1998年全国高考文科数学试题及其解析

1、1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分，考试120分钟.第I卷（选择题共65分）选择题：本大题共 15小题；第 （10）题每小题4分，第（11）第（15）题每小题5分,65分.在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的1 (A)-21 (B)-2 sin600o(C)史2（2）函数y=a冈（a> 1）的图像是(0已知直线x=a（a>0）和圆（x 1）2+y2=4相切，那么a的值是)(D) 2(A) 5(B) 4(C) 3(4)(A) A1A2 + B1B2=0(B) A1A2 B1B2=0A1A2 (C)

2、-B1B2B1B2 (D)-A1 A2两条直线 A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是一 1 一 一一 一函数f（x）=（ xw0）的反函数f 1（x）= x(6)(A) x(xw0)(B)已知点 P(sin a cos a , tg3(A)(.，:2 43© (1二2 4)U()U(5（7）已知圆锥的全面积是底面积的1一 (xw 0) x(C) x(xw0)(D) -(x* 0)xa）在第一象限，则0, 2n内a的取值范围是(B) (-,-)U(4 2(D) (-,-)U(4 25T37, )3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为(A) 120o

3、(B) 150o(C) 180o(D) 240o(8)复数一i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是-2(B)2(C) 土,32(D)(9)如果棱台的两底面积是S,S',中截面的面积是So,那么(A) 2 & S S(B) S0= SS(C) 2So=S+ S'(D) So2SS(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共(A) 6 种(B)12 种(C) 18 种(D) 24 种#(11)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是123(D)()(12)椭圆的

4、焦点为F1,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是3(A) ±72(C) ± -(13)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为3个点的小圆的周长为4支，那么这个球的半径为(A) 4 3(B)2 . 3(C) 2(D)(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为1.5(A)2 5 2 (B)-.5 1(C)(D)11 一.1 j(15)等比数列an的公比为一一，刖n项的和&满足hmSn=，那么一的值为()2n a1al(A)V3(B)日(C)2(D),611 / 1021)(本小题满分11分)在 AB

5、C中，a, b, c分别是角 A, B,值.以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos,22cos cos 2 coscos22C 的对边，设 a+c=2b, A- C=,求 sinB 的sin sin 2 cossin22cos cos 2sinsin22二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.22(16)设圆过双曲线1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆 916心到双曲线中心距离是 (17) (x+2)10(x21)的展开的x10系数为 (用数字作答).(18)如图，在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件时，有

6、 AiCBiDi.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形.)(19)关于函数f (x)=4sin(2x+&)(xC R),有下列命题 y=f (x)的表达式可改写为 y=4cos(2x)；y=f (x)是以2式为最小正周期的周期函数;y=f (x)的图像关于点,0对称；y=f (x)的图像关于直线x=对称.66其中正确的命题的序号是 .(注：把你认为正确的命题的序号都.填上.)三.解答题：本大题共 6小题；共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分10分)设 awb,解关于 x 的不等式 a2x+ b2(1 - x)> ax+ b(

7、1 -x)2.(22)(本小题满分12分)如图，直线li和l2相交于点 M, li 口2,点N e li.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到12的距离与到点N的距离相等.若 AMN为锐角三角形，|AM|=Vi7, |AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线 C的方程.(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱 ABC-Ai Bi Ci的侧面Ai ACCi与底面AC= 2V3 ,且 AAi ±AiC, AAi= Ai Ci.(I )求侧棱AiA与底面ABC所成角的大小;(II )求侧面AiABBi与底面ABC所成二面角的大小;(出)求侧棱BiB和侧面 AiACCi的距离.(

8、24)(本小题满分i2分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入，经沉淀后从 B孔流出.设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 a, b的乘积ab成反比.现有制箱材料 60平方米.问当a, b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).(25)(本小题满分i2分)b(n )设数列an的通项an =1g(i已知数列bn是等差数列,bi=i, bi + b2+ - + bio=i00.(I )求数列bn的能项bn；+ -),记Sn是数列an的前n项的和.试比较 Sn与 bni1gbn+i的大

9、小，并证明你的结论.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.第(1) (1。)题每小题4分，第(11)(15)题每小题5分.满分65分.(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A(10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D2 .填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.(16) 16(17) 51203(18) ACXBD,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如 ABCD是正方形，菱形等(19)，注：第

10、(19)题多填、漏填白错填均给0分.3 .解答题：(20)本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法.满分 10分.解：将原不等式化为(a2 b2)x+b2>(a b)2x2+ 2(a b) bx+ b2,移项，整理后得(a b)2(x2 x) w 0,awb 即(ab)2>0,x2 x< 0,即 x(x- 1) <0.解此不等式，得解集 x|0W x<1.(21)本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.满分11分.解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+ sinC=2sinB.A C A

11、 C 由和差化积公式得2sinJCcosC 2sinB.2 2sin(A C) cosB 由 A+ B+ C=n，得一=,3 2又 A C=,得'cosC =sinB, 322UcosB=2sinBcosB.0<B<_ cosBw。222. .sinB=3,24从而 cosB= 1 sin22,.sinB=UT(22)本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.解法一：如图建立坐标系，以li为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.依题意知：曲线段 C是以点段的一段，其中

12、A、B分别为C的端点.设曲线段C的方程为满分12分.N为焦点，以12为准线的抛线y2=2 px (p> 0), (xa<x< xb,y>0),其中xa, xb分别为A, B的横坐标，P二|MN|.所以M (,2P0), N (2由 |am|=V17 ,|AN |二3 得由、两式联立解得xa=-,再将其代入式并由p>0解得Pp 4或Xa1Xa(xa+ )(xa )2+ 2Pxa=9.+ 2Pxa=17 2因为 AMN是锐角三角形,P所以 一>Xa,故舍去21- P=4, Xa=1 .由点B在曲线段 C上，得Xb=|BN|=4.综上得曲线段C的方程为y2=8x

13、(1<x< 4, y>0).解法二：如图建立坐标系，分别以 li、12为x、y轴，M为坐标原点.作 AEli, AD ±12, BFX12,垂足分别为 E、D、F.设 A (Xa, yA)、B (xb, yB)、N (xn, 0).依题意有Xa=|ME|=|DA|=|AN|= 3,yA=|DM |二 J|AM|DA|2 =2a/2 ,由于 AMN 为锐角三角形， 故有xn=|AE|+|EN|=4.22=|mei+x'|an|ae| =4Xb=|BF|=|BN|=6.设点P (x, y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合(x, y)|(x xN)2+y2

14、=x2, xa< x< xb, y>0.故曲线段C的方程y2=8(x-2)(3<x< 6, y>0).(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质, 空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.满分12分.注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分.解：(I )# AiDXAC,垂足为D,由面AiACC面ABC 得 Aid上面 ABC,/ AiAD为AiA与面ABC所成的角.AAiXAiC, AAi=AiC, / AiAD= 45o为所求.得 A1EXAB.(n)作 DEL AB,垂足为 E,连 A1E,

15、则由 AiDXW ABC,AiED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABXBC,得 ED/BC.又 D 是 AC 的中点，BC=2, AC=2 J3 ,DE=1, AD=AiD=V3, tgAiED=皿=V3.DE故/ AiED= 60o为所求.(出)作 BFXAC, F 为垂足，由面 AiACCi上面 ABC,知 BFL面 AiACCi .BiB/面 AiACCi, BF的长是BiB和面AiACCi的距离.在 RUABC 中，AB JACBC7 2/2 ,AB BC 2.6BF 为所求.AC 3(24)本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查

16、建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.满分 i2分.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=,其中k> 0为比例系数，依题 ab意，即所求的a, b值使y值最小.根据题设，有 4b+2ab + 2a=60(a>0, b>0),30 a2 a(0<a< 30=,当 a + 2=kabk30a a22 ak6434 a 2a 234r2, a64a 2ki864a 2时取等号,y达最小值.这时a=6, a=10(舍去).将a=6代入式得b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a, b的值使a

17、b最大.由题设知4a+ 2ab+2a=60(a>0, b>0)即a+2b+ab=30 (a>0, b>0). a + 2b>2vr0b ,2,2 ab+ abw 30,当且仅当a=2b时，上式取等号.由 a>0, b>0,解得 0vabwi8.即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18.1- 2b2=i8,解得 b=3, a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(25)本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.满分 12分.解：(I )设数列工bn

18、的公差为d,由题意得p1=1 , 10(10 1) Ll0bi+ -=100.2d解得内1=1,4=2.bn=2 n 一 1 .(n )由 bn=2n-1,知Sn=lg(1 +1)+lg(1 + 1)+ lg(1 + -)32n 1=ig(1 +1)(1 + 1) (1+T-),32n 1；lgbn+1=lg 42n 1 .1 11因此要比较Sn与一 lgbn+1的大小，可先比较(1 + 1)(1 + -)(1 +)与，2n 12 32n 1的大小.取 n=1 有(1 + 1)> J2 1 1 ,取 n=2 有(1 + 1)(1 + -)> V 2"1 13由此推测(1 +1)(1+-)(1+ )>、2n 1.32n 1若式成立，则由对数函数性质可判定：1Sn > lgbn + 1.下面用数学归纳法证明式.(i)当n=1时已验证式成立.(ii)假设当n=k (k>1)时，式成立，即(1 + 1)(1+ 1) (1+-1-)> v/2k1 ,32k 1那么，当n=k+ 1时，(