2021—2022学年长沙市高三（上）第二次月考数学试卷及答案解析

1、20212022学年长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知复数z(3+4i)=1+2i，则z的共轭复数是(   )A. 1125225iB. 1125+225iC. 11525iD. 115+25i2. 已知集合A=x|y=log2x1x+3，B=y|y=2x,x2，则AB=(   )A. x|3<x4B. x|1<x4C. x|3<x<0或1<x4D. x|3<x<1或1<x43. 双曲线y2x23=1(>0)的渐近线方程为(  &#

2、160; )A. y=±3xB. y=±13xC. y=±3xD. y=±33x4. 已知函数f(x)=lnx，若0<x1<x2，且|f(x1)|=|f(x2)|，则4x1+x2x1x2的最小值是(    )A. 2B. 4C. 22D. 425. 已知，是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题成立的是(    )A. 若/，l/，则l/B. 若l，则l/C. 若，l/，则lD. 若l，l/，则6. (2x2+y)(x+yx)6的展开式中x4y2的系数为(    )A. 30B.

3、50C. 36D. 247. 设a=log345，b=log480，c=8415，则(    )A. b>c>aB. b>a>cC. a>b>cD. a>c>b8. 某高三年级在安排自习辅导时，将6位不同学科的老师分配到5个不同班级进行学科辅导，每个班级至少一位老师，则所有不同的分配方案的种数为(   )A. 3600B. 1800C. 720D. 600二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 小明暑假到工厂参加生产劳动，从小明生产的产品中随机抽取100件产品，测量其长度(单位：厘米)，得到如下频率

4、分布直方图，下列说法中正确的是(   )A. 这100件产品长度的平均值约为930(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)B. 这100件产品中，长度落在区间920,930)内的件数为35C. 这100件产品长度的中位数约为931.43(保留到小数点后两位)D. 这100件产品长度的众数一定落在区间930,940)10. 人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑.正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字.在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测

5、量其高度.现准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度)(工具不一定都要使用)，不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有(   )A. 在水平地面上任意寻找两点A，B分别测量纪念碑顶端的仰角，再测量A，B两点间距离B. 在水平地面上寻找两点A，B分别测量纪念碑顶端的仰角，再测量A，B两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角C. 在纪念碑正东方向找到一座建筑物AB(低于纪念碑)，测得建筑物AB的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和D. 在纪念碑的正前方A处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前

6、行5米到达B处再次测量纪念碑顶端的仰角11. 已知曲线C的方程为tx2+(8t)y2=t(8t)(tR)，则下列结论正确的是(    )A. 当0<t<8时，曲线C是椭圆B. 当t=1时，曲线C是渐近线方程y=±13x的双曲线C. 存在实数t，使得曲线C为等轴双曲线D. “t<0或t>8”是“曲线C为双曲线”的充要条件12. 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，以下结论正确的有(    )A. 三棱锥BA1DC1外接球的体积是43B. 当点Q在直线BC1上运动时，A1Q+QC的最小值是8+43C. 若棱AB，A

7、A1，C1D1的中点分别是E，F，G，过E，F，G三点作正方体的截面，则所得截面面积为33D. 若点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是直线A1D1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 解方程cosx=sin(22x)，x(0,2)，则x=          14. 抛物线y=3x2的焦点坐标为          15. 函数f(x)=ln(x),x<

8、;0x(2x),(x0)，若关于x的方程2f2(x)af(x)+1=0有6个不相等的实数根，则a的取值范围是          16. 已知点A，B是圆C:(x2)2+(y2)2=4上两个不同的动点，延长AB至点D，使得AB=BD.若OD2+3OA2=48(其中O为坐标原点)，则弦AB中点M的纵坐标的取值范围为          四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列an是递增

9、的等比数列，且a2+a5=9，a2a5=8(1)求数列an的通项公式;(2)记数列log2an的前n项和为Tn，求使Tn>2成立的正整数n的最小值18. 已知函数f(x)=2cos(x+)(>0,|<2)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知f()=32，(6,23)，求sin2的值19. 某地每年的七月份是洪水的高发期，在不采取任何预防措施的情况下，一旦爆发洪水，将造成1000(万元)的经济损失.为防止洪水的爆发，现有Ai(i=1,2,3,4)四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用Ai(i=1,2,3,4)预防措施后不爆发洪水的概率为pi=10i10(

10、i=1,2,3,4)，所需费用为f(i)=10020i(万元)(i=1，2，3，4)(1)若联合使用A1和A2措施，则不爆发洪水的概率是多少(2)现在有以下两类预防方案可供选择：预防方案一：单独采用一种预防措施;预防方案二：联合采用两种不同预防措施则要想使总费用最少，应采用哪种具体的预防方案(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.)20. 已知平行四边形ABCD，AB=2BC=4，ABC=60，点F是DC的中点.沿AF把AFD进行翻折，使得平面FAD平面ABCF(1)求直线BD与平面ABCF所成角的正弦值;(2)点E是AB的中点，棱DC上是否存在一点M，使得FMDE，若存在，求

11、此时二面角MEFC的余弦值;若不存在，请说明理由21. 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=xex(1)求曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程;(2)求函数g(x)的最大值;(3)当x>0时，证明：g(x)f(x)<2e22. 在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)，满足(x+3)2+y2+(x3)2+y2=4，记点P的轨迹为E(1)请说明E是什么曲线，并写出它的方程;(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为T，直线OT与E交于两点C，D，请判断|TA|TB|与|TC|TD|的关系，并证明你的结论答案和解析1.【答案】A【解析】【分

12、析】本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，属于基础题求出z，然后求出共轭复数即可【解答】解：z(3+4i)=1+2i，z=1+2i3+4i=1+2i34i3+4i34i=34i+6i+825=1125+225i，z=1125225i故选：A  2.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查对数函数定义域，指数函数值域问题，属于基础题分别求出集合A、B，再根据交集的运算求解即可 【解答】解：由x1x+3>0，得x<3或x>1，所以A=x|x<3或x>1，B=y|y=2x,x2=y|0<y4，AB=x|1<x4故选：

13、B  3.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，属于基础题根据已知得a=，b=3，即可求出双曲线的渐进线方程【解答】解：根据题意得，a=，b=3，双曲线的焦点在y轴，所以双曲线的渐近线方程为y=±3x=±33x故选：D  4.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数及其性质，考查利用函数的单调性求最值，属于基础题由题意及对数函数的性质，可得x1x2=1，化简4x1+x2x1x2=4x1+1x1，0<x1<1，结合函数y=4x+1x的单调性，即可求解【解答】解：因为0<x1<x2，且|f(x1)

14、|=|f(x2)|，所以0<x1<1<x2，且lnx1=lnx2，所以lnx2+lnx1=lnx1x2=0，所以x1x2=1，所以4x1+x2x1x2=4x1+1x1，0<x1<1，因为函数y=4x+1x在(0,12)上单调递减，在(12,1)上单调递增，所以当x=12时，y取得最小值为4，即x1=12，x2=2时，4x1+x2x1x2取得最小值为4故选：B  5.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，属于基础题根据空间中线面、面面的位置关系依次判定即可【解答】解：对于A，若/，l/，则l/，或l，故A不

15、正确；对于B，若l，则l/，或l，故A不正确；对于C，若，l/，则l与不一定垂直，故C不正确；对于D，若l，l/，则，正确故选：D  6.【答案】C【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题利用展开式的通项即可求解【解答】解：(x+yx)6展开式的通项为Tr+1=C6rx62ryr(rN且r6)，所以(2x2+y)与(x+yx)6展开式的乘积可表示为：2x2Tr+1=2C6rx82ryr或yTr+1=C6rx62ryr+1，在2x2Tr+1=2C6rx82ryr中，令r=2，可得x4y2的系数为30，在yTr+1=C6rx62ryr+1中，令r=1，可得x

16、4y2的系数为6;所以x4y2的系数为36故选：C  7.【答案】C【解析】【分析】本题考查比较大小，涉及指数函数、对数函数的性质，属于基础题先将a，b化为的形式，结合c<2，可以比较a，b，c的大小关系【解答】解：a=log345=2+1log53，b=log480=2+1log54，由于0<log53<log54<1，从而a=log345=2+1log53>2+1log54=log480=b>2，又c=8415<813=2，从而有a>b>c，故选：C  8.【答案】B【解析】【分析】本题考查分组分

17、配，属于基础题将6位老师分为5组，再将5组人分配到5个班级，即可求解【解答】解：将6位老师分为5组，每组至少一位老师，则有C62=15种分法，再将5组人分配到5个班级，有A55=120种分配方法，则分配方案总数为15×120=1800(种)故选：B  9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查频率分布直方图的应用，考查学生的计算能力，属于基础题根据频率分布直方图估计数据的平均数与中位数即可判断A，C，根据频数与频率的关系即可判断B，结合众数概念可判断D【解答】解：这100件产品长度的平均值约为x=905×0.1+915×0.1+925×

18、0.25+935×0.35+945×0.15+955×0.05=930，故A正确；这100件产品中，长度落在区间920,930)内的件数为100×0.25=25，故B错误；这100件产品长度的中位数落在930,940)之间，约为930+10×0.50.10.10.250.35931.43，故C正确；这100件产品长度的众数不一定落在区间930,940)内，故D错误故选：AC  10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的应用，属于中档题利用解三角形需要的条件可对选项逐项验证【解答】解：对于B选

19、项，用CD表示纪念碑，如图：在直角三角形ADC和BDC中用CD来表示AC，BC，在ABC中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故B正确；对于A选项，结合B选项可知，如果A，B两点与纪念碑底部不在一条直线上时，缺少A，B两点相对于纪念碑底部的张角(或其他数据)，就不能测量出纪念碑高度，故A不正确；对于C选项，如图：可知AC=BE，先用AC表示出CD和DE，再根据CDDE=AB求得AC，即可求得CD，故C正确对于D选项，如图：先用CD表示出AC，BC，再根据ACBC=AB=5即可求出CD，故D正确故选：BCD  11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标

20、准方程，双曲线的渐近线，等轴双曲线，属于基础题根据椭圆的标准方程，双曲线的标准方程以及渐近线方程逐一验证每个选项的正误，进而得到正确答案【解答】解：A：由方程为tx2+8ty2=t8t，得x28t+y2t=1(t0且t8)，若表示椭圆，则t>08t>0t8t，解得0<t<8且t4，故A错误；B：当t=1时，曲线为x29y21=1，此时曲线C为双曲线，渐近线方程为y=±13x，所以B正确；C：若曲线C为等轴双曲线，则8t=t，方程无解，所以C错误；D：若曲线C是双曲线，则t(8t)<0，解得t<0或t>8，所以D正确故选：BD 

21、60;12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球的体积计算，考查截面问题及动点的轨迹问题，属于较难题根据几何体的结构特征得出外接球的半径，进而得出其外接球的体积；把BCC1沿BC1翻折到与A1C1B在同一个平面，可得A1C是A1Q+QC的最小值，结合余弦定理求出即可；确定截面形状求出截面的面积即可；根据点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，确定M点的轨迹【解答】解：对于A选项，三棱锥BA1DC1外接球即为正方体的外接球，因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，即2R=23，R=3，所以外接球的体积是V=43×(3)3=43，故选项A正确;对于B选

22、项，把BCC1沿BC1翻折到与A1C1B在同一个平面，连接A1C，则A1C是A1Q+QC的最小值，所以A1C2=A1B2+BC22A1B×BC×cos(60+45)=8+43，所以A1C=6+2，即A1Q+QC的最小值是6+2，故选项B错误;对于C选项，截面是边长为2的正六边形，所以截面面积为33，故选项C正确;对于D选项，因为M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，所以点M的轨迹是平面A1B1C1D1与线段DC1的垂直平分平面A1BCD1的交线，即点M的轨迹是平面A1B1C1D1与平面A1BCD1的交线A1D1，所以点M的轨迹是直线A1D1，故D正确故选：AC

23、D  13.【答案】或【解析】【分析】本题考查诱导公式、二倍角公式，属于基础题可先利用诱导公式和二倍角公式化简，再根据x的范围求得x即可【解答】解：因为cosx=sin(22x)=cos2x，即2cos2xcosx1=0，即(2cosx+1)(cosx1)=0，解得cosx=1或cosx=12，又因为x(0,2)，所以或故答案为：或  14.【答案】(0,112)【解析】【分析】本题考查抛物线的焦点，属于基础题先把抛物线变为标准方程x2=13y，再结合定义求得焦点坐标【解答】解：把抛物线y=3x2化为标准方程x2=13y，则2p=13，即p2=112，所

24、以抛物线焦点坐标为(0,112).故答案为：(0,112).  15.【答案】(22,3)【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，涉及分段函数图象的应用，属于中档题令t=f(x)，依题意转化为关于t的方程2t2at+1=0在0,1)有两个不等实数根，由此列出不等式组即可求a【解答】解：函数f(x)的图象如图所示，令t=f(x)，结合图象可知，若关于x的方程2f2(x)af(x)+1=0有6个不等的实数根，则关于t的方程2t2at+1=0在0,1)有两个不等实数根，因为y=2t2at+1的图象过点(0,1)，则，解得22<a<3故答案为：(22,3)&#

25、160; 16.【答案】36,2+2)【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系、与圆有关的轨迹问题及平面向量的运算，属于较难题设M(x,y)，根据题意得出点M的轨迹，再结合点M在圆C内求得纵坐标的取值范围【解答】解：C:(x2)2+(y2)2=4，则圆心C(2,2)，半径为2，M为AB中点，OMAB，因为OD=OM DM=OM3MA，OA=OM+MA，所以(OM3MA)2+3(OM+MA)2=48，整理得OM2+3MA2=12，又MA2=4CM2，则OM2+3(4CM2)=12，即OM2=3CM2，设M(x,y)，则x2+y2=3x22+3y22，即x2+y26x6y+12

26、=0，即圆P:(x3)2+(y3)2=6，圆心P(3,3)，半径为6，与C:(x2)2+(y2)2=4联立得：x+y4=0，即x=4y，代入C:(x2)2+(y2)2=4，得(y2)2=2，所以y=2±2，由M在圆C内，又因为圆P的最高点(3,3+6)不在圆C内，而圆P的最低点(3,36)在圆C内，结合图象可得M的纵坐标y36,2+2).故答案为：36,2+2).  17.【答案】解：(1)设等比数列an的公比为q，因为a2+a5=9，a2a5=8，且数列an是递增的等比数列，所以a2=1，a5=8，则a1q=1a1q4=8，解得a1=12q=2，所以an=2n2

27、(nN);(2)设bn=log2an，由(1)知bn=n2，且b1=1，所以Tn=(1+n2)n2=n23n2，由Tn>2，得n23n2>2，解得n>4或n<1，所以使Tn>2成立的正整数n的最小值为5【解析】本题考查等比数列的通项公式及等差数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题(1)根据题意求解a2=1，a5=8，即可求解q，然后由等比数列的通项公式即可得出；(2)利用对数运算可求解bn=log2an=n2，然后利用等差数列的前n项和公式即可求解18.【答案】解： (1)由图可知34T=13123=34，即T=2=，所以=2，由五点法可得2

28、5;3+=2+2k，kZ，则=6+2k，kZ，又因为|<2，则=6，所以f(x)=2cos(2x6);(2)由f()=2cos(26)=32，得cos(26)=34，又(6,23)，所以26(6,76)，cos(26)=34>0，则26(6,2)，所以sin(26)=74，则sin2=sin(26)+6=74×32+34×12=21+38【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查两角和的正弦公式，属于中档题(1)根据函数图象，分析求出，即可；(2)根据题中所给条件，结合(1)中结论，sin2=sin(26)+6，运用两角和的正弦公式即可推出结果19.【答案】解：

29、(1)依题意有：预防措施A1A2A3A4p0.90.80.70.6费用(万元)80604020设事件C:表示使用A1和A2措施不爆发洪水，则P(C)=1P(A1A2)=10.1×0.2=0.98；(2)预防措施一：有四种情况：单独用A1:总费用为：80+1000×0.1=180(万元);单独用A2:总费用为：60+1000×0.2=260(万元);单独用A3:总费用为：40+1000×0.3=340(万元);单独用A4:总费用为：20+1000×0.4=420(万元)预防措施二：有六种情况：A1A2联合：总费用为80+60+1000×

30、0.1×0.2=160(万元);A1A3联合：总费用为80+40+1000×0.1×0.3=150(万元);A1A4联合：总费用为80+20+1000×0.1×0.4=140(万元);A2A3联合：总费用为60+40+1000×0.2×0.3=160(万元);A2A4联合：总费用为60+20+1000×0.2×0.4=160(万元);A3A4联合：总费用为：40+20+1000×0.3×0.4=180(万元)所以，预防方案采用A1A4联合使用最好，使得总费用最少【解析】本题考查相互独立

31、事件的概率公式以及对立事件的概率公式的应用，属于中档题(1)利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式求解即可；(2)分别求出两种方案的花费，比较大小即可20.【答案】解：(1)设O是AF中点，FAD为正三角形，则DOAF，又平面FAD平面ABCF，平面FAD平面ABCF=AF，DO平面FAD，所以DO平面ABCF，所以DBO是直线DB与平面ABCF所成的角，因为AO=1,AB=4,DO=3，在四边形ABCF中，OB=AO2+AB22AB×AOcos60°=13，DB=DO2+OB2=4，所以sinDBO=DODB=34，所以直线BD与平面ABCF所成角的正弦值为34

32、；(2)由题可知，又AF=AE=2,FAB=60°，AFE为正三角形，所以OEAF，以O为原点，OA为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，如图：则D0,0,3,E0,3,0,C2,3,0,F1,0,0，设DM=DC01，则DM=2,3,3，FM=FD+DM=12,3,33,DE=0,3,3，因为FMDE，所以FM·DE=0，即33+3=0，解得=12，所以当点M为棱DC的中点时满足题意，即M1,32,32，设平面MEF的法向量为n=x,y,z，且FM=0,32,32,FE=1,3,0，n·FM=32y+32z=0n·FE=x+3y=0,令y

33、=1，得x=3,z=1，n=3,1,1，设平面EFC的法向量为m=0,0,1，cos<m,n>=m·nm·n=55，二面角MEFC的平面角为锐角，所以二面角MEFC的余弦值为55【解析】本题考查面面垂直的性质定理，线面角，空间向量求二面角，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于中档题(1)设O是AF中点，由面面垂直的性质定理可得DO平面ABCF，所以DBO是直线DB与平面ABCF所成的角，再求得角的正弦值；(2)建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用夹角公式求得二面角MEFC的余弦值21.【答案】解：(1)由f(x)=lnx+1，得f(1)=1，所以曲线y=