控制系统的能控性和能观测性ppt课件

1、第第3章章 控制系统的能控性和能观测性控制系统的能控性和能观测性 在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的根本特性，是现代控制实际中最重要的根本概念。构造的根本特性，是现代控制实际中最重要的根本概念。 本章的内容为：本章的内容为：1. 引言引言能控性、能观测性的根本概念能控性、能观测性的根本概念2. 能控性及其判据能控性及其判据3. 能观测性及其判据能观测性及其判据4. 离散系统的能控性和能观测性离散系统的能控性和能观测性5. 对偶原理对偶原理6. 能控规范形和能观测规范形能控规范形和能观测规范形7. 能控性、能观测性与

2、传送函数的关系能控性、能观测性与传送函数的关系8. 系统的构造分解系统的构造分解9. 实现问题实现问题10. 运用运用MATLAB判别系统的能控性和能观测性判别系统的能控性和能观测性3.1 3.1 引言引言 首先，经过例子引见能控性、能观测性的根本概念。首先，经过例子引见能控性、能观测性的根本概念。)(tuCux 例例3-1 3-1 电路如以下图所示。假设选取电容两端的电压电路如以下图所示。假设选取电容两端的电压 为形为形状变量，即：状变量，即： 。 电桥平衡时，不论输入电压电桥平衡时，不论输入电压 如何改动，如何改动， 不随着不随着 的变化而改动，或者说形状变量不的变化而改动，或者说形状变量

3、不受受 的控制。即：该电路的形状是不能控的。的控制。即：该电路的形状是不能控的。Cu)(tuCutx)()(tu 显然，当电桥不平衡时，显然，当电桥不平衡时，该电路的形状是能控的。该电路的形状是能控的。11Cux 22Cux 例例3-2 3-2 电路如以下图所示，假设选择电容电路如以下图所示，假设选择电容C1C1、 C2C2两端的电压为两端的电压为形状变量，即：形状变量，即： ， ，电路的输出，电路的输出 为为C2C2上的电压，即上的电压，即 ，那么电路的系统方程为，那么电路的系统方程为y2xy u112112xbuAxx xCx10y假设初始形状为假设初始形状为00)0(x系统形状转移矩阵为

4、系统形状转移矩阵为ttttttttt3333eeeeeeee21eA系统形状方程的解为系统形状方程的解为utxttd)(e11)(0)(可见，不论参与什么样的可见，不论参与什么样的输入信号，总是有输入信号，总是有21xx 普通情况下，系统方程可以表示为普通情况下，系统方程可以表示为CxyBuAxx 1形状能控与否，不仅取决于形状能控与否，不仅取决于B 阵直接关系，还取决于阵直接关系，还取决于A 阵间阵间接关系。接关系。u-u012112xBAxx xx11 Cy系统形状转移矩阵为系统形状转移矩阵为ttttttttt3333eeeeeeee21eA 系统能观测问题是研讨丈量输出变量系统能观测问题

5、是研讨丈量输出变量 y 去确定形状变量的问题。去确定形状变量的问题。)(ty例例3-3 3-3 电路如以下图所示。选取电路如以下图所示。选取 为输入量，为输入量， 为输出量，为输出量，两个电感上的电流分别作为形状变量，那么系统方程为两个电感上的电流分别作为形状变量，那么系统方程为)(tu系统形状方程的解为系统形状方程的解为tuttttd)(e)0(e)()(0bxxAA为了简便起见，令为了简便起见，令0)(tu那么那么)0(e)(xxAtt ttxxty321e)0()0()0(e)(xCA从上式可知，不论初始形状为什么数值，输出从上式可知，不论初始形状为什么数值，输出 仅仅取决于其差仅仅取决

6、于其差值值 。当。当 ，那么输出恒等于零。显然，无法经过，那么输出恒等于零。显然，无法经过对输出的观测去确定初始形状，称这样的系统是不能观测的。对输出的观测去确定初始形状，称这样的系统是不能观测的。)0 () 0 (21xx) 0 () 0 (21xx对于不能观测的系统，其不能观测的形状分量与对于不能观测的系统，其不能观测的形状分量与y 既无直接关系，既无直接关系，又无间接关系。形状能否能观测不仅取决于又无间接关系。形状能否能观测不仅取决于C，还与，还与A 有关。有关。普通情况下，系统方程如式普通情况下，系统方程如式1所示，形状能观测与否，不仅取所示，形状能观测与否，不仅取决于决于C 阵直接关

7、系，还取决于阵直接关系，还取决于A阵间接关系。阵间接关系。3.2 3.2 能控性及其判据能控性及其判据3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据线性定常系统的能控性及其判据1. 能控性定义能控性定义线性定常系统的形状方程为线性定常系统的形状方程为BuAxx2给定系一致个初始形状给定系一致个初始形状 ，假设在，假设在 的有限时间区间的有限时间区间 内，存在允许控制内，存在允许控制 ，使，使 ，那么称系统形状在，那么称系统形状在 时辰时辰是能控的；假设系统对恣意一个初始形状都能控，那么称系统是形是能控的；假设系统对恣意一个初始形状都能控，那么称系统是形状完全能控的。状完全能控的。)(0tx01tt

8、,10tt)(tu0)(1tx0t阐明：阐明：1 初始形状初始形状 是形状空间中的恣意非零有限点，控制的目的是是形状空间中的恣意非零有限点，控制的目的是形状空间的坐标原点。假设控制目的不是坐标原点，可以经过坐形状空间的坐标原点。假设控制目的不是坐标原点，可以经过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。2假设在有限时间区间假设在有限时间区间 内，存在允许控制内，存在允许控制 ，使系统，使系统从形状空间坐标原点推向预先指定的形状从形状空间坐标原点推向预先指定的形状 ，那么称系统是形，那么称系统是形状能达的；由于延续系统的形状转移矩阵是非奇特的，因此系统的状能达

9、的；由于延续系统的形状转移矩阵是非奇特的，因此系统的能控性和能达性是等价的。能控性和能达性是等价的。,10tt)(tu)(1tx3只需整个形状空间中一切的有限点都是能控的，系统才是能只需整个形状空间中一切的有限点都是能控的，系统才是能控的。控的。etd)()0(10BuxA4满足满足3式的初始形状，必是能控形状。式的初始形状，必是能控形状。3)(tu)(tf5当系统中存在不依赖于当系统中存在不依赖于 确实定性干扰确实定性干扰 时，时， 不会改不会改动系统的能控性。动系统的能控性。)(tf)(tfBuAxx42. 能控性判据能控性判据定理定理3-1 3-1 2 2式的线性定常系统为形状能控的充分

10、必要条件式的线性定常系统为形状能控的充分必要条件是下面的是下面的n nn n维格拉姆矩阵满秩维格拉姆矩阵满秩tTtTdee), 0(101AACBBW5证明参见教材证明参见教材84页页这个定理为能控性的普通判据。但是，由于要计算形状转移矩阵，这个定理为能控性的普通判据。但是，由于要计算形状转移矩阵，比较繁琐。实践上，常用下面引见的判据。比较繁琐。实践上，常用下面引见的判据。定理定理3-2 3-2 2 2式的线性定常系统为形状能控的充分必要条件是下式的线性定常系统为形状能控的充分必要条件是下面的面的n nnr nr 维能控性矩阵满秩。维能控性矩阵满秩。67BABAABBQ1n2CnCQrank证

11、明证明运用凯运用凯-哈定理，有哈定理，有101110)()()()(niiin-naaaaeAAAIA上式代入上式代入3式式axtiniid)()()0(1010uBA8iiriitia 210d)()(1u)1, 1 ,0(ni于是于是1101)0(nn-BAABBx91n 1 假设系统能控，必可以从假设系统能控，必可以从9式中解得式中解得 ， ， ， 。这。这样就要求样就要求0 nrankrankBABAABBQ1n2C本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。定理定理3-3 3-3 PBHPBH判别法判别法 2 2式的线性定常系统为形状能式的线性定常

12、系统为形状能控的充分必要条件是，对控的充分必要条件是，对A A 的一切特征值的一切特征值 ，都有，都有inrankiBAI10),2, 1(ni证明略证明略可以运用定理可以运用定理3-2证明，详见教材证明，详见教材87页页11),2, 1(ni定理定理3-4 3-4 2 2式的线性定常系统的矩阵式的线性定常系统的矩阵 A A 的特征值的特征值 互异，互异， i将系统经过非奇特线性变换变换成对角阵将系统经过非奇特线性变换变换成对角阵uBxxn0021那么系统能控的充分必要条件是矩阵那么系统能控的充分必要条件是矩阵 中不包含元素全为零的行。中不包含元素全为零的行。B例例3-6 3-6 有如下两个线

13、性定常系统，判别其能控性。有如下两个线性定常系统，判别其能控性。u90210507xx u57041010507xx 12解解 根据定理根据定理3-4， 系统系统1不能控不能控 ； 系统系统2能控。能控。且且 ， ， nlkii1)(ji kl3l2lk32定理定理3-53-52 2式的线性定常系统的矩阵式的线性定常系统的矩阵 A A 具有重特征具有重特征值，值， 、 、 、 分别为分别为 重、重、 重、重、 重、重、 重。重。 11lji 经过非奇特线性变换，得到约当阵经过非奇特线性变换，得到约当阵那么系统能控的充分必要条件是矩阵那么系统能控的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块最下中与每

14、一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。面一行对应行的元素不全为零。BuBxJJJxk0021iiii0101J12例例3-7 3-7 有如下两个线性定常系统，判别其能控性。有如下两个线性定常系统，判别其能控性。u340200040014xx u030024200040014xx 12解解根据定理根据定理3-5， 系统系统1能控能控 ； 系统系统2不能控不能控 定理定理3-4、定理、定理3-5不仅可以判别系统能控性，而且对不仅可以判别系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个形状分量不能控。于不能控的系统，可以知道哪个形状分量不能控。阐明：阐明：1.上面经过几个定理给出判别系统能控性的

15、判据。虽然它们上面经过几个定理给出判别系统能控性的判据。虽然它们的表达方式、方法不同，但是，在判别线性定常系统能控性时是等的表达方式、方法不同，但是，在判别线性定常系统能控性时是等价的。价的。 2.在线性延续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，在线性延续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判别能达性。能控性判据同样可以判别能达性。3.2.2 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据uBxAx)()(tt)(0tx13线性时变系统的形状方程为线性时变系统的形状方程为01tt 定理定理3-6 3-6 形状在时辰形状在时辰 能控的充分必要条件是存在一个有

16、限时能控的充分必要条件是存在一个有限时间间 ，使得函数矩阵，使得函数矩阵 的的n n个行在个行在 上线性无关。上线性无关。0t,01tt)(),(10tttB 证明略证明略01tt 定理定理3-7 3-7 形状在时辰形状在时辰 能控的充分必要条件是存在一个有限时能控的充分必要条件是存在一个有限时间间 ，使得以下格拉姆矩阵非奇特。，使得以下格拉姆矩阵非奇特。0ttttttttttTTttd),()()(),(,001010 BBWC1415定义：定义：)(dd)()()(1tttttkkkMMAM1, 1 ,0nk16)()(0ttBM当当0k)(dd)()()(001tttttMMAM1k)(

17、dd)()()(112tttttMMAM2k)(dd)()()(223tttttMMAM定理定理3-8 3-8 假设线性时变系统的假设线性时变系统的 和和 的元是的元是(n(n1)1)阶阶延续可微的。假设存在一个有限的延续可微的。假设存在一个有限的 ，使得，使得)(tA)(tB01tt ntttn)()()(rank111110MMM17那么系统在那么系统在 是能控的。是能控的。0t例例3-8 3-8 线性事变系统方程线性事变系统方程为为 ，ut10000 xx x50y初始时辰初始时辰 ，试判别系统的能控性。，试判别系统的能控性。00t解10)()(0ttBM010000)(dd)()()(

18、001tttttttMMAM而而2010rank)()(rank10tttMM所以，能控。所以，能控。3.3 3.3 能观测性判据能观测性判据3.3.1 线性定常系统能观测性及其判据线性定常系统能观测性及其判据1. 能观测性定义能观测性定义18线性定常系统方程为线性定常系统方程为)(0tx假设在有限时间区间假设在有限时间区间 内，经过观测内，经过观测 ，可以独，可以独一地确定系统的初始形状一地确定系统的初始形状 ，称系统形状在，称系统形状在 是能观测的。假设是能观测的。假设对恣意的初始形状都能观测，那么称系统是形状完全能观测的。对恣意的初始形状都能观测，那么称系统是形状完全能观测的。01tt

19、,10tt)(ty0t阐明：阐明：1 知系统在有限时间区间知系统在有限时间区间 内的输出内的输出 ，观测，观测的目的是为了确定的目的是为了确定 。)(,1010 tttt)(ty)(0tx)(,1010 tttt)(ty2假设根据假设根据 内的输出内的输出 可以独一地确定恣意指可以独一地确定恣意指定形状定形状 ，那么称系统是可检测的。延续系统的能观测性和能，那么称系统是可检测的。延续系统的能观测性和能检测性等价。检测性等价。)(1txCxyBuAxx3形状空间中一切有限点都是能观测的，那么系统才是能观测的。形状空间中一切有限点都是能观测的，那么系统才是能观测的。4系统的输入系统的输入 以及确定

20、性的干扰信号以及确定性的干扰信号 均不改动系统的均不改动系统的能观测性。能观测性。)(tu)(tf2. 能观测性能观测性定理定理3-9 3-9 1818式所描画的系统为能观测的充分必要条件是以下式所描画的系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即格拉姆能观性矩阵满秩，即nt, 0rank1OW1920tttTttTdee, 0101AAOCCW其中其中证明见教材证明见教材92页页这个定理为能观测性的普通判据。但是，由于要计算形状转移矩这个定理为能观测性的普通判据。但是，由于要计算形状转移矩阵，比较繁琐。实践上，常用下面引见的判据。阵，比较繁琐。实践上，常用下面引见的判据。定理定理

21、3-10 3-10 1818式所描画的系统为能观测的充分必要条件是以下式所描画的系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即能观性矩阵满秩，即nnmn1CACACQOnOQrank2122证明证明 设设 ， 系统的齐次形状方程的解为系统的齐次形状方程的解为0)(tu)0(e)()(xCCxyAttt)0(e)(xxAtt 23运用凯运用凯-哈定理，有哈定理，有10)(eniiiaAA那那么么)0()()(10 xACyniiiat或者写成或者写成)0()()()()(1110 xCACACynntatatat由于由于 是知函数，因此，根据有限时间是知函数，因此，根据有限时间 内的内的 可

22、以独可以独一地确定初始形状一地确定初始形状 的充分必要条件为的充分必要条件为 满秩。满秩。)(tai,01t)(ty)0(xOQ定理定理3-113-11PBHPBH判别法判别法 系统系统1818为能观测的充分必要的条件为能观测的充分必要的条件是：对于是：对于A A 的每一个特征值的每一个特征值 ，以下矩阵的秩均为，以下矩阵的秩均为n ninCi AIrank24例例3-9 3-9 系统方程如下，试判别系统的能控性系统方程如下，试判别系统的能控性u215002xx x10y解解15010rankrankCAC不满秩，故系统不能观测。不满秩，故系统不能观测。由于以上判据很简单，因此最为常用由于以上

23、判据很简单，因此最为常用B定理定理3-12 3-12 假设假设1818式描画的系统的式描画的系统的A A 阵特征值阵特征值 互异，经互异，经过非奇特线性变换成为对角阵，那么系统为能观测的充分必要条件过非奇特线性变换成为对角阵，那么系统为能观测的充分必要条件是是 矩阵中不包含元素全为零的列。矩阵中不包含元素全为零的列。i例例3-10 有如下两个线性定常系统，判别它们的能观测性。有如下两个线性定常系统，判别它们的能观测性。1xx10507x540y2xx10507x130023y解解 根据定理根据定理3-12可以判别，系统可以判别，系统1是不能观测的。系统是不能观测的。系统2是能观测的。是能观测的

24、。)(ji 且且 ， ， nlkii1kl2lk2定理定理3-13 3-13 假设假设1818式描画的系统的式描画的系统的A A 阵具有重特征值，阵具有重特征值， 、 、 分别为分别为 重、重、 重、重、 重。重。 11lji 经过非奇特线性变换，得到约当阵经过非奇特线性变换，得到约当阵uBxJJJxk0021iiii0101JxCy 那么系统能观测的充分必要条件是矩阵那么系统能观测的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块第中与每一个约当子块第一列对应的列，其元素不全为零。一列对应的列，其元素不全为零。C例例3-11 3-11 如下线性定常系统如下线性定常系统xx200001200000300

25、0013000013-xy0011001111试判别系统的能观测性。试判别系统的能观测性。解解 运用定理运用定理3-13可知，系统能观测。可知，系统能观测。 定理定理3-12、定理、定理3-13不仅可以判别系统能观测性，而不仅可以判别系统能观测性，而且对于不能观测的系统，可以知道哪个形状分量不能观测。且对于不能观测的系统，可以知道哪个形状分量不能观测。阐明：阐明：1.上面经过几个定理给出判别系统能观测性的判据。虽然它上面经过几个定理给出判别系统能观测性的判据。虽然它们的表达方式、方法不同，但是，在判别线性定常系统能观测性时们的表达方式、方法不同，但是，在判别线性定常系统能观测性时是等价的。是等

26、价的。 2.在线性延续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，在线性延续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，因此，能观测性判据同样可以判别能检测性。因此，能观测性判据同样可以判别能检测性。3.3.2 线性时变系统的能观测性判据线性时变系统的能观测性判据线性时变系统方程为线性时变系统方程为25xCyuBxAx)()()(ttt)(0tx,01tt01tt 定理定理3-14 3-14 形状在时辰形状在时辰 能观测的充分必要条件是存在一个有能观测的充分必要条件是存在一个有限时辰限时辰 ，使得函数矩阵，使得函数矩阵 的的n n个列在个列在 上线性无关。上线性无关。0t),()(0ttt C

27、01tt 定理定理3-15 3-15 形状在时辰形状在时辰 能观测的充分必要条件是存在一个有能观测的充分必要条件是存在一个有限时间限时间 ，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇特。，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇特。0ttttttttttTTttd),()()(),(,001010 CCWO定义定义)(dd)()()(1tttttkkkNANN)1, 1 ,0(nk26)()(0ttCN27定理定理3-16 3-16 假设线性时变系统的假设线性时变系统的 和和 的元是的元是(n(n1)1)阶阶延续可微的。假设存在一个有限的延续可微的。假设存在一个有限的 ，使得，使得)(tA)(tC01tt ntttn)

28、()()(rank111110NNN28那么系统在那么系统在 是能观测的。是能观测的。0t3.4 3.4 离散系统的能控性和能观测性离散系统的能控性和能观测性线性定常离散系统方程为线性定常离散系统方程为29)()(kkCxy)()() 1(kkkHuGxx3.4.1 能控性定义能控性定义系统系统29的任一个初始形状的任一个初始形状 ，存在，存在 ，在有限时间区间，在有限时间区间 内，存在允许控制序列内，存在允许控制序列 ，使得，使得 ，那么称系统是，那么称系统是形状完全能控的。形状完全能控的。)0(x0k, 0k)(ku0)(kx3.4.2 能控性判据能控性判据nHGGHHQ1nCrankra

29、nk证明见教材证明见教材96页页例例3-12 3-12 线性定常离散系统形状方程为线性定常离散系统形状方程为)(101)(011220001) 1(kukkxx判别系统的能控性。判别系统的能控性。30解解3111620111rankrankrank2HGGHHQC所以系统能控。所以系统能控。定理定理3-17 3-17 系统系统2929能控的充分必要条件是能控性矩阵能控的充分必要条件是能控性矩阵 的的秩为秩为n n，即，即 CQ3.4.3 能观测性定义能观测性定义)0(x对于对于29式所描画的系统，根据有限个采样周期的式所描画的系统，根据有限个采样周期的 ，可以，可以独一地确定系统的任一初始形状

30、独一地确定系统的任一初始形状 ，那么称系统是形状完全能观，那么称系统是形状完全能观测的。测的。)(ky3.4.4 能观测性判据能观测性判据定理定理3-18 3-18 系统系统2929能观测的充分必要条件是能观性矩阵能观测的充分必要条件是能观性矩阵 的秩为的秩为n n，即，即 OQnn1rankrankCGCGCQO证明请参见教材证明请参见教材97页页例例3-13 3-13 线性定常离散系统方程为线性定常离散系统方程为)(101)(011220001) 1(kukkxx)(111)(kkyx试判别系统的能观测性。试判别系统的能观测性。3642230111rankrankrank2CGCGCQO解

31、解因此，系统能观测。因此，系统能观测。3.4.5 延续系统离散化后的能控性与能观测性延续系统离散化后的能控性与能观测性线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxyBuAxx 31离散化后的系统方程为离散化后的系统方程为)()(kkCxy)()()1(kkkHuGxx32其中其中TAG eBHATTt0deT 是采样周期定理定理3-19 3-19 假设线性定常系统假设线性定常系统3131不能控不能观测，那么离不能控不能观测，那么离散化后的系统散化后的系统3232必是不能控不能观测。其逆定理普通不成必是不能控不能观测。其逆定理普通不成立。立。定理定理3-20 3-20 假设线性离散化后系统假设线性离

32、散化后系统3232能控能观测，那么离能控能观测，那么离散化前的延续系统散化前的延续系统3131必是能控能观测。其逆定理普通不成必是能控能观测。其逆定理普通不成立。立。定理定理3-21 假设延续系统假设延续系统31能控能观测，能控能观测，A 的全部特征的全部特征值互异，值互异， ，并且对，并且对 的特征值，假设的特征值，假设与采样周期的关系满足条件与采样周期的关系满足条件ji 0RejiImji Im2jikT,2, 1 k33那么离散化后的系统仍是能控能观测的。那么离散化后的系统仍是能控能观测的。3.5 3.5 对偶原理对偶原理线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxyBuAxx 34构造一个

33、系统构造一个系统 TTTBCA35系统系统34和和35互互为对偶系统。为对偶系统。上面引见了系统能控性和能观测性。从概念上和方式上都很类似。它给人们一个启示，即能控性和能观测性之间存在某种内在的联络。这个联络就是系统的对偶原理式35的系数矩阵为 ，输入矩阵为 ，输出矩阵为 TATCTB对偶系统具有两个根本特征对偶系统具有两个根本特征1. 对偶的两个系统传送函数矩阵互为转置对偶的两个系统传送函数矩阵互为转置BAICG11)(ss)()()(1112ssssTTTTTGBAICCAIBG2. 对偶的两个系统特征值一样对偶的两个系统特征值一样detdetTssAIAI对偶原理：对偶原理： 系统系统3

34、4的能控性等价于系统的能控性等价于系统35的能观测性；的能观测性；系统系统34的能观测性等价于系统的能观测性等价于系统35的能控性。的能控性。T12OCQQT12COQQ例例3-15 3-15 线性定常系统如下，判别其能观测性。线性定常系统如下，判别其能观测性。uu001010001100 xBAxx xCxy100解解以上系统的对偶系统为以上系统的对偶系统为TT100001100010 CA 001TB该对偶系统的能控性矩阵该对偶系统的能控性矩阵001100010CQ3rankCQ对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。 有了对偶原理，一个系统的能

35、控性问题可以经过它的对偶系统有了对偶原理，一个系统的能控性问题可以经过它的对偶系统的能观测性问题的处理而处理；而系统的能观测性问题可以经过它的能观测性问题的处理而处理；而系统的能观测性问题可以经过它的对偶系统的能控性问题的处理而处理。这在控制实际的研讨上有的对偶系统的能控性问题的处理而处理。这在控制实际的研讨上有重要意义。重要意义。3.6 3.6 能控规范形和能观测规范形能控规范形和能观测规范形363.6.1 能控规范形能控规范形线性定常系统线性定常系统duyuCxbAxx 设设A的特征多项式的特征多项式0111detaaaAInnn1bAAbbQCn能控性矩阵能控性矩阵duynx110定理定

36、理3-22 3-22 系统系统3636能控，经过线性变换可以将其变成如下方式能控，经过线性变换可以将其变成如下方式的能控规范形。的能控规范形。uaaan100010010010110 xx37推论：具有能控规范形的系一致定能控。推论：具有能控规范形的系一致定能控。证明参见教材证明参见教材104页页例例3-16 3-16 知能控的线性定常系统知能控的线性定常系统u110001010101xx x011y1能控性矩阵能控性矩阵解解1011111102bAAbbQC3rankCQ系统能控系统能控2A 的特征多项式的特征多项式12det23AI3计算变换矩阵计算变换矩阵 P12111101100101

37、12212321aaabAAbbppp21311211112111101111321pppP4计算计算C1021211110110111CPC5能控规范形能控规范形u100201100010 xxx102y3.6.2 能观测规范形能观测规范形系统系统36的能观测性矩阵为的能观测性矩阵为1nCACACQOnOQrank那么系统能观测那么系统能观测38定理定理3-23 3-23 系统系统3636能观测，经过线性变换可以将其变成如下方能观测，经过线性变换可以将其变成如下方式的能观规范形。式的能观规范形。uaaann110110100010010 xxx100y推论：具有能观规范形的系一致定能观。推论

38、：具有能观规范形的系一致定能观。变换矩阵可取为变换矩阵可取为11212101111nnnaaaaaCACACP393.7 3.7 能控性、能观性与传送函数的关系能控性、能观性与传送函数的关系调查调查SISO线性定常系统线性定常系统CxBAxxyu40其传送函数为其传送函数为41)()(detadj)(1sDsNssssgAIbAICbAIC传送函数的分子、分母分别为传送函数的分子、分母分别为bAICadj)(ssNdet)(AI ssD可以看出，在没有零极点对消的情况下，传送函数的特征根和系统可以看出，在没有零极点对消的情况下，传送函数的特征根和系统矩阵矩阵A 的特征值一样。的特征值一样。定理

39、定理3-24 SISO3-24 SISO系统系统 4040能控又能观的充分必要条件是能控又能观的充分必要条件是 不存在零、极点对消。不存在零、极点对消。)(sg例例3-17 3-17 线性定常系统方程如下，求系统传送函数，并且判别系统线性定常系统方程如下，求系统传送函数，并且判别系统能控性与能观性。能控性与能观性。u-102031xx x 11 y解解 传送函数为传送函数为11)2)(1(2detadj)(1ssssssssgAIbAICbAIC能控性能控性2130AbbQCn 2rankCQ能观性能观性1111CACQOn1rankOQ可见，系统传送函数有零、极点对消，能控但不能观。可见，系

40、统传送函数有零、极点对消，能控但不能观。该当指出，定理3-24对MIMO系统不适用。举例阐明如下。例例3-19 MIMO3-19 MIMO线性定常系统方程为线性定常系统方程为u010010100240231xx xy100001传送函数矩阵传送函数矩阵0442)4() 1(1)(21sssssssBAICG能控性能控性n301010101002001101210rankrankCQ能观性能观性n310010151100231100001rankrankOQ可见，传送函数矩阵虽然有零极点对消，但是可见，传送函数矩阵虽然有零极点对消，但是系统既能控又能观。这是由于极点系统既能控又能观。这是由于极点

41、(s-1)还剩一还剩一个，并未消逝，只是降低系统重极点的重数。个，并未消逝，只是降低系统重极点的重数。42CxyBuAxxMIMO线性定常系统线性定常系统定理定理3-25 3-25 假设系统假设系统4242的形状向量和输入向量之间的传送函数的形状向量和输入向量之间的传送函数矩阵矩阵 的各行线性无关，那么系统的各行线性无关，那么系统能控。能控。BAIGxu1)( ss定理定理3-26 3-26 假设系统假设系统4242的输出向量和形状向量之间的传送函数的输出向量和形状向量之间的传送函数矩阵矩阵 的各列线性无关，那么系的各列线性无关，那么系统能观。统能观。1)(AICGyxss3.8 3.8 系统

42、的构造分解系统的构造分解 一个不能控、不能观测的系统，从构造上来说，必定包括能控、一个不能控、不能观测的系统，从构造上来说，必定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统。如何按照能控性或能观测不能控以及能观测、不能观测的子系统。如何按照能控性或能观测性进展分解呢？性进展分解呢？ 我们知道，线性变换不改动系统的能控性和能观测性。因此，可我们知道，线性变换不改动系统的能控性和能观测性。因此，可采用线性变换方法将其分解。这里必需处理采用线性变换方法将其分解。这里必需处理3个问题：个问题：1、如何分解？、如何分解？2、分解后系统方程的方式为何？、分解后系统方程的方式为何？3、变换矩阵如何确定？、变

43、换矩阵如何确定？下面引见构造分解问题。下面引见构造分解问题。CxyBuAxx线性定常系统线性定常系统433.8.1 按能控性分解按能控性分解定理定理3-27 3-27 假设系统假设系统4343不能控，且形状不能控，且形状 有有 个形状分个形状分量能控，那么存在线性变换量能控，那么存在线性变换 ，使其变换成下面，使其变换成下面方式方式x1nxPxCuBxxAAAxxCCCCCCC0012CCCCxxCCy144并且并且 维子系统为维子系统为1nuBxAxAxCCCCC12CCxCy 1系统的传送函数矩阵系统的传送函数矩阵BAICBAICG11)(sssCCCCCCCCBAICBAIAAICC11

44、200sss4645CP 变换矩阵变换矩阵 确实定方法：由于确实定方法：由于即矩阵即矩阵 中有中有n1个线性无关的列向量，再补充个线性无关的列向量，再补充 个列向量，个列向量，从而构成非奇特的矩阵从而构成非奇特的矩阵 CQCPnnBAABBQ12Crankrank)(1nn例例3-20 系统方程如下，要求按能控性进展构造分解。系统方程如下，要求按能控性进展构造分解。u112112xx x10y解解211111rankrankranknAbbQC系统不能控系统不能控111pCQ由于由于 的秩为的秩为1。阐明。阐明 中线性独立的列向量只需一列。中线性独立的列向量只需一列。选择选择 ，再补充一个列向

45、量，且与其线性无关，再补充一个列向量，且与其线性无关，CQ102p110111011121ppPC1CCAPPABPBC1CCPC经过线性变换后经过线性变换后u013011CCCCxxxxCCxx11y3.8.2 按能观性分解按能观性分解定理定理3-28 3-28 假设系统假设系统4343不能观，且形状不能观，且形状 有有 个形状个形状分量能观，那么存在线性变换分量能观，那么存在线性变换 ，使其变换成下，使其变换成下面方式面方式x2nxPxOuBBxxAAAxxOOOOOOOO21047OOOxxCy0并且并且 维子系统维子系统2nuBxAxOOOO48OOxCy 系统传送函数为系统传送函数为

46、OOOBAICBAICG11)()()(sss49nnn21rankrankCACACQO)(2nn2n能观性矩阵能观性矩阵 中有中有 个线性无关的行向量，在它们的根底上，个线性无关的行向量，在它们的根底上，再补充再补充 个行向量，构成变换矩阵。个行向量，构成变换矩阵。OQ例例3-21 3-21 系统方程如下，要求按能观性进展构造分解。系统方程如下，要求按能观性进展构造分解。u100342100010 xx x011y解解32242110011rankrankrank2nCACACQO从从 中任选两个行向量，例如中任选两个行向量，例如 ，再补充一个与之线，再补充一个与之线性无关的行向量。性无关

47、的行向量。OQ110011100110011OP1001100111-OP1OOAPPABPBO1OCPCu110122022010OOOOxxxx线性变换后线性变换后OCOOxxy001 3.8.3 同时按能控性和能观性进展构造分解同时按能控性和能观性进展构造分解定理定理3-29 3-29 假设系统假设系统4343不能控，不能观，且存在线性变换不能控，不能观，且存在线性变换 ，使其变换成下面方式，使其变换成下面方式Pxx uBBxxxxAAAAAAAAAxxxxOCCOOCOCOCCOOCOCOCCOOCOCOCCO0000000004324232113OCOCOCCOOCCOxxxxCC0

48、0y系统传送函数矩阵系统传送函数矩阵COCOCOBAICBAICG11)()()(sss50513.9 3.9 实现问题实现问题CxBAxxyu52假设给定一个传送函数假设给定一个传送函数 ，求得一个系统方程，求得一个系统方程)(sg53或者或者duyuCxbAxx 注：当传送函数分子的阶次小于分母的阶次时，有注：当传送函数分子的阶次小于分母的阶次时，有52式方式；式方式；当传送函数分子的阶次等于分母的阶次时，有当传送函数分子的阶次等于分母的阶次时，有53式方式。式方式。在基于形状空间方法分析和设计控制系统时，要知道系统的形状空间表达式。然而在有的情况下，只知道系统的传送函数矩阵，这时就要将给

49、定的传送函数矩阵描画变成与之输入输出特性等价的形状空间表达式描画。这个问题称为系统实现问题。这里只讨论SISO系统的实现问题。3.9.1 能控规范形实现能控规范形实现系统传送函数为系统传送函数为0111012211)()()(asasasssssusysgnnnnnnn1. 不含零点不含零点)(sg01110)()()(asasassusysgnnn54即：即：)()()()()(00111susyassyasysasysnnnuyayayaynnn001)1(1)(进展拉普拉斯反变换进展拉普拉斯反变换选择系统的形状变量选择系统的形状变量01/ yx 02/ yx 0)1(/ yxnn于是有于

50、是有 ， ， ， ，21xx 32xx nnxx1uxaxaxaxnnn)(1211010 xy 写成矩阵方式写成矩阵方式CxBAxxyu其中其中110100100010naaaA1000b000C2. 含零点含零点)(sg)()()()()(0111012211sDsNasasasssssusysgnnnnnnn)(1)(1)(1)(1110sDssDssDsgnn)()()()(1111110sxsssxsxsynn21xx ， ， ， ，32xx nnxx1uxaxaxaxnnn)(12110nnxxxy12110写成矩阵方式写成矩阵方式CxBAxxyu其中其中110100100010n

51、aaaA1000b110nC3.9.2 能观规范形实现能观规范形实现系统传送函数为系统传送函数为0111012211)()()(asasasssssusysgnnnnnnn)()()()()()()(01110111sussusussyassyasysasysnnnnn假设令假设令yxnuyayxnnn111 uyauyayxnnnnn22112 uyauyayxnnnnn11)2(1)2(1)1(1于是于是uxaxn001uxaxxn1112uxaxxn2223uxaxxnnnnn2221uxaxxnnnnn111写成矩阵方式写成矩阵方式CxBAxxyu121010010010naaaaA1

52、10nb100C3.9.3 并联形实现并联形实现为简单起见，以两阶系统传送函数为例，进展引见。为简单起见，以两阶系统传送函数为例，进展引见。)()()()()(21sssssNsusysg1传送函数极点互异传送函数极点互异221121)()()()()(sscsscsssssNsusysg)()()(2211susscsusscsy选取选取)(1)(11susssx)(1)(22susssx有有)()()(111susxsssx)()()(222susxsssx)()()(2211sxcsxcsy那那么么uxsx111uxsx222uxxssxx11002121212121xxccy2传送函数

53、有重极点传送函数有重极点)()()()()()()()()(331122111321sscsscsscsssssNsusysg)()()()()()()(331122111susscsusscsusscsy矩阵方式矩阵方式uxxxsssxxx11000000132131132132131211xxxcccy3.9.4 串联形实现串联形实现212121111)()()()()(sszsssksssszsksusysg设设uzsxxssxx12212121101210 xxky3.9.5 最小实现最小实现在一切能够的实现中，维数最小的实现称为最小实现。最小实现也在一切能够的实现中，维数最小的实现称

54、为最小实现。最小实现也不是独一的。不是独一的。定理定理3-30 系统方程系统方程CxBAxxyu55为传送函数为传送函数 的一个最小实现的充分必要条件是系统的一个最小实现的充分必要条件是系统55能能控且能观测。控且能观测。)(sg3.10 MATLAB3.10 MATLAB的运用的运用3.10.1 判别线性系统的能控性和能观测性判别线性系统的能控性和能观测性 用用MATLAB可以很方便地求出线性控制系统的能控性矩阵和能可以很方便地求出线性控制系统的能控性矩阵和能观测性矩阵，并且求出它们的秩。从而判别系统的能控性和能观测观测性矩阵，并且求出它们的秩。从而判别系统的能控性和能观测性。函数性。函数c

55、trb( )和和obsv( )分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。格式为：阵。格式为：Qc=ctrb(A , B), Qo=obsv(A , C)。例例 3-23 3-23 判别下面的线性系统能否能控？能否能观测？判别下面的线性系统能否能控？能否能观测？CxBAxxyu其中其中 103021101A201201B010001C解解 先分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。然后，再用先分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。然后，再用rank( )函数计算这两个矩阵的秩。函数计算这两个矩阵的秩。输入以下语句输入以下语句这些语句的执行结果为这些语句的执行结果为 从计算结果可以看出，系统能控性矩阵和能观测性矩阵的秩都从计算结果可以看出，系统能控性矩阵和能观测性矩阵的秩都是是3，为满秩，因此该系统是能控的，也是能观测的。，为满秩，因此该系统是能控的，也是能观测的。注：当系统的模型用注：当系统的模型用sys=ss(A,B,C,D)输入以后，也就是当系统模输入以后，也就是当系统模型用形状空间的方