2020版高考数学大一轮复习-第1节数列的概念及简单表示法讲义(理)(含解析)新人教A版

1、第1节 数列的概念及简单表示法考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数|倒识衍|七体取|回政数%知识梳理1 .数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项2 .数列的分类分类标准满足条件项数后穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列An + 1 > an一*其中nC N递减数列an+1 9 an常数列an + 1 = an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3 .数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4 .数

2、列的通项公式（1）通项公式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an=f（n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.（2）递推公式：如果已知数列an的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一 项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.微点提醒1.若数列an的前n项和为S,通项公式为an,则 an=S1, n=1,$ 1, n>2.2 .数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关， 而且还与这些“数”的排列顺序有关3 .易混项与项数的概念， 数列的项是指数列中某一确定

3、的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.基础自测疑误瘠析1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(2)1 , 1, 1, 1,，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()an+1 = S+1S.()(4)如果数列an的前n项和为S,则对任意nC N,者B有解析 (1)数列：1, 2, 3和数列：3, 2, 1是不同的数列(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列(3)数列可以是常数列或摆动数列答案 (1) X (2) X (3) X (4) V教材疗化2.(必修5P33A4改编)在数列an中,a1= 1an

4、1n-(n>2),则a等于(3A. 2(一 1 )解析a2=1 +a4=1+J asa145B.32一=2, a3 = 1 +8C.52D.3a23 1=2,(-1) 5 =2 a43答案 D 3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式解析 由 a1 =1 = 5X1 4, a2=6 = 5X24, a3=11 = 5X3 4,，归纳 an= 5n 4.答案5n-4 考解体聆4.(2019 山东省实验中学摸底)已知数列an中，a1=1, an+1 = 2an+1(nC N*) , $为其前n18项和，则S5的值为（）A.57B.61C.62D

5、.63解析由条件可得 a2=2d+1 = 3, a3=2a+1 = 7a4= 2as+ 1=15, a5=2a4+1 = 31,所以Ss = ai+ a2+ a3+ a4+ a5= 1 + 3+ 7+ 15+ 31 = 57.答案 A5.（2018 北京朝阳区月考）数列0, 1,0, 1,0,11,的一个通项公式an等于（）A.(1) n+1B.cosn2C.cosn+ 12兀n+ 2D.cos 2 兀解析2, 3,，逐一验证四个选项，易得D正确.答案6.（2019 天津河东区一模）设数歹U an的前n项和为31 f 4 1 ) 一S,且&=F 若 a4= 32,则3a1 =解析&am

6、p; =a1 (4n1)a4 = 32,则 a4= &- Ss= 32.255a1 63a1丁 一 丁32,11- a1=2.-1答案2苫京聚焦突破考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】（1）已知数列的前4项为0,0,则依此归纳该数列的通项不可能是（）A.an=( 1)+12, n为奇数,B. an =0, n为偶数C.an= 2sin n2D.an= cos( n-1)兀+ 1，1（2）已知数列an为2,14'5 138' 16293261，入、一，一64,，则数列an的一个通项公式是解析 （1）对n=1, 24进行验证，a= 2sin詈不合题意.（2）各项的分母分

7、别为2122, 23, 24,，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3, 2-3且第1项可变为一一彳,故原数列可变为一21 322323- 324-322,24" 2n-3故其通项公式可以为an = ( 1) n -2.n 2n-3答案(1)C(2)an=(1)规律方法由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联 想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分

8、子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k+1, k N*处理.【训练1】写出下列各数列的一个通项公式：(1),()1X2，2X3，3X4，4X5，1925(2)万，2, 2, 8, y,；(3)5 , 55, 555, 5 555 ,.解(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an=( -1)nx / 二，nCN*.n (n+ 1)1 4(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即万，2,一 一 一29 16 25 ，n2, 2，万，分子为项数的平方，从而可得数列的

9、一个通项公式为a=万.(3)将原数列改写为|x9, | X 99,5- X999,，易知数列9,99,999,的通项为10n1,999 .5 n故所求的数列的一个通项公式为an = -(10 n-1).9考点二由an与&的关系求通项一一易错警示【例2】(1)(2019 广州质检)已知S为数列an的前n项和，且log 2(S+1) = n+1,则数列an的通项公式为 .(2)(2018 全国I卷)记&为数列an的前n项和.若S=2an+1,则S=.解析 (1)由 log 2( 8+ 1) = n+ 1,得 S+1 = 2n+1,当 n=1 时，a=S = 3；当 n>2 时

10、，an=S S1=2n,3, n = 1所以数列an的通项公式为an=；2 , n>2.(2)由 Sn= 2an+1,得 ai = 2ai + 1,所以 ai = - 1.当 n>2 时，an= S S1= 2an+ 1 (2an1+ 1),得 an = 2an 1.数歹Uan是首项为一1,公比为2的等比数列.4=a1 11 一 q) 1 1 一 2)1-2=-63.3答案 (1) an =2n= 1(2) -63 n>2规律方法数列的通项an与前n项和Sn的关系是S1, n= 1anSn S 1当n= 1时，a1若适合S S1,则n= 1的情况可并入n>2时的通项an

11、；当n= 1时,a1若不适合S - S>-1,则用分段函数的形式表示易错警示 在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1而是直接把数列的通项公式写成an=$S1的形式，但它只适用于 n>2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an = 2 (ne N).【训练2】(1)已知数列an的前n项和s=2n23n,则数列an的通项公式an=(2)已知数列an的前n项和S = 3n+1,则数列的通项公式解析(1)a1 = S=23=1,当 n>2 时，an= S S 1= (2 n2 3n) 2( n- 1)2- 3(n- 1) =4n-5,由于 日也适合上式，an = 4n

12、5.(2)当 n=1 时，a1=S=3+1 = 4,当 n>2 时，an= $ S-1= 3n+ 1 3nT 1 = 2 3 n显然当n = 1 时,不满足上式. Hn =4, n= 12 - 3 n,n>2.答案(1)4 n5 (2)4,2 -n=1,3nT, n>2考点三由数列的递推关系求通项易错警示1【例 3】(1)在数列an中，ai = 2, an+i=an+ln 1+% ,则 an 等于()A.2 + ln nB.2 + (n1)ln nC.2 + nin nD.1 + n+ ln n(2)若a1=1,nan1 = (n + 1)an(n>2),则数列an的通

13、项公式an=. 若a1=1, an+1=2an+3,则通项公式 an=.，.2an(4)右数列an满足 a1=1, an + 1=T,则 an =an十2n+ 1=ln( n+ 1) in n,解析 (1)因为 an+1- an= in n所以 a2 a1 = in 2 in 1 ,a3 a2= in 3 in 2 ,a4-a3= in 4 -in 3 ,an-an 1= in n- in( n- 1)( n>2).把以上各式分别相加得an- a1= in nin 1 ,则an =2+in n,且a=2也适合,*因此 an= 2+ in n( nC N).ann(2)由 nan 1 =

14、( n+1) an( n>2),得=(n>2). an 1 n + 1anan-1an-2a3a2所以an= 一 一 a1 an-1an-2an-3a? a1nn-1 n-232_2n+1 n n-143- n+1'2又a1也满足上式，所以an= 不.(3)由 an+1=2an+3,得 an+1+3 = 2( an+3).*bn+1 an+1 + 3令 bn = an + 3,则 b1=a1+3=4,且=z-= 2.bnan+ 3所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列. .bn=4 2 n-1=2n+1,an=2n+1-3.一 ,2a(4)因为 an+1=0nZ2'

15、; -1'所以 an”1所以=an+ 111111一十 二，即an 2 an+ 1 an 2又 a1 = 1,则=1, a1所以1是以1为首项，J为公差的等差数列.所以2=+(n1)X :rn+gr?an a12 2 22所以an=n2r2n+12答案(1)A(2)时(3)2-3 (4)力规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法 已知a1,且an- an 1= f (n),可用“累加法”求 an,一 an(2)已知a1(a1w0),且=f(n),可用 累乘法 求an.an 1(3)已知ai,且an+i=qan+b,则an+i + k= q( an+k)(其中k可用待定系数法确定)，

16、可转化一,Ad(4)形如 an+1=BoqrC： a.为an+k为等比数列.B, C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.易错警示本例(1)(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.【训练3】(1)(2019山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前n项和为若a1=2, an+1=an+2+(2)若 a=1,an+1=2an,则通项公式 an =解析 (1)a1=2,an+1= an+2+1?an + 1 an =2+1? an = (an an-1)+( an-1 an2) +(a3 a2) + (a2 a1)+ a1,则 an=212+ 2n-3+ 2+ 1 +

17、 n 1 + an 1丁+ n-1 + 2= 2n 1 + n.1 2(2)由 an+1=2、an,得2n 1(n>2),所以 an=-an-an 1an-1an2n (n 1)-n- 1八 n 2=2 221+ 2+3 + (n 1) = 22n (n 1)又a1 = 1适合上式，故an = 22n (n 1)答案 (1)2n1+n (2)22考点四数列的性质【例4】(1)数列J an的通项_ n an-n2+90,则数列an中的最大项是()A.3 10B.191 C. 192an(2)数列 an满足an+1 =12an- 1 , 2<an<121 = 3,则数列的第2 0

18、19项为590解析 (1)令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得 f(x)>2，丽，当且仅当*=310时等 x号成立.因为an190? n n所以二由于nCN*,不难发现当n=9或n=10时，ann + 90 2啊 n(2)由已知可得,311 2ak"giF' ak2' 5'a4=2x=, a5= 2x 5 55T=l，an为周期数列且 T= 4,2a2 019 = a504X 4+ 3= a3=52答案(1)C(2) 55规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定

19、周期性，进而利用周期性求值.(2) 数列的单调性只需判定 an与an+1的大小，常用比差或比商法进行判断【训练 4 (1)已知数列an满足 a1=1, an+1 = a22an+1(nC N),则 a2 020 =(2)若an= n2+ kn+ 4且对于n e N*,都有an+1>an成立，则实数k的取值范围是解析 (1) ,a1=1, an+1= an2an+1 = (an1), .a2=(a11)2 = 0, a3=(a2-1)2= 1, a4=(a31)2= 0,，可知数列an是以 2 为周期的数歹U,a2 020 = 22=0.(2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,

20、又通项公式 an=n2+kn + 4,所以(n+1) 2+k( n+ 1) + 4>n2+kn+4,即 k>1 2n.* 一一 .又nC N,所以k>3.答案(1)0(2)( -3,+oo思与感悟思维升华1 .数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列2 .已知递推关系求通项公式的三种常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如"an+i= pan + q”这种形式通常转化为 an+i+入=p(an+入)，由待定系数法求出 入, 再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为 an+i an=f(n)型，则采用累加法；若为 史上=f(n)型，则采 an用累乘

21、法.易错防范1 .解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数(2)数列的通项公式不一定唯一.(3)注意 an=S Si 中需 n>2.2 .数列an中，若 a最大，则 annani且 an>an+i；若 an最小，则 anWani且 anca+i.|l分层限时调炼外层训风提升口基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题i.数列i, 3, 6, i0, i5,的一个通项公式是()B. an = n iA.an=n ( n i)C.an=D. an =n (n i)2解析 观察数列i, 3, 6, i0, i5,可以发现: i=i, 3=i

22、+ 2, 6=i + 2+3,i0= i + 2 + 3+4,所以第n项为i + 2+3+4+5+ nJ */,j、r n (n+1)所以数列1, 3, 6, 10, 15,的通项公式为 an = 答案 C1 .2.已知数列an满足：任息 m nC N,都有an am= an+m,且a1 = -,那么a5=(1A. 321 B.161C 41 D.-2“ 1 ，一1解析 由题息，得a2=aa1 = 41 a3= d a2=则 a5= a3 8132 = .32答案 A3.(2019 江西重点中学盟校联考)在数列 an中,1a1 =402 019的值为()1A. -4B.54C.55D.4解析在

23、数列an中,1 a1= 4,1an= 1 (n > 2,an-1nCN*),所以1a3= 1 -54，a4= 11= 1，所以an是以3为周期的周期数列，所以a2 019=0673X3=03 = ：54455*an+ 1=Sn+1(nCN),则 &=()答案 C4 .已知数列an的前n项和为 3,且a1 = 2A.31B.42C.37D.47解析由题意，得*S+1 S=S + 1(nC N)等比数列，其首项为3,公比为2,则4+4 一一.1 = 3X2 ,所以 Ss=47.答案 D(2a1) x+4 (xw 1) ,. S+1+1 = 2($+1)( nC N),故数列S+ 1为

24、5 .(2019 成都诊断)已知 f(x)= x( >)数列an( nC N)满足 an = f(n),且an是递增数列，则a的取值范围是()1A.(1 , +8)B. 2,+8C.(1 , 3)D.(3 , +oo)解析 因为an是递增数列，a>1,所以2解得a>3,a >2a- 1 + 4,则a的取值范围是(3, +8).答案 D二、填空题_ ,.11 n 2，一6 .在数列一 1, 0, 9，-,， 序，中，0.08是匕的第 项.n 22解析令丫"08,得2n 25n+50=°,一一5则(2 n5)( n10) =0,解得 n= 10 或 n

25、= 2(舍去).所以曰0=0.08.答案 107 .若数列an的前n项和S=3n22n+1,则数列an的通项公式an=. 2解析 当 n=1 时，a1 = S1 = 3x 1 2X1+1=2；当 n>2 时，an=S S 1=3n2 2n+13( n1)2 2( n1) + 1 = 6n5,显然当 n=1 时,不满足上式.故数列的通项公式为2, n=1, an =6n5, n>2.答案2, n=1, 6n5, n>2an+1 an18 .在数列an中，a1=2,帝。+ln 1+n，则 an=解析由题意得Man=ln( n+ 1) In n,anan 1二一=ln n-ln(

26、n-1)(n>2).a2a1万彳=ln 2 In 1a3a2,3-2 = ln 3anan-1一 .n n-1Inn- ln( n- 1)( n>2).ana1an累加倚 n彳=ln n,；=2+如 n(n>2),又a1 = 2适合，故an= 2n+ nin n.答案2n+nln n三、解答题9.(2016 全国出卷)已知各项都为正数的数列 an ?两足 a1 = 1 , an (2 an + 1 1) an 2an+ 1=0.(1)求 a2, a3；(2)求an的通项公式11解 (1)由题息得 a2=-, 23=4.(2)由 an (2 an +1 1) an 2an+ 1

27、 = 0 得2an +1( an+ 1) = an( an+ 1).因为an的各项都为正数，所以 妇=1. an2, I、，一， ， 1 一 ., 一1故an是首项为1,公比为2的等比数列，因此 an=2i.1 21*10.已知S为正项数列an的前n项和，且满足 $=2an + 2an(nC N).(1)求a1, a2,现a4的值；(2)求数列an的通项公式. 1 2 1_ *一,r解(1)由 S = 2an+2an(nC N),可得a1 = 2a2+2a1,解得 a1=1,S = a1 + a2= 2a2+232,解得 a2= 2,同理，a3 = 3, a4= 4.1 2 an(2) S=2

28、an+ -2,当 n>2 时，Si-1 = 2an-1 + 2an-b 一得(an an 1 1)( an+ an 1) = 0.由于 an + an 1 W 0,所以 an an 1=1,又由(1)知a1=1,故数列an为首项为1,公差为1的等差数列，故 an= n.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019 山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理

29、”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an,则此数列共有()A.98 项B.97 项C.96 项D.95 项解析 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an=21n20,由1wanW2 *018得1WnW97,又nC N,故此数列共有97项.答案 B12.已知数列an的通项公式an=(n + 2) n67，则数列an的项取最大值时，n=(n+ 2) 即(n+ 2)解析 假设第n项为最大项，则nn 16 67 > ( n+1) - 7,nn +16 67 > ( n + 3) - 7,n< 5,解得 即4wnw5,n>4,又nCN,所以n= 4或n=5, 65 故数列an中a4与a5均为取大项，且 a4= as= 74.答案 4或5113.(2019 荷洋模拟)已知数列an的前n项和为 S,且满足 S=( 1) - an-n,记