 写出）'关于n的函数关系式，并指出自变量x的取值范围:（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x,

10、使得AA8成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由.【答案】（1）-cm2 ：2-x2-x + 24(0<x<)225力一旦+（3）存在，使得AA'E成为等腰三角形的工的值有：。秒、|秒、"小二,）.25【解析】【分析】（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出8'。= 80 = 10cm,CDf = B,Df-BC = 2cm,利用N8Z>W的正切值求出CE的值，利用三角形的而积差即 可求阴影部分的面积：（2）分类讨论，当0«x<华时和当时，分别列出函数表达式：（3）分类讨论，当A斤=4斤时

11、：当时：当=时，根据勾股定理列方程即可.【详解】解：（1） ; AB = 6cm, AD = 8c7， .BD = 10cm, 根据旋转的性质可知B'D = BD = 10c?，CD = B'D BC = 2cm,6 CE：.CE = -cm928x6- 2x| + 2 = %叫;(2)当0Wx<3时,C0 = 2x+2, CE = -x.2+ 24：22164当一WxW4时，BC = 10-2x, CE = -(10-2x),一削0卬3工+23、733200（3）如图1,当阳= A8'时，x = 0秒: 如图 2,当 A4，= A斤时，AW = BM = BB&

12、#39; + B/M = 2x+ t A!M =NB = =5 AN2+AfN2=36,6.当5+ 2»竺I 5 )解得：X = 9叵»秒，（x= -6"二9舍去）；如图 2,当 AE = /VT时，AfN = BM =BB, + B,M =2x + , A'M =NB = v AB2 + BBf2 = AN2 + AfN2,36 + 4入6T3解得：工=大秒.2综上所述：使得AA'夕成为等腰三角形的x的值有：。秒、|秒、（、如二9 25【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全 而的分析问题，思考问题是

13、解决问题的关键.4 .阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC, CD上, NEAF二45。，连结EF,则EF=BE+DF,试说明理由.图1图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中.她先 后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB, AD是共点并且相等的，于是找到 解决问题的方法.她的方法是将 ABE绕着点A逆时针旋转90。得到 ADG,再利用全等的 知识解决了这个问题(如图2).参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)如图3,四边形ABCD中，AB=AD, N BAD=90。点E, F分别在边BC, C

14、D上，z EAF=45°.若N B, Z D都不是直角，则当N B与N D满足 关系时，仍有EF=BE+DF;(2)如图 4,在 ABC 中，Z BAC=90°, AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上，且N DAE=45。，若 BD=1, EC=2,求 DE 的长.图3D【答案】（1） N B+N D=180° （或互补）：（2）.。£=褒【解析】试题分析：（1）如图， ABE绕着点A逆时针旋转90。得到4ADG,利用全等的知识可知，要使 EF=BE+DF,即 EF=DG+DF,即要 F、D、G 三点共线,即N ADG+D ADF=180。,即Z B

15、+Z D=180°.把仆ABD绕A点逆时针旋转90。至4 ACG,可使AB与AC重合，通过证明a AEG级 AED 得到DE=EG,由勾股定理即可求得DE的长.(l)Z B+Z D=180° (或互补).(2)*/ AB=AC,/.把 ABD绕A点逆时针旋转90。至4 ACG,可使AB与AC重合.则NB=NACG, BD=CG, AD=AG.在 ABC 中，Z BAC=90°,/. Z ACB+Z ACG=Z ACB+Z B=90°于,即N ECG=90°.EC2+CG2=EG2.在a AEG与 AED中，Z EAG=Z EAC+Z CAG=Z

16、 EAC+Z BAD=900-Z EAD=45°=Z EAD.又,.,AD=AG, AE=AE,/. AEG合 AED .DE二EG.又CG=BD,/. bd2+ec2=de2.考点：1.而动旋转问题：2,全等三角形的判定和性质：3.勾股定理.5 .请阅读下列材料:问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=" , PC=1、求NBPC度数的 大小和等边三角形ABC的边长.李明同学的思路是：将aBPC绕点B逆时针旋转60。，画出旋转后的图形(如图2),连接 PP',可得P'PB是等边三角形，而PP'A又是直角三角形(由勾股定理的逆定

17、理可证)， 从而得到NBPC=NAP，B=:,进而求出等边AABC的边长为； 问题得到解决.请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3,在正方形ABCD内有一点P,且 PA=V5 , BP=JI , PC=1.求NBPC度数的大小和正方形ABCD的边长.【答案】(1) 150° , V7 ； (2) 135。，邪【解析】试题分析：(1)利用旋转的性质，得到全等三角形.利用(1)中的解题思路，把8PC,旋转，到8PA连接PP；8P-容易证明4PP堤直角 三角形，N8P，E=45°,已知边BF=8P=6,BE=BP'=，勾股定理可求得正方形边长.(1) 150&

18、#176; V7(2)将4 8PC绕点B逆时针旋转90°,得48PA 则4 8PC2 BP'A .：.APPC=l , 8P=8PZ=& ；连接PP',在RtA B，P中，; BP=BP，= , Z P8Pz=90°, , PP'=2 , Z 8P'P=450 ；在 AP'P 中，APf=l , PPf=2 t AP=y/5 ,v i2+22=>/52» 即 APPP'AP2; ,a APT是直角三角形，即N APzP=90。,/. Z AP'8=135l?. Z BPC=Z 4P'8=

19、135° .过点8作8EJ_A/,交AP'的延长线于点E:则 BEP堤等腰直角三角形，Z EPZ8=45。，E，=BE=1 ,/. AE=2 ；.,.在RS48E中，由勾股定理，得48=6； .N 8PC=135°,正方形边长为6.点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形， 等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利 用的图形位置，从而求解.6.在AAOB中，C, D分别是OA, 0B边上的点，将 OCD绕点0顺时针旋转到 OCD. （1）如图 1,若NAOB=90°, OA=OB,

20、C, D 分别为 OA, OB 的中点，证明：AC'=BD，； AC'J_BD'；（2）如图2,若 AOB为任意三角形且N AOB=0, CDII AB, AC，与BD咬于点E,猜想【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得出OC=OU, OD=OD', Z AOC=Z BOD证出OC=OD由SAS证明 AOCQ BODS得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出N OAU=N OBA,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出Z BEA=90°,即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OU, OD=OD Z A

21、OC=Z BOD由平行线得出比例式,得出41 二 丝，证明 AOC< BOD，得出N OAC=N OBD，再由对顶角相OA OE OD' OB等和三角形内角和定理即可得出N AEB=0.试题解析：（1）证明：. OCD旋转到 OCD,/. OC=OC OD=OD Z AOC'=N BOD', OA=OB, C、D 为 OA、OB 的中点，OC=OD». OC=ODOA=OB在仆AOCA BOD，中，A丝:二攵呼口 , OCr = OD，?. AOCQ a BODZ (SAS),/. AC'=BD'：延长AU交BA于E,交BO于F,如图1所

22、示： / A0C'2 a BOD', Z OACz=Z OBDS又N AFO=Z BFE, Z OAC'+N AFO=90/. Z OBD'+N BFE=90°, , Z BEA=90°, ACBD，；(2)解：NAEB=B成立，理由如下：如图2所示:OCD 旋转到 OCDS/. OC=OC OD=OD Z AOC=Z BODCD II AB,OC OD .怎一瓦OC OD' 不一诲OC' OA 无一五又N AOC=Z BOD，a AOC's BODS/. Z OACz=Z OBDS又N AFO=Z BFE,Z AEB

23、=Z AOB=0.图1考点：相似三角形的判定与性质：全等三角形的判定与性质：旋转的性质.7.在正方形ABCD中，点E , F分别在边BC , CD上，且NEAF二NCEF=45将ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到2ABG（如图），求证：2AEG乌ZAEF；若直线EF与AB , AD的延长线分别交于点M , N（如图），求证：EF2=ME2+NF2 ；将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图），请你直接写出线段EF, BE, DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析；（3） EF、2BEa2DF；【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG, N EA

24、F=NGAE=45。，故可证 AEG合 AEF： （2）将AADF绕着点A顺时针旋转90。,得到 ABG,连结GM.由（1）知 AEGaAEF,则EG二EF.再由 BME、 DNF、 CEF均为等腰直角三角形，得出 CE=CF, BE=BM, NF2DF,然后证明N GME=90°, MG=NF,利用勾股定理得出 eg2=me2+mg2,等量代换即可证明ef2=me2+nf2；（3）将 ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到 ABG,根据旋转的性质可以得到 ADa ABG,则 DF二BG,再证明 AEG2 AEF,得出 EG=EF,由 EG=BG+BE,等量代换 得至lj EF=BE+

25、DF.试题解析：（1） ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到 ABG, AF=AG, Z FAG=90 Z EAF=45% , Z GAE=45在aAGE与 AFE中，AG = AF , LGAE = FAE = 45 0 'AE = AE ：. AGE合 AFE (SAS)；圉（2）设正方形ABCD的边长为a.将 ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到aABG,连结GM.plljA ADF合 ABG, DF=BG.由（1）知仆 AEG AEF,/. EG=EF. Z CEF=45°, BME、DNF、 CEF均为等腰直角三角形,，CE=CF, BE=BM, NF=、|2DF,

26、/. a - BE=a - DF, , BE=DF,/. BE=BM=DF=BGt/. Z BMG=45°,/. Z GME=45°+45°=90°, , eg2=me2+mg2,EG=EF, MG、2BM2DF=NF, , ef2=me2+nf2；(3) EF2=2BE2+2DF如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将 ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到aAGH,连结HM. HE.由(1)知仆AEH合& AEF,则由勾股定理有(GH+BE) 2+BG2=EH2,即(GH+BE) 2+ (BM - GM) 2=EH2又EF=

27、HE, DF=GH=GM, BE=BM,所以有(GH+BE) 2+ (BE - GH) 2=EF2, 即 2 (DF2+BE2) =EF2阳考点：四边形综合题8.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：aX+bx+c与x轴相交于4 8两点，顶 点为D （0, 4） , 48=4点，设点0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180。，得到新的抛物线C'.（1）求抛物线C的函数表达式：（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围.（3）如图2, P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线cf上的对应点，设是c上的动

28、点，N是U上的动点，试探究四边形PMP' N能否3.【解析】【分析】 （1）由题意抛物线的顶点c （ 0,4 ） ,4（ 2y/2，0），设抛物线的解析式为 y = ax2+4,把A（ 2尤，0）代入可得。=一g，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线。的顶点坐标为（2m, -4）,设抛物线。的解析式为1 .4 -尸 + 42y = -(x-2niy -4 ,由 2,，消去y得到/一2四+ 2病一8 = 0,由题 y = (x-2/7/J2 -4意，抛物线u与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有 （-2?）24（2/一8）>0,2m > 0,解不等式组即可解决问题；

29、2nr-8>0（3）情形1,四边形PMPW能成为正方形.作PE_Lx轴于乙MH_Lx轴于H.由题意易知P（2,2）,当2胃?是等腰直角三角形时，四边形PM7N是正方形，推出PF=FM , ZPFM=90° ,易证可得 PE=FH=2 , EF=HM=2 - m,可得M （ m+2 , m - 2）,理由待定系数法即可解决问题：情形2,如图，四边形PMPN是正方 形，同法可得（巾-2,2-/）,利用待定系数法即可解决问题.【详解】（1）由题意抛物线的顶点C （ 0 , 4 ） , A （ 2值 , 0），设抛物线的解析式为y = ax' + 4 ,把 A （ 2夜，。）代

30、入可得 a= 抛物线c的函数表达式为y = -g/+4 .（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m, -4）,设抛物线U的解析式为1,4y =厂+4由<.21 Z-4y =-4消去 y 得至U-2lt + 2J-8 = 0 ,由题意，抛物线U与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有 （-2/h）2-4（2/m2-8）>0,2m > 0,2/一8>0解得 2 cm < 2x/2 r满足条件的m的取值范围为2cm < 2忘.（3）结论：四边形PM1/V能成为正方形.理由：1情形1,如图，作PEJ_x轴于轴于”.由题意易知P（2,2）,当APFM是等腰直角三角

31、形时，四边形PMPW是正方形，：.PF=FM t ZPFM=90° r 易证APFEgAFMH,可得PE=FH=2 , EF=HM=2 - m , ：.M （ m+2 , m - 2）, 点 M 在 y = -ix2 +4 上，.帆一2 = 一；（? + 2+4,解得 m=g - 3 或-g - 3 （舍弃），.,.m=Vi7 - 3时，四边形PMPW是正方形.情形2,如图，四边形PMPW是正方形，同法可得M（m-2,2-m）,把M （ m - 2 , 2 - m）代入 > =一;丁+4 中，2 ? = 一：（?一2+4 ,解得 m=6 或 0（舍 弃），二、初三数学圆易错题压

32、轴题（难）9.如图，抛物线丫 = / + 6* + «2?0力反（;为常数）的对称轴为y轴，且经过（0, 0）,1颓（16）两点，点F在抛物线上运动，以尸为圆心的经过定点月（0, 2）,求血的值;（2）求证：点产在运动过程中，。尸始终与“轴相交：（3）设。2与X轴相交于从“逆），N（%2,O）（%1<%2）两点，当儿灯为等腰三角形时，求圆心【答案】（1） a=4, b=c=O； （2）证明见解析：（3） P的纵坐标为。或4+20或4-2灯.【解析】试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a, b, c的值即 可：1（2）设P（X, y）,表示出OP的半径

33、r,进而与42比较得出答案即可：（3）分别表示出AM, AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可.试题解析：（1） .抛物线丫=2*2+6*+。（a, b, c是常数，aHO）的对称轴为y轴，且经过1(0, 0)和(A, 16)两点, 抛物线的一般式为：y=ax2,1A 16=a (F) 2,1解得：a=±4,1.图象开口向上，.a=4,1.抛物线解析式为：y=42,1故 a=4, b=c=0；(2)设P (x, y) , OP的半径尸次十，1点P在运动过程中，0P始终与X轴相交;作 PH_LMN 于 H,贝IJP

34、M=PN416 1文:PH=/2,则 MH=NH=Ja4 + 4-(;a)2=2,故 MN=4, /. M (a - 2, 0) , N (a+2, 0),又A (0, 2),二 AM=J(a-2)2 十 4, AN=d(。+ 2丁 + 4当 AM=AN 时，寸(a-2)2 + 4=d(。+ 2y + 汽解得：a=0,当 AM=MN 时，必-2)”=4,1解得：a=2±2、3 (负数舍去)，则4a2=4+24当 AN=MN 时，何+2)2+ 4=%1解得："-2±2炉(负数舍去)，则4a2=4-2凡考点：二次函数综合题.10.已知：在 ABC中，AB=6, BC=

35、8, AC=10, O为AB边上的一点，以0为圆心，OA长 为半径作圆交AC于D点，过D作00的切线交BC于E.（1）若0为AB的中点（如图1）,则ED与EC的大小关系为：ED_EC （填<"或" = "） （2）若0A<3时（如图2） , （1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当。过BC中点时（如图3）,求CE长.【答案】（1）ED=EC： （2）成立；（3） 3【解析】试题分析：（1）连接0D,根据切线的性质可得N ODE=90。，则N CDE+N ADO=90。，由 AB=6, BC=8, AC=10根据勾股定理的逆定理可证得N ABC=90。

36、，则N A+N C=90。，根据圆的 基本性质可得NA=/ADO,即可得到NCDE=NC,从而证得结论：（2）证法同（1）;（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接0DEO, DE为。0的切线.Z ODE=90°.Z CDE+Z ADO=90°AB=6, BC=8,AC=10.Z ABC=90°.Z A+Z C=90°A0=D0.Z A=Z ADO.Z CDE=Z C.ED=EC；（2）连接ODDB,DE为。0的切线.Z ODE=90°.Z CDE+Z ADO=90°AB=6, BC=8. AC=10.Z ABC

37、=90°.Z A+Z C=90°'AO=DO.Z A=Z ADO.Z CDE=Z C.ED=EC：(3) CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典 型.11.如图，ABC内接于。0.点。在AB边上，C。与08交于点E, ZACD=ZOBC；图1图2图3(1)如图1,求证：C0LA8：(2)如图 2,当N8AC=NOBC+N8CD 时，求证：80 平分NA8C：(3)如图3,在(2)的条件下，作0FJ_8c于点R交CD于点G,作0H_LCD于点儿 连 接FH并延长，交08于点P,交A8边于点M.若0F=3

38、, MH=5,求AC边的长.48【答案】(1)见解析：(2)见解析；(3)AC= =【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，得出NFCB=90。，再根据“同弧所对的圆周角相等''得 出NA=NF,再根据已知条件得N3=90。，得CDJ_AB：(2)延长B0交AC于K,由已知可得NA=N5,由NA+N2=90。得N5+N2=90。，根据三 角形的内角和定理及外角定理得出N9=N1得出BO平分NABC：(3)延长B0交AC于点K,延长CD交。O于点N,联结BN,由条件可得CH=NH, BF=CF,从而HF是ACBN的中位线，HFBN,得出N0EH=NEHM又由NOEH+N

39、EOH=NEHM+NOHP=90。可得 HM=OB=5,在 RtaOBF 中，根据勾股定理可得324BF=4,解出 BC=8, sinZOBC=-,所以可得 AC=2CK, CK=BCsinNOBC=9 得-48AC=5【详解】解：（1）如图 1,令NO8c=N1, ZACD=Z2ADB图1延长80交。0于F,连接CF. 8F 是。O 的直径，：.ZFCB=90°/.Zl+ZF=90%,弧8C=弓瓜BC,：.NA=/F 又,N1=N2,AZ2+Z>4 = 90%AZ3 = 90% ：.CDA_AB(2)如图 2,令NO8c=N1, ZBCD=Z4图2延长80交4c于KV ZA=

40、Z1+Z4, Z5=Z1+Z4,A N4=N5, / NA+/2 = 90°,，N5+N2=90。，AZ6 = 90°VZ7 = 180° - Z3=90AZ6=Z7,又:/5=/8, AZ9=Z2VZ2=Z1,，N9=N1,，80 平分NA8c（3）如图3,延长80交4c于点K,延长CD交。于点N,联结8/V图3 ；0H上 CN, 0F±BC:.CH=NH, BF=CF是 ZkCB/V 的中位线，HF/BN：./FHC= /BNC= ABAC ： /BAC=/0EH, ZFHC= ZEHM工 /0EH= ZEHM设EM、0E交于点P / /OEH+/E

41、OH= NEHM+NOHP=90。：NEOH=/OHP：.OP=PH:ZADC= ZOHC=90QJ.AD/OH:./PBM=/EOH, /BMP=/OHP：.PM=PB；PM+PH=PB+OP：.HM=0B=5在RtZiO8F中，根据勾股定理可得8F=43；.BC=8, sin NO 8c= 一5 ? NA+N48O= ZDEBZABO=90°：.NAK8+NCK8=90°：.OK±AC24AC=2CK. CK=8CsinNO8C=5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数 等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键

42、.（2）如图2,点E在AB弧上，DE交AC于点F,连接BE, BE = DF,求证：DF=DC：（3）如图3,在（2）的条件下，点G在BC弧上，连接DG,交CE于点H,连接GE,GF,若 DE = BC, EG = GH = 5, Sadfg = 9,求 BC 边的长.【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3）回【解析】【分析】（1）如图 1,连接 OA, OB, OD,由 NACB=NACD,可得 A£）=A8，可得 AB=AD；（2）连接 AE,由“SAS可证ABEWaADF,可得NBAE=NDAC,可证 BE = CD = DF：（3）如图3,过点F作FNJ_GD于N,过点C作

43、CM_LGD于M,连接GC,通过证明 FDNADCM,可得 FN = DM, CM = DN,由面积公式可求 FN=2, DM = 2, DH = 4,通,由勾股定理可求540过证明EGCs/DMC, GEHs/CHD,可得 ec=-cd, cd2=一 23解.【详解】图1V ZACB=ZACD. ZAOD=2ZACDt ZAOB = 2ZACB/. ZAOD=ZAOB： AD = ABAAD=AB；(2)如图2,连接AE,02； AE= AE：.ZABE=ZADE在ZABE lAADF 中AB = ADZABE = ZADFBE = DFAAABEAADF (SAS)AZBAE=ZDAC：

44、BE = CDA BE = DCVBE = DFADF = DC：（3）如图3,过点F作FN_LGD于N,过点C作CM1»GD于M,连接GC,S3VDE = BC, BE = CD, .四边形BCDE是平行四边形，AZEBC=ZEDC, 四边形BEDC是圆内接四边形，AZEBC+ZEDC = 180°,AZEDC=ZEBC = 90°, EC是直径，AZFGC=ZEDC=90°，ZFDN+ZMDC=90 且NMDC+/MCD=90°,AZFDN=ZMCD,且NFND= NCMD=90°, DF = DC, AAFDNADCM (AAS

45、) ，FN = DM, CM = DN, .* EG=GH=5,，/GEH = /GHE,且NGHE=/DHC, ZGEH=ZGDC, AZHDC=ZCHD,A CH = CD,且 CMLDH,，DM = MH = FN,Sadfg = 9,1A -DGxFN = 9>2A -x (5+2FN) xFN = 9,2，FN = 2,，DM = 2, DH=4,VZGEC=ZGDC> NEGC=NDMC,AAEGCADMC,.EC EG _ 5 = = 9CD DM 25 EC= - CD,且 HC=CD,23.eh=-cd,2/ZEGD=ZECD, NGEC=NGDC,GEHMCHD

46、,. EG EHCH 5CDDH-CD24.少=竺ZEC2- CD2 = DE2,75:.CD2-CD2 二 DE2 , 4以竺=阻4 3:回ABC= 770【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定 和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点.13.如图，四边形ABCD内接于。,AC为直径，AC和BD交于点E, AB=BC.（1）求NADB的度数;（2）过B作AD的平行线，交AC于F,试判断线段EA, CF, EF之间满足的等量关系，并 说明理由：（3）在（2）条件下过E, F分别作AB, BC的垂线，垂足分别为G,

47、 H,连接GH,交B0【答案】（1）45° ； （2） EA2+CF2=EF 理由见解析；（3） 672【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案:(2)线段EA, CF, EF之间满足的等量关系为:EA2+CF2=EF2.如图2,设NABE=a, NCBF呻，先证明 a+B=45°,再过 B 作 BNJ_BE,使 BN=BE,连接 NC,判定AEBgZkCNB(SAS)、aBFEABFN (SAS),然后在 R3NFC 中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2,将相 关线段代入即可得出结论：(3)如图3,延长GE, HF交于K,由(

48、2) EAFEF2,变形推得Saabc=S卯第bgkh, SaBGM=S四边影8Mh, SaBMH=S囚边形agm。，结合己知条件S双边形AGMO： S四边对chmo=8: 9,设 BG=9k, BH=8k,则CH=3+k,求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF,将它们代入 EA2+CF2=EF2,解得k的值，则可求得答案.【详解】解：(1)如图1,VAC为直径，A ZABC = 90° ,A ZACB+ZBAC=90° ,VAB = BC>A ZACB=ZBAC=45° ,A ZADB = ZACB=45° ：(2)线段EA, CF, EF之

49、间满足的等量关系为：EA2+CF2 = EF2.理由如下: 如图 2,设NABE=a, NCBF = B，ADBF, AZEBF=ZADB=45° , 又NABC=90° ,Aa+p=45" ,过 B 作 BN_LBE,使 BN = BE,连接 NC, VAB = CB, ZABE=ZCBN, BE=BN, AAAEBACNB (SAS),，AE = CN, ZBCN=ZBAE=45" , AZFCN=90c .VZFBN = a+p=ZFBE, BE = BN, BF = BF,AABFEABFN (SAS),，EF = FN, 在 RtZkNFC 中

50、，CF2+CN2=NF/. ea2+cf2=ef2：(3)如图3,延长GE, HF交于K, 5D由(2)EA2+CF2 = EF2, EA2+ CF2= EF2,222e S.aAGE+S.XFH = S/.EFK, e S.AGE+SacFh+S，i边和 BGEFH = S.、EFk+S h边无 bgefh，HI J S.ABC = S w 彩 8GKH，.11矩形BGKH， Saabc= S22e SaGBH = S. .AB。= S&CB。，A S/.BGM = S 川边形 8MH， SaBMH = S n边形 agm。，>«*S 闪边膨 AGMO： S 网边杉c

51、hmo = 8： 9,* Sabmh: Sabgm=8： 9,VBM 平分NGBH, /. BG： BH = 9： 8, 设 BG = 9k, BH = 8k,ACH = 3+k,VAG = 3,AAE = 3 72 >-CF= 72(k+3)，EF= 72(8k-3)，ea2+cf2 = ef2, (3V2)2 +1y/2(k + 3)2 =应(8k -3)2,整理得：7k2-6k-1=0, 解得：ki= - y (舍去)，k2=l.A AB = 12,AAO=-AB = 6J2 » 2A OO的半径为6【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与

52、性质、多边形的 而积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关 键.14.已知：AB为。0直径，弦CD_LAB,垂足为H,点E为。0上一点，AE = BE，BE与CD交于点F.图1图2图3（1）如图1,求证：BH = FH；（2）如图2,过点F作FG_LBE,分别交AC、AB于点G、N,连接EG,求证：EB=EG：（3）如图3,在（2）的条件下，延长EG交。0于M,连接CM、BG,若ON = 1, ACMG 的面积为6,求线段BG的长.【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3） 2M .【解析】【分析】（1）连接AE，根据直径所对圆周角等于90。及弧与弦的关系即可

53、得解：（2）根据题意，过点C作CSLFB,连接C£ BC,通过证明RtbCGQ = RtCBS , CBE = CGE 即可得解；（3）根据题意，过点G作GT_LCD于兀连接CN,设NCA3=e,证明CMG = SCNG（AAS）,再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AEV AB为直径：.ZAEB = 90P 'AE = BE；AE = BEA ZB = 45°又.CD_LA8 于 H:.NHFB = 45。:,HF = HB；(2)如下图，过点c作。_L/G, CS±FB,连接C£ BCA8 为直径，.NAC8

54、= NQCS=90。NGCQ = ZBCS . RtACGQ = RtACBS(AAS) CG = CB同理 ACBE = CGE(SAS):.EG = EB:(3)如下图，过点G作GT_LCO于二连接c/v设 NC43 = a 由(2)知：CM = CB CM = CB : HB = HF:,AHBF = AHFB = 45。 : GF ± BE ZNFH = 45°, /. NH = BH, :.CN = BC:.CM = CB = CN则：ZMEB = 2aZAEG = 90°-2a . ZE4G = ZEGA = 45°+aA ZM = ZMGC

55、 = 45°+tz.CMG = CNG(AAS) CMG面积为6S&cuv - S“gan = 6设 BH = NH = x, OA = OB = 2x+, AN = 2x+2则 zXCGT 三 ABS(AAS):C = BH =x：.AN CH-AN TH = 6.!(2a + 2)C7' = 6解得：x = 2,: BC2 = BH BA.802=2x10,则 8c=26 BG=>/2BC=2y/i0 .【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法 是解决本题的关键.15. (1)如图1, 4是。O上一动点，P是。外一点，在图中作出力最小时的点4 (2)如图2, RtZ48C中，ZC=90°, 47=8, 8c=6,以点C为圆心的OC的半径是3.6,Q是。C上一动点，在线段A8上确定