养老金计划数学建模

1、重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛暨 2014 年全国大学生数学建模选拔赛论文题目：养老金计划参赛队员信息姓名学号学院 专业班级联系电话性别宿舍特 长相关学科平均成绩高 等 数 学线 性 代 数概 率 统 计计 算 机李祥龙2012XXXXX数统学院151XXXXXX男X无XXXX丁月月2012XXXXX管理学院151XXXXXX女X建模XXXX周影2012XXXXX管理学院138XXXXXX女X写作XXXX2013 年 6 月 5 日养老金计划的数学模型摘要中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。经预测， 到 2039 年 , 我国将出现不足两个纳税人供养一个养

2、老金领取者的局面, 这被称为 “老龄社会危机时点”.本文就养老金问题进行了讨论。假定养老金计划从20 岁开始至80 岁结束，参加者20 到 60 岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额，60 岁退休以后，每月初领取相等的退休金，一直领取20 年。建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额，他所领取到的养老金是多少。我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60 岁一月初时的本息和，再计算出了他从60 岁到 80 岁领取养老金的公式，从而求出了他每月领取的养老金P.然后利用Matlab 编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老金越多。从20 岁开始参加养

3、老金计划，每月领取的养老金为12205.7 元；从 35岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为5747.6 元；从 48岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为4644.4 元 .最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析.关键词：老龄化养老金 年金 Matlab一、问题重述养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从 20 岁开始至80 岁结束，年利率为10 . 参加者的责任是，未退休时（60 岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20 岁 29 岁每月存入X1 元， 30 岁 39 岁每月存入X2元，40 岁 49岁每月存入X

4、3元， 50岁 59 岁每月存入X4元 . 参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金 P ，一直领取20 年 . 建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的月退休金 .1、从 20 岁开始参加养老金计划，假设X1=X2=X3=X4=200 元；2、从35 岁开始参加养老金计划，假设X2=200 元 ， X3=500 元， X4=1000 元；3、从48 岁开始参加养老金计划，假设X3=1000 元， X4=2000 元 .二、问题分析我们先对整个问题进行分析，建立一个适用于从任何年龄（ 20 59 岁） 开始参加养老金计划的数学模型，再分别代入数据，计算出从20 岁开

5、始参加养老金计划、从35岁开始参加养老金计划和从48 岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助.我们把参加者从开始参加养老金计划到80 岁分为两个阶段。第一个阶段为缴纳养老金阶段，从参加养老金计划开始到60 岁 1 月初，计算出所有月份缴纳的养老金到60岁 1 月初时的本息和S；第二阶段为领取养老金阶段，从60 岁 1 月初到 80 岁 12 月初，利用上一个阶段求出的S 计算出每月应当领取的养老金P， 使得80 岁最后一个月领取养老金后账户的余额为0.三、模型假设1、假设参加者能领取养老金的年龄恰好到80 岁，不多不少.2、假设年利率一直都为10%不会受外界的其他因素而变动.3、假设参加者每

6、月初都是按时缴纳相应的养老金，不会出现拖欠或间断的情况.4、假设参加者80 岁时，银行恰好能把参加者所缴纳的养老金的本息和全部返还给参加者，账户余额没有剩余.5、假设参加者每月初都会按时去领取养老金，不会提前或延迟.符号符号说明ai某人开始参加养老金时的年龄，i 为所处年龄段，i 1,2,3,4 ；a1 20,29,a2 30,39,a3 40,49,a4 50,59xi第 i 个年龄段存钱时每个月要存的金额, 单位为元；b在 20,29 年龄段存钱的计息次数；c在 30,39 年龄段存钱的计息次数；d在 40,49 年龄段存钱的计息次数；e在 50,59 年龄段存钱的计息次数；B在 20,2

7、9 年龄段存钱的存到60 岁时的本息和, 单位为元；C在 30,39 年龄段存钱的存到60 岁时的本息和, 单位为元；D在 40,49 年龄段存钱的存到60 岁时的本息和, 单位为元；E在 50,59 年龄段存钱的存到60 岁时的本息和, 单位为元；S某人开始存钱到60 岁存的钱的本息和, 单位为元；p某人每月初领取退休金, 单位为元.五、模型的建立一、建立每个年龄段存入的金额到60 岁时所产生的利息和的数学模型分不同的年龄段求在该年龄段内每个月所存入的金额及到60 岁时所产生的利息和.由于人们是每个月的存钱，计算利率时也要用月利率，即10%/12.1、 20 29岁当人们在20 岁 29 岁

8、中的a1 岁开始每月存入X1 元时，到60 岁时该月金额的本息和为( 1+10%/12)的b次方乘X1， b 为该月月利率循环的次数。计算a1 到 29 岁最后一个月所有月份循环的次数，则b 从 361 到 12× (29- a1+1)+360。故在该年龄段，60岁时所产生的本息和一般模型为B =720 12a1 (1 10%/12)bx1(化简得之)b 361其中，20<=a1<292、 30 39 岁30 岁 39 岁中的a2岁开始每月存入X2元时，到60 岁该月金额的本息和为( 1+10%/12)的c次方乘X2， c 为该月月利率循环的次数。计算a2到 39岁最后一

9、个月所有月份循环的次数，则c 从 241 到 12× (39- a2+1)+240。故在该年龄段，60 岁时所产生的本息和一般模型为C =720 12a2 (1 10%/12) cx2(化简得之)c 241其中，30<=a2<393、 40 49 岁当人们在40 岁 49 岁中的a3 岁开始每月存入X3 元时，到60 岁该月金额的本息和为( 1+10%/12)的d次方乘X3， d 为该月月利率循环的次数。计算a 到 49岁最后一个月3所有月份循环的次数，d 从 121 到 12× (49- a3+1)+120。 故在该年龄段，60岁时所产生的本息和一般模型为D

10、=720 12a3(1 10%/12)dx3(化简得之)d 121其中，40<=a <4934、 50 59 岁当人们在50 岁 59 岁中的a4岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和为( 1+10%/12)的e次方乘X4， e为该月月利率循环的次数。计算a4到 59岁最后一个月所有月份循环的次数，e 从 1 到 12× (59- a4+1)。 故在该年龄段，60岁时所产生的本息和一般式为E =720 12a4(1 10%/12)ex4(化简得之)e1其中，50<=a4<59二、计算参加者从参加养老计划开始到60 岁一共所得金额基础公式S=B+C+

11、D+E求解得到模型为在 2029岁时参加养老金计划720 1a12360(1 10%/1b2x1)+(1 10%/1c2x2)+b 361c 241240(110%/1d2x)3+120(1 10%/12ex)4d 121e 1在 3039 岁时参加养老金计划720-12 a2240120(1 10% /12)cx2+(1 10% /12)dx3+(1 10% /12) e x4c 241d 121e 1在 4049 岁时参加养老金计划720 12a3120(1 10%/12)dx3+(1 10%/12)ex4d 121e 1在 5059 岁时参加养老金计划(1 10% /12) ex4e1三

12、、求参加者每月初领取退休金金额参加者到60 岁时产生的本利息和为s，从退休(60 岁)开始，每月初领取退休金P，但余额仍然在产生利息. 以此一边产利一边领p 的模式领取20 年，直到80 岁的最后一个月账户余额为0，并以最后一个月账户余额为0 的情形建立等式，求得p.第一个月账户余额sp第二个月账户余额(s p) (1 10%/12) ps (1 10%/12) p(1 10%/12) (1 10%/12)0 第 三 个 月账户余额：(s p) (1 10% / 12)p ps (1 10%/12) 2 p(1 10%/12) 2 (1 10%/12) (1 10%/12) 0 第 四个月账户

13、余额：( s p) (1 10%/12) p p (1 10%/12) ps (1 10%/12)3 p(1 10%/12)3 (1 10%/12)2 (1 10%/12) (1 10%/12)0由上述结果，我们可以演绎推理出更一般的情形即第 n 个月账户余额为s (1 10%/12) n 1 p(1 10%/12) n1 (1 10%/12) n 2 (1 10%/12) 0由于第 80岁的最后一个月，应为第 240个月， 故令 n 为 240， 联系此时账户余额为0建立平衡0=s (1 10%/12)240 1 p(1 10%/12)240 1 (1 10%/12)240 2 (1 10%

14、/12)0=s (1 10% /12)239 p(1 10% /12) 239 (1 10% /12) 238 (1 10%/12)0解之得 p 的模型为：p s(1 10%/12)239 10%/12( 10%/1224)0 12六、模型的求解问题一的求解720 12a1360240120p (1 10%/12b)x1(1 10%/12c)x2(1 10%/12d) x3(1 10%/12e)x4)b 361c 241d 121e 1(1 10% /12) 239 10%/12(1 10% /12) 240 12720 12 20360240120(1 10%/12)b 200(1 10%/

15、12)c 200(1 10%/12)d 200(1 10% /12) e 200)b 361c 241d 121e 1(1 10% /12) 239 10%/12(1 10% /12) 240 12=12205.7问题二的求解720-12 a2240120p (1 10%/12)cx2+(1 10% /12) d x3+ (1 10% /12) e x4)(1 10% /12) 239 10%c 241d 121e 1/12(1 10% /12) 240 12720-12 35240120(1 10%/12)c 200+(1 10%/12)d 500+ (1 10%/12)e 1000)(1

16、10%/12) 239 10%c 241d 121e 1/12(1 10% /12) 240 12=5747.6问题三的求解720 12a3120p (1 10%/12)dx3+ (1 10%/12)ex4)(1 10%/12)239 10%/12(1 10%/12)240 12d 121e 1720 12 48120(1 10%/12)d 1000+ (1 10%/12)e 2000)(1 10%/12)239 10%/12(1 10%/12)240 12d 121e 1=4644.4七、模型的优缺点讨论1、 模型优点(1) 给出一个年龄就可以计算出相应的月退休金, 若运用到实际中，会带来很

17、大的便利；(2) 因为等式是以最后一个月的账户金额为0 建立的，所以按照我们计算的p 值，可以让参加者完全取出自己的本利和，最大限度的保障了自己的利益；(3) 建模的思路简单，原理易于让他人接受；(4) 编程简单易行，可以快速计算出p 值2、 模型缺点：( 1) 该模型是在假设的条件下建立的，所以有一定的局限性，比如若没有考虑到利率的变化，参加者能领取养老金的年龄不可能恰好到80 岁等；( 2) 该 模型只能以参加者的整数年龄计算，即参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1 月初，而不能更加细致地表现出其他月份不为1 甚至是天数不为1 的情况 . 比如某人是27 岁 8 月 6 日参加养老计划的，

18、而不是27 岁 1 月 1 日，那么在模型中就不能很方便地计算出p 值 .八、模型改进与推广( 1)上述我们只是计算了参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1 月初的情况，我们可以将其改进成不是1 月初的情况，进一步推广，将年利率变成日利率，还可以计算出不是月初而是某一天的情况，这样就能更接近实际情况.( 2)在实际生活中，利率不是一成不变的，我们可以将利率的变动情况考虑进去，进一步推广成养老金的动态模型.参考文献1 王化成主编，财务管理(第三版)，北京：中国人民大学出版社，20102 姜启源 谢金星 邢文训 张立平编著，大学数学实验(第 2版) ， 清华大学出版社,2010附录附录一：用MATL

19、AB编程(1)x=200 200 200 200;a=20 30 40 50;syms b c d eB= symsum(x(1).*(1+0.1/12)b,b,361,720-12.*a(1);% 20岁29岁中的a1岁开始每月存入X4元时，到60 岁该月的金额的本息和；C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);% 30岁39岁中的a2岁开始每月存入X4元时，到60 岁该月的金额的本息和；D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-12.*a(3);% 40岁 49岁中的a3岁开始每月存入X4元时，到60 岁

20、该月的金额的本息和；E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);% 50岁 59岁中的a4岁开始每月存入X4元时，到60 岁该月的金额的本息和；S=B+C+D+E;% 从开始存钱到60 岁时，总共产生本息和；S=vpa(S);% 将计算结果化成小数;p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S% 每月初领取退休金。运行结果：p =12205.747361515939831504737414689(2)x=0 200 500 1000;a=20 35 40 50;B= symsum(x(1).*(1+0.

21、1/12)b,b,361,720-12.*a(1);C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-12.*a(3);E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);S=B+C+D+E;S=vpa(S);p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S运行结果：p =5747.6671888650846543896949163785(3)x=0 0 1000 2000;a=20 30 48

22、50;B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)b,b,361,720-12.*a(1);C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-12.*a(3);E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);S=B+C+D+E;S=vpa(S);p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S运行结果：p =4644.4837248332347384601281888253小学少先队组织机构少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织