2020年中考数学压轴题突破专题4-二次函数与特殊图形的存在性问题

1、2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题04二次函数与特殊图形的存在性问题1. (2019年盐敏7题二次函数与特殊图形的存在性问题跄g4道葡组六4道【真题再现】1.(2019年盐城27题)如图所示，二次函数y=k (x-1) (2019年连云港26题)如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线L1 ： y=x2+bx+c过点C (0, - 3),与 抛物线L2：y=-Lx2-&x+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点.(1)求抛物线L1对应的函数表达式；(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P的坐标;(3)设点R

2、为抛物线L1上另一个动点，且 CA平分/ PCR若OQ/PR,求出点Q的坐标.+2的图象与一次函数 y= kx - k+2的图象交于 A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k< 0.(1)求A、B两点的横坐标；(2)若 OAB是以OA为腰的等腰三角形，求 k的值；(3)二次函数图象的对称轴与 x轴交于点E,是否存在实数k,使彳ODC= 2/BEC若存在,求出k 的值；若不存在，说明理由.箭用笛3. (2019年无锡27题)已知二次函数 y = ax2 4ax+c (a<0)的图象与它的对称轴相交于点A,与y轴相交于点C (0, -2),其对称轴与x

3、轴相交于点B(1)若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象BM内，且 BD=|五,求这个二次函数的表达式;B, C三点，其中点 A的坐标为(-3, 0),点B的坐标为(4, 0),连接AC, BC.动点P从点A出发,4.(同时，动点 Q从点O出发，在线段OB上在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点 C作匀速运动;以每秒1个单位长度的速度向点 B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空：bc=(2)在点P, Q运动过程中， APQ可能是直角三角形吗请说明理由;(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M,使4PQM是以点P为直角顶

4、点的等腰直角三角形若存在，请求出运动时间 t;若不存在，请说明理由;(4)如图，点N的坐标为(-,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时，请直接写出点 Q'的坐标.5. (2017年宿迁25题)如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=x2 - 2x - 3交x轴于A, B两点(点A 在点B的左侧)，将该抛物线位于 x轴上方曲线记作 M,将该抛物线位于 x轴下方部分沿x轴翻折，翻 折后所得曲线记作 N,曲线N交y轴于点C,连接AC BC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；(2)求 ABC外接圆的半径；(3)点P为曲线M或

5、曲线N上的一动点，点 Q为x轴上的一个动点，若以点 B, C, P, Q为顶点的四 边形是平行四边形，求点 Q的坐标.顶点为B,连接AB、B0.(1)求二次函数的表达式；(2)若C是B0的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B',当 OCB为等边三角 形时，求BQ的长度；(3)若点 D在线段B0上，0D= 2DB,点E、F在4OAB的边上，且满足 DOF与4DEF全等，求点 E 的坐标.【专项突破】【题组一】1.（2020?张家港市模拟）如图，二次函效y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，B点坐标为（4, 0）,(2)(3)2.（2020?宝应县一模）如图 1,

6、矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为 AE,已知AB= 8, AD=10,并设点B坐标为（E0求点E、F的坐标（用含 m的式子表示）；(2)连接OA,若 OAF是等腰三角形,求 m的值;(3)如图2,设抛物线y=a (x-m+6)2+h经过A、E两点，其顶点为 M,连接AM,若/ OAM=90° ,与y轴交于点C （0, 4）点D为抛物线上一点.求抛物线的解析式及 A点坐标;若 BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点 D的坐标;若 BCD是锐角三角形，请写出点 D的横坐标m的取值范围.求a、h、m的值.3. （2019秋？邛江区校

7、级期末）如图抛物线y= ax2+bx+4 （a，0）与x轴，y轴分别交于点A （ 1, 0）,B （4, 0）,点C三点.(1)试求抛物线解析式；(2)点D (3, m)在第一象限的抛物线上，连接BC, BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足/ PBC= / DBC如果存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点N在抛物线的对称轴上， 点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时, 请直接写出点M的坐标.4. (2019秋？亭湖区校级期末)如图，抛物线 y=-x2+bx+3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,其中 点A( - 1, 0).过点

8、A作直线y = x+c与抛物线交于点 D,动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每 秒上个单位长度的速度向点 D运动，过点P作直线PQ/ y轴，与抛物线交于点 Q,设运动时间为t (s).(1)直接写出b, c的值及点D的坐标；(2)点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当CBE的面积为6时，求出点E的坐标；(3)在线段PQ最长的条件下，点 M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点 D、M、N为顶点 的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标.【题组二】5. (2019秋？崇川区期末)如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B, C两点(点B在点

9、C的左侧)，已知A点坐标为(0, 3).(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点 D,如果以点C为圆心的圆与直线 BD相切，请判断抛物线 的对称轴与。C有怎样的位置关系，并给出证明.的正半轴交于点C.(1)求二次函数y = ax2+bx+3的表达式.(2)点Q (m, 0)是线段OB上一点，过点 Q作y轴的平行线，与 BC交于点M,与抛物线交于点 N, 连结CN,将 CMN沿CN翻折，M的对应点为D.探究：是否存在点 Q,使得四边形 MNDC是菱形若 存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若点E在二次函数图象上，且以 E为圆心的圆与直线 BC相切与点F,

10、且EF=1,请直接写出点 E 的坐标. (2019?亭湖区二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= - jx2+bx+c的图象与y轴交于点A (0,8),与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为(4, 0).点P (m, n)为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点 D的坐标为(0, 4),连接BD.(1)求该二次函数的表达式及点 B的坐标;(2)连接OP,过点P作PQ±x轴于点Q,当以O、P、Q为顶点的三角形与 OBD相似时，求m的值;(3)连接BP,以BD、BP为邻边作？BDEP直线PE交y轴于点T.当点E落在该二次函数图象上时，求点 E的坐标；在点P从点A到点B运动过程中(点

11、P与点A不重合)，直接写出点T运动的路径长.DQ8. (2019秋？灌云县期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m, AMB的面积为S,求S关于m的(3)若点P是抛物线上的动点，点 Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、函数关系式，并求出 S的最大值.。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.【题组三】9. (2019?清江浦区一模)如图，抛物线y=ax2+bx+4 (a，0)与x轴交于点B (-3, 0)和C (4, 0)与y轴交于点A.(1) a=, b =(2)点M从点A

12、出发以每秒1个单位长度的速度沿 AB向B运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿 BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动.t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形(3)点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好平分/ ABC,请直接写出此时点 P的坐标.备用国1番用圉210. (2019?灌南县二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx_的图象经过点A ( 1, 0)、C (2, 0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2) M (s, t)为抛物线对称轴上的一个动点，若平面内存在点 N,使得A、B、M、N为顶

13、点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标;连接MA、MB,若/ AMB不小于60° ,求t的取值范围.11. (2019秋？沐阳县期末)如图，抛物线 y=ax2+bx 2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P在第一象BM内，当 OD=4PE时：求点D、P、E的坐标；求四边形POBE的面积.(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N,使得以点B, D, M, N为顶点的四边形是菱形若

14、存在，直接写出点N的坐标；若不存在,请说明理由.(4, 1).(1)求b、c的值；(2)如图1,点C (10, m)在抛物线上，点 M是y轴上的一个动点，过点 M平行于x轴的直线l平分/ AMC,求点M的坐标；(3)如图2,在(2)的条件下，点 P是抛物线上的一动点，以 P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交 于E、F两点，若 PEF的面积为2屈,请直接写出点P的坐标.J*偎1)僵2)【题组四】13. (2019?宿豫区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+bx+c与x轴交于A ( 1, 0)、B (3,0)两点，且抛物线经过点 D (2, 3).(1)求这条抛物线的表达式；(2)将

15、该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上.原抛物线上一点 M平移后的对应点为点N,如果 AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点 N的坐标；(3)若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点 B作BE, OP,垂足为E,点Q为y轴上的一个动点,连接QE、QD,试求QE+QD的最小值.11: y1 = ax2 - 2的顶点为P,交x轴于A、14. (2019?江西模拟)已知抛物线B两点(A点在B点左侧)，且sin/ABP =1(1)求抛物线11的函数解析式;(2)过点A的直线交抛物线于点 C,交y轴于点D,若 ABC的面积被y轴分为1: 4两个部分，求直线AC的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛

16、物线1i绕点P逆时针旋转180°得到抛物线 E点M为抛物线l2上一点, 当点M的横坐标为何值时， BDM为直角三角形/ I 215. (2019秋？锡山区期末)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A (-3, 0),B (1, 0)两点，与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y<0(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使4ACP面积最大若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由;(3)点M为抛物线上一动点，在 x轴上是否存在点 Q,使以A、G M、Q为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点

17、Q的坐标；若不存在，请说明理由.16.点B的坐标为(4, 3),抛物线y= - x2+bx+c与y轴交于点A,与直线AB交于点D,与x轴交于C, E两点.15(1)求抛物线的表达式;(2)点P从点C出发，在线段 CB上以每秒1个单位长度的速度向点 B运动，与此同时，点 Q从点A出发，在线段 AC上以每秒个单位长度的速度向点 C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运3动.连接DP、DQ、PQ,设运动时间为t (秒).当t为何值时， DPQ的面积最小是否存在某一时刻t,使 DPQ为直角三角形若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.【题组五】17. (2019秋？江都区期末)在平面直角坐标

18、系中，已知抛物线 y= x2+4x.试求抛物线y= x2+4x(1)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”的“方点”的坐标；(2)如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与 x轴相交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴相交于点C,连接BC.若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求 PBC的面积的最大值；(3)第(2)问中平移后的抛物线上是否存在点Q,使4QBC是以BC为直角边的直角三角形若存在，直接写出所有符合条件的点 Q的坐标；若不存在，说明理由.G/f18. (2019秋？兴化市期末)如图，RtFHG中，/ H= 90° , FH/ x轴，=二=,则

19、称Rt FHG为准黄金直角三角形(G在F的右上方).已知二次函数y = ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E (0, - 3),顶点为C (1, - 4),点D为二次函数y2 = a (x- 1m) 2+ 4 (m>0)图象的顶点.(1)求二次函数y1的函数关系式；(2)若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点 G的坐标及 FHG的面积；(3)设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q.且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点 F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由.1

20、9. (2019秋？赣榆区期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线(-1, 0), B (3, 0)两点，与y轴交于点C,连接BC.y=ax2+bx+2 （a，0）与 x 轴交于 A(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M,使得以B, C, M, N为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由;(3)点P是直线BC上方抛物线上的点，若/ PCB= / BCO,求出P点的到y轴的距离.20. (2019?海陵区校级三模)如图抛物线y= x2+ (m 1) x+m与直线y=kx+k交于点 A、B,其中A点在

21、x轴上，它们与y轴交点分别为C和D, P为抛物线的顶点，且点 P纵坐标为4,抛物线的对称轴交直线于点Q.(1)试用含k的代数式表示点 Q、点B的坐标.(2)连接PC,若四边形CDQP的内部(包括边界和顶点)只有 4个横坐标、纵坐标均为整数的点，求k的取值范围.(3)如图，四边形 CDQP为平行四边形时，求k的值；E、F为线段DB上的点(含端点)，横坐标分别为a, a+n (n为正整数)，EG/ y轴交抛物线于点 G.问是否存在正整数n,使满足tan/EGF=;的点E有两个若存在，求出n；若不存在说明理由.4图圉【题组六】21. (2019?泉山区校级二模)如图，抛物线 y = x2+bx+c与

22、x轴交于A、B两点，B点坐标为(3, 0),与y 轴交于点C (0, 3).(1)求抛物线对应函数的关系式，及 A点坐标.(2)点D为抛物线对称轴上一点.当 BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点 D的坐标；若 BCD是锐角三角形，求点 D的纵坐标的取值范围.V以773O备用园22. (2019?宿迁模拟)如图，抛物线y =-1x2+bx+c与x轴交于A、B两点,直线y= x+ -经过点A,与抛物线的另一个交点为点C (3,m),线段PQ在线段AB上移动，PQ=1,分别过点P、Q作x轴的垂线,交抛物线于E、F,交直线于D、G.(1)求抛物线的解析式;(2)设四边形DEFG的面积为S,求S的

23、最大值;(3)在线段PQ的移动过程中,以 D, E, F, G为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P的坐标.0P23. (2019?东台市模拟)如图，抛物线y = ax2+bx+3的图象经过点A (1, 0), B (3, 0),交 y 轴于点 A顶点是D.(1)求抛物线的表达式和顶点 D的坐标;(2)在x轴上取点F,在抛物线上取点E,使以点 A D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标;(3)将此抛物线沿着过点(0,2)且垂直于y轴的直线翻折,E为所得新抛物线x轴上方一动点，过 E作x轴的垂线，交x轴于G,交直线l： y= - -x1于点F,以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN,求

24、弦MN长度的最大值.24. (2019?阜宁县一模)如图，已知抛物线y= - - x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,4若已知A点的坐标为 A(- 2, 0).(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；(2)求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；(3)证明：以AC为直径的圆与抛物线的对称轴相离；(4)在抛物线对称轴上是否存在点Q,使4ACQ的外心恰好在一条边上若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案【真题再现】1. (2019年盐城27题)如图所示，二次函数 y=k (x-1) 2+2的图象与一次函数 y= kx - k+2的图象交于

25、A、B两点，点B在点A的右侧，直线 AB分别与x、y轴交于C D两点，其中k<0.(1)求A、B两点的横坐标；(2)若 OAB是以OA为腰的等腰三角形，求 k的值；(3)二次函数图象的对称轴与 x轴交于点E,是否存在实数k,使彳ODC= 2/BEC若存在,求出k 的值；若不存在，说明理由.【分析】(1)将二次函数与一次函数联立得：k (x 1)(2)分OA= AB、OA= OB两种情况，求解即可；(3)求出 m= k2 k"-+j,在 AHM 中，BKBEC - " k+2,即可求解.【解析】(1)将二次函数与一次函数联立得：k (x-1)解得：x= 1和2,故点A、

26、B的坐标横坐标分别为1和2;(2)0A+ / -4号，当0A= AB时，即：1+k2= 5,解得：k= + 2 (舍去 2);当0A= 0B时，4+ (k+2) 2 = 5,解得：k= - 1 或-3;故k的值为：-1或-2或-3;(3)存在，理由：当点B在x轴上方时，过点B作BHLAE于点H,将 AHB的图形放大见右侧图形，过点A作/ HAB的角平分线交 BH于点M,过点M作MN，AB于点N,过点B作B。x轴于点2+2 = kx k+2,即可求解;JIM m tan a, Ali -；2+2 = kx k+2tan /K,图中：点 A (1, 2)、点 B (2, k+2),则 AH= k,

27、 HB= 1 ,设：HM = m=MN,贝U BM=1 m,贝UAN=AH= k, ABfM+L NB= AB AN,由勾股定理得：MB2=NB2+mn2,即：（1 m） 2 = m2+（ %F 十* + k） 2，解得：m= k2 k F ,.，在 AHM 中，tan a- k= tan / BEC- k+2,AHV££解得：k 土力,此时k+2>0,则-2<k<0,故：舍去正值，故k -忑；当点B在x轴下方时，=,一，口 ，H储而,厂 跳 ,八、同理可得：tan a 一 = k 、+/二 tan / BEC =_ ( k+2),All 'EK4

28、 +解得：k =或此时k+2V 0, k< 2,故舍去故k的值为：一卡或2. (2019年连云港26题)如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线Li： y = x2+bx+c过点C (0, - 3),与抛物线匕：y= =42 = 4+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线Li、L2上的动点.(1)求抛物线Li对应的函数表达式；(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P的坐标；(3)设点R为抛物线Li上另一个动点，且 CA平分/ PCR若OQ/PR,求出点Q的坐标.【分析】(1)先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可;(2)设点P的坐

29、标为(x, x2 2x 3),分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边， AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线L2： y=x+2中，列出方程求得解便可；(3)当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分/ PCR当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为 S、T,过点P作PHLTR于点H,设点P坐标为(xi,点R坐标为(X2,J),证明 PSC- RTC 由相似比得到xi+x2 = 4,进而得tan/PRH的值，过点 Q作QK±x轴于点K,设点Q坐标为(m,7 ? 3，一，、小 一一

30、由tan / QOK= tan/PRH,移出m的方程，求得 m便可.一.，、 L 3 一 【解析】(1)将x=2代入y = - -x2_ ； x+2,得y= 3,故点A的坐标为(2, 3),7将 A (2,3), C (0,3)代入 y = x2+bx+c,得AT -。3 =。+ 0 + e,解得;抛物线 L1: y=x2 2x 3;(2)如图，设点 P的坐标为(x, x2 2x 3),第一种情况：AC为平行四边形的一条边，当点Q在点P右侧时，则点 Q的坐标为(x+2, x2 2x 3),/ I 3将 Q (x+2, x2 2x 3)代入 y = -：x2_ -x+2,得 JU Ix2 2x

31、3= _ . (x+2) 2 一 , (x+2) +2,解彳# x= 0或x= - 1,因为x=0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为(-1, 0);当点Q在点P左侧时，则点 Q的坐标为(x 2, x2 2x 3),7| I将 Q (x 2, x2 2x 3)代入 y =-小2- Jx+2,得y =-邛-,x+2,得7 I 3 x2 2x 3 = - - (x- 2) 2 - - (x - 2) +2,4解得,x= 3,或 x =-二， j此时点P的坐标为(3, 0)或(_、，.，)；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为(1, - 3),得PQ的

32、中点坐标为(1, - 3),故点Q的坐标为(2 - x, - x2+2x 3), i 3将 Q (2 x, x2+2x 3)代入 y =-二x2-、x+2,得cc 3 , 一 、一x2+2x 3- r (2 x) 2- - (2-x) +2,解得，x= 0或x= - 3,因为x=0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去,此时点P的坐标为（-3, 12）,综上所述，点P的坐标为（-1, 0）或（3, 0）或（.g , f）或（-3, 12）;(3)当点P在y轴左侧时，抛物线 L1不存在点R使得CA平分/ PCRP在y轴右侧时，不妨设点 P在CA的上方，点R在CA的下方,过点P、R分别作y轴的垂

33、线，垂足分别为 S、T,过点P 作 PH，TR于点 H,贝U有/ PSG= Z RTG= 90° ,由 CA平分/ PCR 得/ PCA= / RCA 贝1J/ PCS= / RCTPSS RTC,CS C1"所以有设点P坐标为（x1,工/_工/_3）,点R坐标为（x2,p整理得，x什X2=4,-/ PH 耳A -刃在 RtPRH 中，tan/PRH _过点Q作QK, x轴于点K,设点Q坐标为（m ,若 OQ/ PR,则需/ QOK= / PRH,所以 tan / QOK= tan / PRH= 2,-nt - 2,所以2m =解得，m 所以点q坐标为q弋3. (2019年

34、无锡27题)已知二次函数y = ax2- 4ax+c (a<0)的图象与它的对称轴相交于点 A,与y轴相 交于点C (0, -2),其对称轴与x轴相交于点B(1)若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且 BD二、，求这个二次函数的表达式；(2)已知P在y轴上，且 POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值.【分析】(1)先求得对称轴方程，进而得 B点坐标，过D作DH，x轴于点H,由B, C的坐标得/ OBC = 45。，进而求得DH, BH,便可得D点坐标，再由待定系数法求得解析式；(2)先求出A点的坐标，再分两种情况：A点在x轴上时， OPA为等腰

35、直角三角形，符合条件的点P恰好有2个；A点不在x轴上，/ AOB= 30° , OPA为等边三角形或顶角为 120°的等腰三角形，符 合条件的点P恰好有2个.据此求得a.【解析】(1)过点D作DH，x轴于点H,如图1,二二次函数 y= ax2 - 4ax+c,:对称轴为x - 二 32a：B (2, 0), C (0,2),OB= OC= 2,Z OBC= / DBH= 45° , BH ,BH= DH=1 ,OH= OB+BH= 2+1 = 3, D (3, 1),把 C (0,2) , D (3, 1)代入 y = ax2 4ax+c 中得，y 二，k=-;二

36、次函数的解析式为 y= x2+4x 2;(2)y = ax2 4ax+c过 C (0, - 2),:c= - 2,y=ax2 4ax+c= a(x-2) 2 4a 2,：A (2, 4a 2),. P在y轴上，且 POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，:当抛物线的顶点 A在x轴上时，/ POA= 90° ,则OP= OA,这本的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2,：4a 2=0,解彳导a = - 一； 2当抛物线的顶点 A不在x轴上时，/AOB= 30°时，则4OPA为等边三角形或/ AOP= 120°的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图 3,4

37、. （2017年淮安28题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数V= x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B, C三点，其中点A的坐标为（-3, 0）,点B的坐标为（4,0）,连接AC, BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点 C作匀速运动；同时，动点 Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点 B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空：b= , c= 4（2）在点P, Q运动过程中， APQ可能是直角三角形吗请说明理由;(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M,使4PQM是以点P为直角顶点的等腰

38、直角三角形若存在，请求出运动时间 t;若不存在，请说明理由；(4)如图，点N的坐标为(.-，0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时，请直接写出点 Q'的坐标.图备用图一 九、一, 【分析】(1)设抛物线的解析式为 y=a (x+3) (x-4).将a=-代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；(2)连结QC.先求得点C的坐标，则PC= 5 t,依据勾股定理可求得 AC= 5, CCF=t . .b=' c = 4. (2)在点P、Q运动过程中， APQ不可能是直角三角形.理由如下：连结QC.+l6,接下来，依据C

39、Q2-CP = AQ2- AP2列方程求解即可；(3)过点P作DE/x轴，分别过点 M、Q作MDDE、QE± DE,垂足分别为 D、E, MD交x轴与点F,过点P作PG, x轴，垂足为点G,首先证明PAS ACO,依据相似三角形的性质可得到PG=t,53I 42AG=；t,然后可求得PE DF的长，然后再证明 MDP/PEQ,从而彳1到PD= EQ=：t,MD = PE= 3- ；t,JI JJ然后可求得FM和OF的长，从而可得到点 M的坐标，然后将点 M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；(4)连结：OP,取OP的中点R,连结RH, NR,延长NR交线段BC与点Q'.首先依据

40、三角形的中位/I ；|I /1线定理得到RH=；QO= .t, RH/ OQ, NR='AP - ；t,则RH= NR,接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明 NH是/QNQ'的平分线，然后求得直线 NR和BC的解析式，最后求得直线 NR和BC的交点坐标即可./11【解析】(1)设抛物线的解析式为 y=a (x+3) (x-4).将2=-.代入得：y= - .x2-：x+4,jj3.寸 og国;在点P、Q运动过程中，/ PAQ /PQA始终为锐角，:当 APQ是直角三角形时，则/ APQ= 90° .将x= 0代入抛物线的解析式得：y=4,：C (0, 4).

41、AP= OQ= t,PO 5 t,在RtAOC中，依据勾股定理得： AC= 5,在RtCOQ中，依据勾股定理可知： CCF= t2+l6,在RtA CPQ中依据勾股定理可知：PQ2= CQ-CP2,在RtAPQ中，AQ2 AP2 = PQ2, .CQCP = AQ2AP2,即(3+t)2t2=t2+i6(5t)2,解得：t=.;由题意可知：00t< 4,：t =不合题意，即 APQ不可能是直角三角形.(3)如图所示：Af G Q Sx4 图 过点P作DE/ x轴，分别过点 M、Q作MDDE、QE± DE,垂足分别为 D、E, MD交x轴与点F,过点P作PG, x轴，垂足为点 G

42、,则PG/ y轴，/E=/D= 90° . PG/ y 轴，： PAG ACO,:=,即=,OC OA AC 435:PG 一二t, AG 一一t,5|5J 24PE= GQ= GO+OQ= AO AG+OQ= 3-；t+t = 3+；t, DF= GP= .t. Z MPQ = 90° , / D=90：/ DMP+/DPM=/EPQ+/ DPM = 90° ,Z DMP=/ EPQ又/ D= / E, PM = PQ, A MDPA PEQJ力PD= EQ=m，MD = PE= 3-卡FM= MD DF=m , j = 3 _ -t, OF= FG+GO= P

43、D+OA AG=3+ -t- -tM ( 3_ -t,35,点M在x轴下方的抛物线上,0< t< 4,(-3- -_t)(-3-4) +4,解得:(4)如图所示：连结 OP,取OP的中点R,连结RH, NR,延长NR交线段BC于点Q'.,点H为PQ的中点，点 R为OP的中点,RH=QO = 4, RH/ OQ.A ( 3, 0), N (-、，0),:点N为OA的中点.A又丁 R为OP的中点，RH= NR,Z RNH=/ RHN. RH/ OQ,Z RHN=/ HNO,:/ RNH=/ HNO,即 NH 是/QNQ'的平分线.设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A

44、 (-3, 0)、C (0, 4)代入得:解得:n = 4,;直线AC的表示为y = -x+4.同理可得直线BC的表达式为y= x+4.设直线NR的函数表达式为 1=-|x+s,将点N的坐标代入得：-X ( -1 ) +s= 0,解得：s= 2, 332, ;直线nr的表述表达式为y=#+2.I一. =不?622将直线NR和直线BC的表达式联乂得：§,解得：x = -, y =，F =一工 + J:Q' ( _,二).I 75.(2017年宿迁25题)如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = x2 2x 3交x轴于A, B两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于x轴上方

45、曲线记作 M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作 N,曲线N交y轴于点C,连接AC BC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；(2)求 ABC外接圆的半径；(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点，点 Q为x轴上的一个动点，若以点 B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q的坐标.【分析】(1)由已知抛物线可求得 A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；(2)由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；(3)设Q

46、(x, 0),当BC为平行四边形的边时，则有 BQ/ PC且BQ= PC,从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到 x的方程，可求得 Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、CP点坐标，代入抛物线解析式可得到关于的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出的方程，可求得P点坐标.【解析】(1)在 y = x2 2x 3 中，令 y=0 可得 x2 2x 3=0,解得 x= 1 或 x=3,'-AL 1, 0), B (3, 0),令x=0可得y= - 3,又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线 N,：C (0, 3),设曲线N的解析式为y= ax2+bx+

47、c,上! - b + 白= 0p - - J把A、B、C的坐标代入可得1%.匕 八，解得,/；,曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y= x2+2x+3;(2)设 ABC外接圆的圆心为 M,则点M为线段BC线段AB垂直平分线的交点,1 . B (3, 0), C (0, 3),二线段BC的垂直平分线的解析式为 y = x,又线段AB的垂直平分线为曲线 N的对称轴，即x=1,M (1, 1),MB 而=77不=/ ,即 ABC外接圆的半径为 心;(3)设 Q (t, 0),则 BQ=|t 3|当BC为平行四边形的边时，如图 1,则有BQ/ PC,：P点纵坐标为3,即过C点与x轴平行的直线与曲线 M

48、和曲线N的交点即为点P, x轴上对应的即为点 Q,当点P在曲线M上时，在y = x2 2x 3中，令y=3可解得x= 1+/或x=1 ,小，PC= 1 十/或 PC 、力-1,当x=1十1斤时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ= t 3,2 -t 3= 1 币,解得 t = 4 + J,当x=1 _ 1广时，可知点 Q在点B的左侧，可得 BQ = 3-t,3 3 t =二1 ,解得 t = 4_%另，:Q点坐标为（4十/, 0）或（4 一10）;当点P在曲线N上时，在y=-x2+2x+3中，令y=3可求得x = 0 （舍去）或x = 2,PC= 2,止匕时Q点在B点的右侧，则 BQ= t 3,.

49、t 3=2,解得 t = 5,4 .Q点坐标为（5, 0）;当BC为平行四边形的对角线时，. B （3, 0）, C （0, 3）,二线段BC的中点为（二）,设P （x, y）,. x+t=3） y+0 = 3） 解得 x=3 1, y= 3,.二 P （3-t, 3）,当点P在曲线M上时，则有3= （3t） 22 （3 t） 3,解得t = 2十y二或t=2一 J二，：Q点坐标为（2十尸，0）或（2_110）;当点P在曲线N上时，则有3=（3-t） 2+2 （3-t） +3,解得t = 3 （Q、B重合，舍去）或t=1,：Q点坐标为（1, 0）；综上可知Q点的坐标为（4十卜 0）或（4_目，

50、0）或（5, 0）或（2十 （另,0）或（2_ %氏 0） 或（1, 0）.6.1（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系 xOy,已知二次函数y= =-.W+bx的图象过点A （4, 0）, 2顶点为B,连接AB、B0.（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B',当 OCB为等边三角 形时，求BQ的长度；（3）若点 D在线段BO上，OD= 2DB,点E、F在4OAB的边上，且满足 DOF与4DEF全等，求点 E【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式;(2)先求出OB和AB的长，根据勾股定理的逆定理证明/ ABO=

51、 90° ,由对称计算/ QCB= 60° ,利 用特殊的三角函数列式可得 BQ的长；(3)因为D在OB上，所以F分两种情况：i)当F在边OA上时，ii)当点F在AB上时，当F在边OA上时，分三种情况：如图2,过D作DF，x轴，垂足为F,则E、F在OA上，如图3,作辅助线，构建 OF8 ED- FGE如图4, WA DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E,当点F在OB上时，过 D作DF/ x轴，交AB于F,连接OF与DA,依次求出点 E的坐标即可.ii)当点F在AB上时，分两种情况：画出图形可得结论. 匚L【解析】(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式得：:

52、42+4b=0,解得b = 2,;二次函数的表达式为y= _ x2+2x.L /0(2) y = - ”x2+2x = - - (x-2) 2+2,B (2, 2),抛物线的对称轴为 x=2.如图1所示：由两点间的距离公式得：OB 2： 2 22/j, BA E ”十曰-=2、口 .C是OB的中点，OC= BC = 区 OB' C为等边三角形，OCB =60 ° .又二点B与点B'关于CQ对称，：/ B' CQ= / BCQ= 60° . - OA= 4, OB=2/f, AB= 2忑，OB2+AB2=OA2：/OBA= 90° .BC在

53、RtCBQ 中，/ CBQ= 90° , / BCQ= 60° , BC =也, :tan60°BQ - yjcb -'- 6-（3）分两种情况:i）当F在边OA上时，如图2,过D作DF，x轴，垂足为F,由（2）得：OB=2、，.点D在线段BO上，OD=2DB,OD = -OB =, J 3,/BOA= 45° ,:cos45°=OD一，一一 8:点E的坐标为（一,0）;如图3,过D作DF,x轴于F,过D作DE/ x轴，交AB于E,连接EF,过E作EG,x轴于G,BD DE 1=二二OB 0A 3OA= 4,DE= -， DE/ OA,：/ OFD= / FDE= 90° ,DE= OF= DF= DF,. .OF® EDF,同理可得： ED陷 A FGE. .OFg ED FGE一八 八八一J 4 J _ _。/OG= OF+FG= OF+DE=-+-, EG= DF= OD?sin45 =-,3 3 3J. E的坐标为（一，F）;3 |3如图4,将ADOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E,过B作BM，x轴于M ,过E作EN± BM于N,上4:在RtDBE中，由勾股定理得：BE = J门户一方斤=三-ZL 心 LA G KE贝