2022年中考数学必考考点专题18解直角三角形问题含解析202222061160

1、专题18 解直角三角形问题 专题知识回顾 一、勾股定理1勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。 4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4

2、)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在abc中，c=90°把锐角a的对边与斜边的比值叫做a的正弦，记作sina （2）余弦：在abc中，c=90°，把锐角a的邻边与斜边比值的叫做a的余弦，记作cosa （3） 正切：在abc中，c=90°，把锐角a的对边与邻边的比值叫做a的正切，记作ta

3、na 2.特殊值的三角函数：sincostancot0°010不存在30°45°1160°90°10不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1仰角：视线在水平线上方的角；2俯角：视线在水平线下方的角。3坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。四、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sina=cos(90°a)，cosa=sin(90°a)tana=cot(90°a)，cota=tan(90°a)（2）平方关系 （3）倒数关系 tan

4、atan(90°a)=1（4）弦切关系 tana=专题典型题考法及解析 【例题1】（2019湖北省鄂州市）如图，已知线段ab4，o是ab的中点，直线l经过点o，160°，p点是直线l上一点，当apb为直角三角形时，则bp 【答案】2或2或2【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2分apb90°、pab90°、pba90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可aoob2，当bp2时，apb90°，当pab90°时，aop60°，apoatanao

5、p2，bp2，当pba90°时，aop60°，bpobtan12，故答案为：2或2或2【例题2】（2019湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔c的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛a出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔c的南偏东45°方向上的b处，这时轮船b与小岛a的距离是（）a30nmileb60nmilec120nmiled（30+30）nmile【答案】d 【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线过点c作cdab，则在rtacd中易得ad的长，

6、再在直角bcd中求出bd，相加可得ab的长过c作cdab于d点，acd30°，bcd45°，ac60在rtacd中，cosacd，cdaccosacd60×30在rtdcb中，bcdb45°，cdbd30，abad+bd30+30答：此时轮船所在的b处与灯塔p的距离是（30+30）nmile【例题3】（2019江苏连云港）如图，海上观察哨所b位于观察哨所a正北方向，距离为25海里在某时刻，哨所a与哨所b同时发现一走私船，其位置c位于哨所a北偏东53°的方向上，位于哨所b南偏东37°的方向上（1）求观察哨所a与走私船所在的位置c的距离；

7、（2）若观察哨所a发现走私船从c处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在d处成功拦截（结果保留根号）（参考数据：sin37°cos53°，cos37°sin53°，tan37°，tan76°4）【答案】（1）观察哨所a与走私船所在的位置c的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在d处成功拦截【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出acb90°，再解rtabc，利用正弦函数定义得出ac即可；在abc中，acb180°

8、;bbac180°37°53°90°在rtabc中，sinb，acabsin37°25×15（海里）答：观察哨所a与走私船所在的位置c的距离为15海里；（2）过点c作cmab于点m，易知，d.c.m在一条直线上解rtamc，求出cm、am解rtamd中，求出dm、ad，得出cd设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶cd所用的时间等于缉私艇行驶ad所用的时间列出方程，解方程即可过点c作cmab于点m，由题意易知，d.c.m在一条直线上在rtamc中，cmacsincam15×12，amaccoscam15×9在

9、rtamd中，tandam，dmamtan76°9×436，ad9，cddmcm361224设缉私艇的速度为x海里/小时，则有，解得x6经检验，x6是原方程的解答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在d处成功拦截 专题典型训练题 一、选择题1（2019渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）a1，2b1，3，4c2，3，6d4，5，6【答案】a【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可a.12+（）222，故是直角三角形，故此选项正确；b.12+3242，故不是直角三角形，故此选项错误；c.22+3262，故不是直角三角

10、形，故此选项错误；d.42+5262，故不是直角三角形，故此选项错误2（2019巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）a，b32，42，52cd0.3，0.4，0.5【答案】d【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可a.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；b.（32）2+（42）2（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；c.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；d.0.032+0.0420.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。3.（2

11、019广西省贵港市）将一条宽度为的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为，重叠部分为（图中阴影部分），若，则重叠部分的面积为abcd 【答案】【解析】过作于，则，依据勾股定理得出的长，进而得到重叠部分的面积如图，过作于，则，中，重叠部分的面积为，故选：4.（2019贵州省毕节市） 如图，点e在正方形abcd的边ab上，若eb1，ec2，那么正方形abcd的面积为（）ab3cd5【答案】b【解析】勾股定理四边形abcd是正方形，b90°，bc2ec2eb222123，正方形abcd的面积bc23故选：b5（2019南岸区）如图，在rtabc中，a90°，c30°，bc的垂

12、直平分线交ac于点d，并交bc于点e，若ed3，则ac的长为（）a3b3c6d9【答案】d【解析】根据线段垂直平分线的性质得到dcdb，debc，求出bddc2de3，根据直角三角形的性质计算即可de是线段bc的垂直平分线，dcdb，debc，c30°，bddc2de3，dbcc30°，在abc中，a90°，c30°，abc60°，abd60°30°30°，adbd3，acdc+ad96（2019西藏）如图，在o中，半径oc垂直弦ab于d，点e在o上，e22.5°，ab2，则半径ob等于（）a1bc2d2

13、【答案】b 【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出odb是等腰直角三角形，进而得出答案半径oc弦ab于点d，eboc22.5°，bod45°，odb是等腰直角三角形，ab2，dbod1，则半径ob等于：7.（2019江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是（ ）abcd【答案】c 【解析】考察角的三角函数值，中等偏易题目过作交于，在中，8.（2019湖南长沙）如图，abc中，abac10，tana2，beac于点e，d是线段be上的一个动点，则cd+b

14、d的最小值是（）a2b4c5d10【答案】b【解析】如图，作dhab于h，cmab于m由tana2，设aea，be2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明dhbd，推出cd+bdcd+dh，由垂线段最短即可解决问题如图，作dhab于h，cmab于mbeac，abe90°，tana2，设aea，be2a，则有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍弃），be2a4，abac，beac，cmac，cmbe4（等腰三角形两腰上的高相等）dbhabe，bhdbea，sindbh，dhbd，cd+bdcd+dh，cd+dhcm，cd+bd4，cd+bd的最小值为4二、填空题9.（2019&

15、#183;贵州安顺）如图，在rtabc中，bac90°，且ba3，ac4，点d是斜边bc上的一个动点，过点d分别作dmab于点m，dnac于点n，连接mn，则线段mn的最小值为 【答案】【解析】bac90°，且ba3，ac4，bc5，dmab，dnac，dmadnabac90°，四边形dman是矩形，mnad，当adbc时，ad的值最小，此时，abc的面积ab×acbc×ad，ad，mn的最小值为。10. （2019贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点c在fd的延长线上，点b在ed上，abcf，facb90&

16、#176;，e45°，a60°，ac10，则cd的长度是 【答案】155【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理过点b作bmfd于点m，在acb中，acb90°，a60°，ac10，abc30°，bc10×tan60°10 ，abcf，bmbc×sin30°10×5，cmbc×cos30°15，在efd中，f90°，e45°，edf45°，mdbm5 ，cdcmmd155 故答案是：15511. (2019海南)如图,将rtabc的斜边ab绕

17、点a顺时针旋转(0°<<90°)得到ae,直角边ac绕点a逆时针旋转(0°<<90°)得到af,连接ef,若ab3,ac2,且+b,则ef_.【答案】【解析】+b,eafbac+b90°,aef是直角三角形,且aeab3,afac2,ef12.（2019黑龙江哈尔滨）如图将abc绕点c逆时针旋转得到abc,其中点a与a是对应点,点b与b是对应点,点b落在边ac上,连接ab,若acb=45°,ac=3,bc=2,则ab的长为 【答案】：【解析】将abc绕点c逆时针旋转得到abc，aca'c3，acbaca

18、'45°a'cb90°a'b13.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是_【答案】【解析】如图，过a作adbc于d，则adbadc90°，abac2，b30°，adab，由勾股定理得：bd3，同理cd3，bc6，abc的周长为bc+ab+ac6+2+26+414.（2019浙江宁波）如图，某海防哨所o发现在它的西北方向，距离哨所400米的a处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的b处，则此时这艘船与哨所的距离ob约为 米（精确到1米，参考数据：1.41

19、4，1.732）【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的应用方向角的问题此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想通过解直角oac求得oc的长度，然后通过解直角obc求得ob的长度即可如图，设线段ab交y轴于c，在直角oac中，acocao45°，则acocoa400米，ocoacos45°400×200（米）在直角obc中，cob60°，oc200米，ob400456（米）故答案是：45615.（2019海南省）如图，将rtabc的斜边ab绕点a顺时针旋转（0°90

20、6;）得到ae，直角边ac绕点a逆时针旋转（0°90°）得到af，连结ef若ab3，ac2，且+b，则ef 【答案】【解析】由旋转的性质可得aeab3，acaf2，由勾股定理可求ef的长由旋转的性质可得aeab3，acaf2，b+bac90°，且+b，bac+90°eaf90°ef16（2019山东临沂）如图，在abc中，acb120°，bc4，d为ab的中点，dcbc，则abc的面积是 【答案】8【解析】根据垂直的定义得到bcd90°，得到长cd到h使dhcd，由线段中点的定义得到adbd，根据全等三角形的性质得到ahbc

21、4，hbcd90°，求得cd2，于是得到结论dcbc，bcd90°，acb120°，acd30°，延长cd到h使dhcd，d为ab的中点，adbd，在adh与bcd中，adhbcd（sas），ahbc4，hbcd90°，ach30°，chah4，cd2，abc的面积2sbcd2××4×28，故答案为：8三、解答题17.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在abc中，abbc，adbc于点d，beac于点e，ad与be交于点f，bhab于点b，点m是bc的中点，连接fm并延长交bh于点h（1）如图所示，若ab

22、c30°，求证：dfbh bd；（2）如图所示，若abc45°，如图所示，若abc60°（点m与点d重合），猜想线段df，bh，bd之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明图图图【答案】见解析。【解析】条件中有等腰三角形abc，故考虑用等腰三角形的性质；条件中有30°角，且有adbc，故可以找到与bd有关的的数量关系，即adbd；条件中有中点，故考虑构造全等三角形.结合以上信息，再结合问题中的df,bh两条线段，因此连接cf，问题可解.对于图和图，可仿照（1）的思路求解.（1）证明：连接cf，ab=bc，abc=30°，bac=ac

23、b=75°.adbc，adb=90°，bad=60°，dac=15°ab=bc，beac，be垂直平分ac，af=cf，acf=dac=15°，bcf=75°-15°=60°，bhab，abc=30°，cbh=60°，cbh=bcf=60°.在bhm和cfm中，cbh=bcf，bm=cm，bmh=cmf，bhmcfm，bh=cf,bh=af，ad=df+af=df+bh.在rtadb中，abc=30°，ad=bd,dfbhbd.（2）图猜想结论：dfbhbd；图猜想结论：df

24、bhbd18.（2019广西池河）如图，在河对岸有一棵大树a，在河岸b点测得a在北偏东60°方向上，向东前进120m到达c点，测得a在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）参考数据：1.414，1.732【答案】见解析。【解析】过点a作ad直线bc，垂足为点d，在rtabd和rtacd中，通过解直角三角形可求出bd，cd的长，结合bcbdcd120，即可求出ad的长过点a作ad直线bc，垂足为点d，如图所示在rtabd中，tanbad，bdadtan60°ad；在rtacd中，tancad，cdadtan30°adbcbdcdad120，ad1

25、03.9河的宽度为103.9米19. （2019湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸b处测得对岸a处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达c处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度【答案】这条河的宽度为30米【解析】如图，作ad于bc于d由题意可知：bc1.5×4060米，abd30°，acd60°，bacacdabc30°，abcbac，bcac60米在rtacd中，adacsin60°60×30（米）答：这条河的宽度为30

26、米20.（2019四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点d在河的右侧，红军路ab与某桥bc互相垂直某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在c处测得点d位于西北方向，又在a处测得点d位于南偏东65°方向，另测得bc414m，ab300m，求出点d到ab的距离（参考数据sin65°0.91，cos65°0.42，tan65°2.14）【答案】点d到ab的距离是214m【解析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键如图，过点d作deab于e，过d作dfbc于f，则四边形ebfd是矩形，设dex，在rtad

27、e中，aed90°，tandae，ae，be300，又bfdex，cf414x，在rtcdf中，dfc90°，dcf45°，dfcf414x，又becf，即：300414x，解得：x21421.（2019湖北省荆门市）如图，已知平行四边形abcd中，ab5，bc3，ac2（1）求平行四边形abcd的面积；（2）求证：bdbc【答案】见解析。【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强（1）作ceab交ab的延长线于点e，如图：设bex，ceh在rtceb中：x2+h29在rtcea中：（5+x）2+h252联立解得：x，h平行四边形abcd的面积abh12；（2）作dfab，垂足为fdfaceb90°平行四边形abcdadbc，adbcdafcbe又dfaceb90°，adbcadfbce（aas）afbe，bf5，dfce在rtdfb中：bd2df2+bf2（）2+（）216bd4bc3，dc5cd2db2+bc2bdbc22.（2019广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度bc，ad=600米，adbc，施工队站在点d处看向b，测得仰角45°，再由d走到e处测量，deac，de=500米，测得仰角为53°，求隧道bc长.（sin53°，cos