数列知识点总结和题型归纳总结

1、高三总复习-一数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作 an； 数列的一般形式：a1, a2, a3,，an,，简记作an 。例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a,-3,-1,1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与 叫这个数列的通项公式。例如:说明：an：1 一 一一2'3'45数列的

2、通项公式是数列的通项公式是an =ann ( n 7, n1 ,(n N )。n表示数列，an表示数列中的第n项，anN ),f n表示数列的通项公式; .1.n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=,(k Z);1,n 2k不是每个数列都有通项公式。例如，1, (3)数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1), f(2), f (3

3、),，f(n),.通常用an来代替f n ,其图象是一群孤立点。例：画出数列an 2n 1的图像.(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,Si(n 1)Sn Sm(n>2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,-(5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an例：已知数列an的前n项和Sn 2n2 3,求数列a

4、n的通项公式练习：1 .根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7_2-222(2)(3)(4)(5)22 132 142 152 1，；23451111， ，° 1*22*33*44*59, 99, 999, 99997, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 8888 . n2 n 12 .数列 an中，已知an (n N )3(1)写出a1，a2,a3,an1,an2；2 -一（2） 79 2是否是数列中的项若是，是第几项33. （2003京春理14,文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据

5、的特点，用适当的数填入表中空白（）内。4阐步）304 口壮so鹃败罪任f本钻柱塞辛1101腾120旗no(J145舒生展水假柱羲举70737S用拇()4、由前几项猜想通项:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式(1)(4)(7)5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样,10条直线相交，交点的个数最多是（）,其通项公式2条直线相交，最多有 1 个交点.、等差数列3条直线相 交，最多有3 个交点4条直线相 交，最多有6 个交点题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数

6、叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an an 1 d（n 2）或 an 1 an d（n 1）。例：等差数列an 2n 1 , an an 1 题型二、等差数列的通项公式：an a1 （n 1）d ；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a? a9 16, a4 1,则a12等于（）A. 15B. 30C. 31D. 642.an是首项a11,公差d 3的等差数列，如果 an 2005,则序号n等于（A） 667（B） 6683.等差数列an 2n 1,bn“递减数列”）题型三、

7、等差中项的概念：(C) 669(D) 6702n 1 ,贝U an 为 bn 为（填“递增数列”或定义：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 Aa , A, b成等差数列A a-b 即：2an 1 an an 22例：1.（14全国I）设an是公差为正数的等差数列， 若a1 a2 a3(2an15 , a1a2a3 80,则 a11 a12a13A. 120B. 105C. 90D. 7548,则它的首项是（2.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为A. 1.2 C题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列 an中，从第2项起，每一项是它相邻二项

8、的等差中项；（2）在等差数列 an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；a a（3）在等差数列 an 中，对任意 m , n N , an am （n m）d , d （m n）；n m（4）在等差数列an 中，若 m , n , p , qN 且 m n p q ,则 aman a p aq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn n（a1 an） na1 n（n 1）d 22（Sn An2 Bn（A, B为常数）an是等差数列）1n2 (a1 d) n。22递推公式：Sn（a1 an）n2(aman (m 1)n2例：1.如果等差数列中,a3 a4a5 12,那么 a1 a2a7(A

9、) 14(B) 21(C) 28(D) 352. （2015湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知a2 3, a611,则等于（）A. 13B. 35C. 49D.633. （2015全国卷I理）设等差数列的前n项和为，若S972，则 a2 a4 a9 =4. （2015重庆文）（2）在等差数列中，a1 a9 10,则的值为（）(A) 5(B) 6(C) 8(D) 105. 若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为 390,则这个数列有（）项项项项6. 已知等差数列 an的前n项和为Sn,若S12 21,则a? a5 a8 aii 7. （2014全国卷n理）设等

10、差数列的前n项和为，若a5 5a3则S9 S58. （2014全国）已知数列 bn是等差数列，b1=1, b1+b2+b1o=100.（I ）求数列 bn的通项bn；9.已知an数列是等差数列，a10 10,其前10项的和S10 70,则其公差d等于（）2A.一3112B.C.D.33310. （2015陕西卷文）设等差数列的前 n项和为，若a6 s3 12,则11. （2013全国）设an为等差数列,$为数列an的前n项和，已知S7=7, S15= 75, Tn为数列的前n项和，求Tn。12 .等差数列 an的前n项和记为Sn ,已知a1030, a2050求通项an ；若Sn =242,求

11、n13 .在等差数列an中，（1）已知S848,S12168，求a1和d ； （2）已知a610,S55,求法和Sg； （3）已知 a3 a1540,求 S17题型六.对于一个等差数列：S在a（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则S偶 S奇 nd；一三 -an-；S偶 an 1SUn（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则S奇 S偶 an a中；丫巴 。S偶n 1题型七对与一个等差数列，Sn , S2n Sn , S3n S2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）B.1702 .一个等差数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60,则

12、前3 n项的和为 。3 .已知等差数列 an的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为4 .设Sn为等差数列an的前n项和，S4 14, S10 S7 30,则S9=5. （2015全国II）设Sn是等差数列 an的前n项和，若S3S6S6S123A.101B.31 C.81 D.9题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法: 定义法：an 1 and（常数）（n N ） an是等差数列中项法:2an 1 an an 2（nN）an是等差数列通项公式法：an kn b（k,b为常数） an是等差数列前n项和公式法：Sn An2 Bn （A, B为常数） an是等差数列例：1.已

13、知数列an满足an an 1 2,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2 .已知数列an的通项为an 2n 5,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断23 .已知一个数列an的前n项和Sn 2n 4,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断24 .已知一个数列an的刖n项和Sn 2n ,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5 .已知一个数列an满足an 2 2an 1 an 0 ,则数列an为（）A.等差数列B

14、.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6 .数列 an 满足 a=8, a4 2,且 an 2 2an 1 an 0 （n N）求数列an的通项公式;7 . （14天津理，2）设3是数列an的前n项和，且 S=n2,则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值（1）a1 0, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时，Sn有最小值；2（2） &最值的求法： 若已知Sn,的最值可求二次函数 Sn an bn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出中的正、负分界项，即

15、：,an 0 , an 0右已知an ,则Sn最值时n的值（n N ）可如下确定或an 10 an 10例：1 .等差数列 an中，a1 0, S9 S12,则前 项的和最大。2.设等差数列an的前n项和为Sn ,已知a3 12, S12 0, S13 0求出公差d的范围，指出S1, S2, , S12中哪一个值最大，并说明理由。3. （12上海）设 an （nCN*）是等差数列，S是其前n项的和，且 3, S5 = Sz>Q,则下列结论错误的是（）<0=0CG> S5与&均为Sn的最大值4.已知数列的通项n 98n 99n N ）,则数列 an的前30项中最大项和最

16、小项分别是 5 .已知an是等差数列，其中 a131,公差d 8。（1）数列an从哪一项开始小于0（2）求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.0，求数列 前n项和的最大值.6 .已知an是各项不为零的等差数列， 其中ai 0 ,公差d 0 ,若&07.在等差数列an中，ai 25, S17S9 ,求Sn的最大值.t § (n 1) 题型十利用an求通项.& &i (n 2)21 .数列an的前n项和Snn 1 .(1)试写出数列的前5项；(2)数列an是等差数列吗(3)你能写出数列an的通项公式吗2 .已知数列 an的前n项和Sn n2 4n 1,则

17、3 .设数列an的前n项和为&=2n2,求数列an的通项公式；14 .已知数列 an 中，a13,前 n和 Sn- (n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数列an的通项公式25 . (2015安徽又)设数列的前 n项和S n ,则的值为()(A) 15(B) 16(C)49(D) 64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第三项起,，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q 0),即：an1： an q(q 0)。、递推关系与通项公式递推关系：an 1通项公式：an推广：an aman

18、qn 1a qn mq1 .在等比数列 an中，a14,q2,则an 2 .在等比数列 为中，a7 12,q 3/2，则a19 .3 . (2014重庆文)在等比数列an中，a2 = 8, a1 = 64,则公比q为()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 84 .在等比数列 an中，a22 , a5 54 ,贝U a8 =5 .在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3,前三项和为21,则a3 a4 a5()A 33 B 72C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为bVac,注：b2 ac是成等比数列的必要而不充分条件例：1.2J3

19、和2 J3的等比中项为(A)1(B) 1(C) 1(D)22. (2013重庆卷文)设是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3, a6成等比数列，则的前n项和=()2 in 7nA442nB. 一35n32-n 3nC242_D. n n三、等比数列的基本性质,1. (1)若 m n pq,则 amanapaq (其中 m,n, p,q N ) qn m an_, an2 an m an m (n N ) a m(3) an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列. 一 一、一一_2_.,，一 一例：1.在等比数列an中，a

20、i和aio是万程2x 5x 1 0的两个根，则a4 a7 (5.2_11(A) -(B)(C) -(D)-22222 .在等比数列 an ,已知a1 5, a9al0 100,则a18 =3 .在等比数列 an 中，a1 a6 33, a3a432, an an 1求an若 Tn lga lga2lgan,求Tn4 .等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3alog3a2Llog3al0(A. 12 B. 10C. 8 D. 2+log3 55. (2014广东卷理)已知等比数列满足an0,n 1,2,L 曰 a5 a2n 5 22n(n 3)则当时，log 2 a log

21、 2 a3 L log 2 a2n 1()A. n(2n 1)B. (n 1)22.前n项和公式C.D. (n 1)2na(q 1)Sn&(1 qn)a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比数列an的首相a15,公比q2 .已知等比数列an的首相a15 ,公比q和Sn 2 ,则其前n项和Sn 1-,当项数n趋近与无穷大时，其前 n项23.设等比数列an的前n项和为Sn,已a26, 6a1 a330,求 an 和 Sn4 . (2015 年北京卷)设 f(n) 2 24 27210 L 23n 10(nN),则f(n)等于()A. 2(8n 1) B. 2(8n 1 1)C.2

22、(8n3 1) D.-(8n 4 1)7777q；5 . (2014全国文，21)设等比数列 an的前n项和为Sn,若&+S6=2S9,求数列的公比6 .设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若$+1,S, $+2成等差数列，则q的值为3.若数列an是等比数列,Sn是其前n项的和，k N ,那么Sk, S2k Sk，S3k S2k成等比数列例：1. （2014辽宁卷理）设等比数列 的前n项和为，若S6S3 =3 ,则S67 8A. 2B. （2）中项法：an 1an an 2（an 0） an为等比数列；（3）通项公式法：ank qn （k,q为常数）an为等比数列；（4）前n项和

23、法：Snk（1 qn） （k,q为常数）an为等比数列。 Sn k kqn （k,q为常数）an为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an 2n,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 22.已知数列an满足an 1an an 2（an0）,则数列an为（） A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前n项和Sn 2 2n 1,则数列an为（）C. 32 .一个等比数列前 n项的和为48 ,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为（A. 83B. 108C. 75D. 633 .已知数列an是等比数

24、列，且Sm 10, S2m 30,则S3m 4 .等比数列的判定法（1）定义法:an 1q （常数）an为等比数列;an5 .利用aS1 (n 0求通项.ns Sn 1 (n 2)1 一例：1. (2015北东卷)数列an的刖 n 项和为Si,且ai=1,an1 SSn,n=1, 2,3, ,求a2,a3,a43的值及数列an的通项公式. 一 _ 一 一 一， *、 2. (2015山东卷)已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1 Sn n 5(n N ),证明数列an 1是等比数列.四、求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列a

25、n满足：a3 7,a5 a7 26,求an；2 .已知数列an满足a12, an an 1 1(n 1),求数列an的通项公式;3 .数列an满足a1=8, a4 2,且an 2 2an 1 an 0 (n N ),求数列 an的通项公式;4.已知数列an满足a11一 2 ,求数列an的通项公式;an5.设数列an满足ai0且-1an 11 1 ,求an的通项公式1 an6.已知数列an满足an2 an-o，a1an 21 ,求数列an的通项公式。7.等比数列 _2_an的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a39a2a6,求数列an的通项公式8.已知数列an满足a1 2, an 3an

26、1（n 1）,求数列an的通项公式;9.已知数列an满足a12, a24且 an 2anan 1( n N ),求数列an的通项公式;10.已知数列an满足a2,且 an5n 12(an),求数列an的通项公式;11.已知数列an满足a12,且 an5 2n3(an 52n2) ( n N )，求数列an的通项公式;12.数列已知数列an满足ai1二，an24an1(n1).则数列an的通项公式二(2)累加法1、累加法 适用于：an 1 anf (n)a?a1若 an 1 an f (n) (n 2),a3则3La2f(1)f(2)Lanf (n)两边分别相加得an 1 aif(n)1例：1

27、.已知数列an满足a1-,21an 1 an 2，求数列an的通项公式。4n 12.已知数列an满足an 1an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。3.已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a1 3,求数列an的通项公式。4.设数列an满足a12n 12 , an 1 an3 2,求数列an的通项公式1、确定f (n)(3)累乘法适用于：an i f (n)an若力 f (n),则a2 anal. a3.an 1,f(1), f(2),L L Qf(n)a2an两边分别相乘得，an a f(k) ak i例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5n烝，ai 3,求数列a

28、n的通项公式。22.已知数列 an满足a1- , an 13求an。3.已知 a13 , an 13n 1- an3n 2(n1),求 an。(4)待定系数法适用于 an 1 qan f (n)解题基本步骤：2、设等比数列an1 f (n) ，公比为3、列出关系式an 11f(n 1)2an 2f(n)4、比较系数求1 ，25、解得数列an 1 f (n) 的通项公式6、解得数列an 的通项公式例： 1. 已知数列an 中， a1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求数列an 的通项公式。2.(2015，重庆,文,14)在数列an中， 若 a11,an1 2an 3(n1)，则该数列的通项

29、an 项公式；3.( 2014. 福建.理22.本小题满分14 分)已知数列an 满足a1*1,an 1 2an 1(n N ).求数列an 的通4.已知数列an满足an 1 2an3 5n， a1 6，求数列an 的通项公式。解：设 an 1 x 5n 12(an x 5n)1,求数列an的通项公式。5.已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4, &解：设 an 1 x 2n 1y 3(an x 2n y) 51,1n 1.6.已知数列an 中，a1 ,an1 an(),求 an6327.已知数列an满足an 122an 3n 4n 5, a11 ,求数列an的通项公式。解：设

30、 an 1 x(n 1)22、y(n 1) Z 2(an xn yn z)8.已知数列an满足an 1n 12an 4 3 , a11 ,求数列an的通项公式。递推公式为 an 2pan 1qan （其中p, q均为常数）。先把原递推公式转化为 an 2 san 1 t（an 1san )其中s, t满足s t p st q9.已知数列an满足an 25an 1 6an,a11,a2 2 ,求数列an的通项公式。（5）递推公式中既有&S1,n 1分析：把已知关系通过 an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。nSn Si,n 2n1- 1. （2015 北东卷）数列

31、an的刖 n 项和为 Sn,且 ai=1, an 1 S Sn , n=1, 2, 3,求 a2, a3, a4 的值3及数列an的通项公式.2.（2015山东卷）已知数列 K 的首项a1. . _ 一 一 一， ,5,前n项和为Sn,且Sn1Sn n 5(n N),证明数列an 1是等比数列.3.已知数列 an中，a1 3,前n和Sn12(n 1)(an 1) 1求证：数列 an是等差数列求数列an的通项公式1,4.已知数列an的各项均为正数，且前 n项和Sn满足Sn (a0 1)(an 2),且a2, a4，为成等比数列，求数 6列an的通项公式。(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，

32、分子只有一项2a例：1.已知数列an满足an 1,a1 1 ,求数列an的通项公式。an 2(7)对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1. (2014年全国I第15题，原题是填空题)已知数列 an满足a1 1, an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1(n 2),求an的通项公式。2n 1 n*2.设数列满足a1 3a2 32 a3 3 an - , a N .求数列的通项;3五、数列求和1 .直接用等差、等比数列的求和公式求和。n(a an)n 2Snnai(q 1)ai(1 qn)(q 1)公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，S1 q例：1.已知等差数列an

33、满足a11, a23,求前n项和Sn2.等差数列an中，a=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100，则 n=()A. 9 B. 10C. 11D. 123.已知等比数列an满足a1, a23,求前n项和Sn_4_7_104.设 f(n)2222L23n 10(n N),则等于(2 n2n 1A. (81) B. (81)77-2 n 32 n 4C.-(81) D.-(81)77anbn的和.2 .错位相减法求和：如：an等差，bn等比，求a1bl a2 b2._ 2n 1例：1.求和 Sn 1 2x 3x2 L nxn 12.求和：Sn3.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且ai。1,a3b521,a5b313(I)a求an, bn的通项公式；(n)求数列 的刖n项和