2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word版含答案

1、2013 年全国高考理科数学试题分类汇编7:立体几何、选择题1.1.（ 20132013 年高考新课标 1 1（理）如图, ,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为2 2 . （20132013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORDWORD 版）设m，n是两条不同的直线，-是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若口丄 P，mua，n= P，则m丄nB.若 口 P，mua，n=P，则m/nC 若m丄n,muo（,n 匚卩，则口丄 P .若m丄a, m/

2、n, n / P ,则。丄卩【答案】D3 3 . （ 20132013 年上海市春季高考数学试卷（含答案）若两个球的表面积之比为1：4,则这两个球的体积之比为（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】C4 4 . （20132013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORDWORD 版含答案（已校对）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AA2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于2A.-500二3A.cm3【答案】Ar 866兀3B.cm3( )1372二320483c.cmD.cm33D.3【答案】A5 5 . （ 20132013 年高考新课标 1 1 （理

3、）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【答案】C则该正方体的正视图的面积不可能等于【答案】C8 8 . （ 20132013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯A.16 8二B.8 8二C.16 16二D.8 16二【答案】A6 6 . （ 20132013 年高考湖北卷（理）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体两个简单几何体均为多面体，则有A.V|: V2: V4: V3B.V1: V3: V2: V4面( )C. V2：7、V3:WWW7 7 . （20132013 年高考

4、湖南卷（理）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形,A.1D.、2+12WORDWORD 版）某四棱台的三1010视图如图所示，则该四棱台的体积是第5题图A.4【答案】B14B.316C.3D.6（20132013 年普通咼等学校招生统一考试新课标n卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知m,n为异面直线,m _平面，n_平面-.直线丨满足丨_m,丨_n,丨二：，丨二-,则（）A.】II -，且丨/：C.：与：相交，且交线垂直于丨【答案】DD.与：相交，且交线平行于丨（20132013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）ABC - ABC的侧棱与底面垂直9，

5、体积为4，底面是边长为面A1。的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为5二二二A.12B.3C.4【答案】B（20132013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）题5图所示，则该几何体的体积为A.560B.580C. 200）已知三棱柱3的正三角形若P为底（ ）兀D.6）某几何体的三视图如（ ）D.240【答案】CABC -ABG的 6 个顶点都在球OAB = 3, AC= = 4,4,AB _ AC,AA 12,则球O的半径为B.2.2.1010【答案】C（20132013 年高考江西卷（理）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面正主）视四Ay左）视图1212.（2

6、0132013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORDWORD 版)已知三棱柱D.3 101313.1414.AB LI CD,正方体的六个面所在的平面与直线ACE,EF 相交的平面个数分别记为（20132013 年普通高等学校招生统一考试新课标H卷数学（理）（纯 WORDWORD 版含答案）m,n,那）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为15.15.（ 20132013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题不是公理的是（）A平行于

7、同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A16.16.（ 20132013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯点A作平面二的垂线，垂足为B，记B = L（A）.设。B 是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1二f：f：.（P），Q f： f l（P），恒有PQ1=PQ2,则（）A.平面:-与平面 1 垂直B.平面与平面一：所成的（锐）二面角为45C.平面:-与平面一：平行D.平面与平面一：所成

8、的（锐）二面角为60【答案】A1717. （ 20132013 年高考四川卷（理）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【答案】A【答案】D（纯WORDWORD 版）在下列命题中WORDWORD 版）在空间中, ,过、填空题 1818. （20132013 年高考上海卷（理）在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）2 y2=1（x_1）和2 2（x -3） y =1（x_3）、两条直线y =1和y=1围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为门，过（0, y）（| y怛1）作门的水平截面，所得截面面积为4二1 - y28-,试利用祖暅原理、一个

9、平放的圆柱和一个长方体，得出1的体积值为_【答案】2兀2+16兀.1919.（ 20132013 年高考陕西卷（理）某几何体的三视图如图所示,则其体积为 3【答案】一320.20.（ 20132013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORDWORD 版含答案（已校对）已知3圆0和圆K是球0的大圆和小圆，其公共弦长等于球0的半径，0K,且圆0与圆2K所在的平面所成的一个二面角为60,则球0的表面积等于 _.【答案】16：21.21.（20132013 年高考北京卷（理）如图，在棱长为 2 的正方体ABCDAB1C1D中，E为BC的中点，点P在线段DE上，点P到直线CC的距离的最小值为

10、 _ .22.22.（ 20132013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORDWORD 版含附加题）如图，在三棱柱AiBiCi- ABC中，D，E, F分别是AB，AC，AAi的中点，设三 棱锥F- AD E的体积为y,三棱柱A1B1C A B C的体积为V2,贝V Vi: V2 =.【答案】i:2423.23.（ 20i320i3 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORDWORD 版）若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积等于 _cm2.正视图侧视图【答案】2 2、553:2-3:2-3 3V V俯视图（第i2i2题图）【答

11、案】2424.24.（ 20i320i3 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORDWORD 版）如图，正方体ABCD -AiBQDi的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段CCi上的动点, ,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的编号）.113当 O：；CQ：时,S 为四边形；当CQ时,S 为等腰梯形；当CQ时,S 与22413C1D1的交点 R 满足C1R|;当CQ : 1时,S 为六边形；当CQ=1 时,S 的面积134为主2【答案】25.25.（ 20132013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（

12、图如图所示,则该几何体的体积是_26.26.（ 20132013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORDWORD 版）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图测试图俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 _WORDWORD 版）某几何体的三视【答案】【答案】12 :2727. （20132013 年上海市春季高考数学试卷（含答案）在如图所示的正方体ABCD - ABQQ!中,异面直线AB与BiC所成角的大小为 _三、解答题2828.（ 20132013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（直径,PA 垂直圆所在的平面

13、，C 是圆上的点.（I）求证：平面PAC_平面PBC;n n【答案】一3(II)若AB =2,AC =1,PA =1,求证:面角C - PB - A的余弦值.CWORDWORD 版）如图,AB 是圆的ABAB是圆的直径得人C丄 BC.BC.ill PA丄平面ABC.ABC. BCBCc半面ABCABC得PAPA LBCLBC 乂PAQACPAQAC = = A.A. PAPAc平而PAC.PAC. ACAC u uf iftjPAC.PAC.所以BC丄半而PM.内为3Cu半血PBC.所以Y WlPBCPBC丄平币IPAC.PAC.“分(n)(解法一)过CfVCM力/WI|CMlinARCCMl

14、inARC如图.以点C为坐标原点分别以也线CB.CB. CA.CA.CM为X轴.y轴.2 2轴建工空间l*L 因为ABAB = = 2.2. AC=AC=1,所以BCBC = = y/3y/3 因为PAPA= 1,所以4(0.10). 8(苗.0.0). P(O.l.l).故CB=CB=(V5.U.O) CP = (0.E1).设平:血BCP的法洵帘:为叭；=MN,(CB(CB心=() 一则所以A( (CPCP心=0(y + z = 0不妨令y = 1.则心=(01 1)|却为丽=o.o.l ) ABAB = =( 7?；-匚处丄设tnABPtnABP的法向h；为巾=(x-y-z)-z = 0

15、所以厂y/3xy/3x一y = 0站妨令x = 1 则心=(1箱0)于是cos= = J6所以山题意們 S 角C + i的余弦值为12分【答案】HeHe11CMCM k k AUAUTM M - -Mh h PAPALf fCMCMc T面ABC.ABC.rlZPAPA CMCM. .故CM |半酣PAU.PAU.:J Af II M.V IPHPH-JV.连垃NGNGm肅绅常评挪CN1CN1 PR*PR*pffnCNM Xi iii ffrCPH-Afr!i i浙佩A RlA/?r中.Il AN =2.2. ACAC = = . .itictic= V3CMCM =寸在屮.iUAIiiUAI

16、i= 2.= 1.PBPB = =M MRt珀fN网屮*GV=甞l故aiszCTM =罟29.29.（ 20132013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）如图，四棱锥P - ABCD亠宀十兀中, ,PA_底面ABCD,BC二CD =2,AC =4, ACB = ACD,F为PC的中3点，AF _ PB.求二面角B - AF - D的正弦值凤力RtAff/VM丹R3沖P所以c - M*的金張i为冷.(1)求PA的长;(2)题（图【解析】 I卷 连接HDHD ACAC于O.因刘 R R = = CACA即諾 CDCD为等腰三角版ZACAC分ZBCDZBCD,故ACAC丄SO.

17、以O为坐标原此O O4P4P的有向分别为工轴 t 轴,二轴的正方向,建疋空间4角坐标系|则O=QZio農-TrtijACAC - -4 JUA A Q=Q= A A O O 0(=0(=3 ,又OD = CDsin-忑.故/( Or 3.仁 肌苗00八C(OJ.O)D D = = (-(-f fM).M).因PAX.PAX.底山仙CD可设円0.王二）t由F F为PC边中点,F（0-l.-）.乂乔叫02和面叫辰WXFXPff &XF Pfi*O l6-y0t;23 /7A 23，叫闻2jTUH lb 1#3.o) )tASAS (yp(yp. AFAF(O.2.J5HF【fn打D7

18、 A A V ff|(K可解潯曲沱2.F l血匚1 tiin2222SYAliJtOC -(迈 +l)h.r2r2 1OfOfJ3hJ3h厂庄RtZOfF中.xisZ(Z( ()r()r厂- -一=- SL.X_=h=,即直线 BC 到平面 DAC 的距离为一323335 5.(20132013 年高考湖北卷(理)如图，AB是圆0的直径，点C是圆0上异于A,B的点，直线PC_平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点(I)记平面BEF与平面ABC的交线为丨，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加 以证明；1(II) 设(I)中的直线I与圆0的另一个交点为D,且点Q满足DQ CP.记直线PQ2与

19、平面ABC所成的角为二,异面直线PQ与EF所成的角为，二面角E - I - C的大小为 ：，求证：sin- sinsin :.1ftA AB B第 19 题图【答案】解:(1)EF _ AC,AC平面ABC,EF平面ABC.EFLI平面ABC又EF匚平面BEF.EF LJI.山平面PAC(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快，向量的方法很(I)酚：辛面忌C,证明如下：连揆EC因为S* F分别是人 疋的中点所以S5 /7 JC-又壬才二平面貯 G 且垃二平面曲匚所以7平面貯?一 而寸二平面恋厂且平面笠厂乎面一所以庄蒋：、因为；二平面?AC -三二平面出 G 斯以

20、宜线：#平亜(II)(堞舍法)如图b连接由C I )可知交钱瑯为直线3亠且M.C因为.泊是：。的直径，所以乂-阮，干是f-孔己知貝F面朋 G 而 y 平面朋 G 所以.吃亠.而PCPC 3C=C,3C=C,所以一平面凸(？连接空，ST,因为芳二平面P3C,P3C,所以：_宝匚故一CM匸就是二面弗 E-E-： C C的平面筋W W C37C37- 5第19题解睜图1第 2 题解答图：.连接疋则押Q*0可得于是cos所以可得an &从而4LT.从而曲GP作丸6 且= 2匸二35WORDWORD 版）如图 1,在等腰设平面盒吁的一H*向就为直角三角形ABC中, , A =90,BC=6,D,E分别是

21、AC A上的6 6. （ 20132013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯干是5Z以点为匣点、向ar ci矛所在宜线分别为;一建交如图所示的空间直所以兀龙，詰，5二由（I 1可知交线即为直绕SS从而sin丸-yb-re?连接PQPQ 二5 因为是CC的中点从而四边琢囚耳匸是平行四边飛，?0/?0/连接园为比-平面所以是 P 在平面门C内时射彩,菽就是直建吃与干面弄艾所成的勲 即又 2 一平面?SC有那M厂知防为魏和故S S 二 W为异面直线 电与三所成的劎 即/矣m干A3Gr RtAZS*- A3C*中哀分别可得.4 Gr $衣 .旨O泗 h 7 * sin jf ：i si

22、n c iDrDr督 r(0.;点，CD二BE-.2,0为BC的中点将ADE沿DE折起, ,得到如图 2 所示的四棱锥xn）求二面角A - CD _ B的平面角的余弦【答案】（I） 在图 1 中，易得OC =3,AC =3、 .2,AD =2.2OD二OC2CD2-2OC CDcos45 = 5由翻折不变性可知A D = 22,2 2 2所以AO OD -AD,所以AO_OD,理可证AO _ OE,又OD “OE =0,所以A0_平面BCDE.（n）传统法：过O作OH _ CD交CD的延长线于H,连结A H, 因为AO_平面BCDE,所以AH CD,所以.A HO为二面角ACD -B的平面角O

23、H 15,所以二面角A -CD -B的平面角的余弦值为 丄丄5Z Z5+A向量法：以O点为原点，建立空间直角坐标系O - xyz如图所示,则A A0,0八3,C 0,-3,0,D 1,一2,0向量法图结合图 1 可知，H为AC中点，故0H二3,从而A H = OH2OA2二2、.302所以cos A HO =.A H 5A BCDE,其中AO=；3.(I)证明：AO_ 平面BCDE;( 值CABDE连结OD,OE,在OCD中，由余弦定理可得所以CA 0,3, , 3,DA 12、3设n = x, y,z为平面A CD的法向量，则n CA =0刨3y、一3z =0” y y = =-x彳耳,即

24、$,解侍 =AC *m4ACm2x3平面ADCi与ABAi所成二面角的正弦值为 3（20132013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORDWORD 版含答案（已校对）如图, ,四棱锥PABCD中，.ABC二.BAD =90,BC =2AD, .：PAB与：PAD都是等边三角形(I)证明：PB _ CD ;(II) 求二面角A - PD -C的大小.=?,得sin八垃33【答案】.5廿14此二面烦A FD一匚附大小为*arc1212井斫俅cosZFC；-FGFG1 1+AF - AG1ZXFGXAF西亍解穗二冷N I）知4（?扒OP两胡變ft.方问为工轴的11力向建之獄IW爭水的空

25、阳1（1角堕牺系。-丄，匚Bi I= 2期A（-血*（h（D EWl找卫）c（?圧yso叭pw.s_ _ .” 一PC2 2 4Z*4Z* 底 l 崔、7 PD t7） -5*Q5*Q 血=Q.=Q.- -|to小AT=（y?ty?,o）p.町得m-rg= Q,n） p = 0t取唧網p-hy匕一！*林m =（l j I）.由于5|上门算丁二（fi角A_PD_C的平it；角新現二向角A_PD-g的大水为拧_CC3iU E八、（20132013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）如图所示，在三棱锥P-ABQ中, ,PB_平面ABQ,BA = BP = BQ,D,C,E, F分

26、 别 是A Q B ,QA的中点pAQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.F cosni iA；）brtTTinji1414（i）求证：ABLIGH； （n）求二面角D-GH-E的余弦值【答案】解:（I）证明：因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，所以EF/AB,DC/AB,所以EF/DC,又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF/平面PCD,又EF二平面EFQ,平面EFQPl平面PCD =GH,所以EF/GH,又EF/AB,所以AB/GH.（n）解法一：在ABQ中，AQ=2BD,AD二DQ,所以.ABQ=90,即AB _ BQ,因为pB _平面ABQ

27、,所以AB _ PB,又BPPlBQ =B,所以AB平面PBQ,由（I）知AB/GH,所以GH_平面PBQ,又FH平面PBQ,所以GH _ FH,同理可得GH _ HC, 所以.FHC为二面角D _GH_ E的平面角，设BA = BQ = BP = 2,连接PC, 在RtFBC中，由勾股定理得，FC八2,在RtPBC中，由勾股定理得，PC 5,即二面角D -GH -E的余弦值为5.解法二：在ABQ中，AQ = 2BD,AD = DQ,所以.ABQ =90,又PB_平面ABQ,所以BA, BQ,BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BA, BQ, BP所在直线为x轴，y轴，z轴,建立如图所示的空间

28、直角坐标系，设BA二BQ二BP = 2,则E(1,0,1),F (0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0) P(0,0,2),所 以TTTTEQ =( 1 2 , FQ =(0,2, 1) DP=(1,1,2) CP=(0, 1,2)5555设平面EFQ的一个法向量为m= (%, %,乙),由m EQ =0 m FQ =0由,-X12%-乙=0得2%-乙=0取y1=1,得m珂0,1,2).4设平面PDC的一个法向量为门=(x2,y2,z2)4呻 T由n DP = 0,n CP = 0,X2- y2+2Z2 =0得-y22Z2 =0.5FH同理cos/FHC =2 59

29、在厶FHC中，由余弦定理得取勺=1,得n =（，2,1）.所以4因为二面角D -GH - E为钝角, ,所以二面角D -GH - E的余弦值为5.ABCDABiGD中，AD/BC,. BAD =90,AC _ BD,BC=1,AD = AA,= 3.（I）证明：AC _ BD；（II） 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【答案】解：（I）ABCD -ABGD1是直棱柱.BR_ 面ABCD ,且BD面ABCD = BB _ AC又AC_BD,且BD一BB1= B, AC_ 面BDB。B1D面BDB1rAC _ BQ.（证毕）（n）BQBCAD,.直线B1C1与平面ACD-的夹角即直线A

30、D与平面ACD1的夹角二建立直角坐标系，用向 量解题。设原点在A点，AB为Y轴正半轴，AD为X轴正半轴设A0,0,0,D(3,0,0),D1(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0),则AC = (1,y,0),BD = (3厂y,0), AC BDAC BD = 0二3 - y20 =0, y 0= y= 3. AC二(1, 3,0), AD二(3,0,3).cos m, n1515.（20132013 年高考湖南卷（理）如图 5,在直棱柱- n，AC = 0- -设平面ACD1的法向量为n,则_ _ 二平面ACD1的一个法向量n=(-丿3,1,3), AD=(3,0,3)、n AD

31、1= 03 321.平面ACDiACDi的一个法向量n(-.3,1,3),AD(3,0,0)=si nv -| cos：n,AD7 37所以BD,与平面ACD,夹角的正弦值为1616. ( 20132013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯柱ABCD-AB1C1D1中，侧棱AA _ 底面 ABCDAB/DC,AA =1,AB =3k,AD =4k,BC = 5k,DC = 6k(k 0).(1) 求证：CD _平面 ADDA(2) 若直线AA与平面AB,C所成角的正弦值为 7 ,求k的值；(3) 现将与四棱柱ABCD - AB1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问:共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k),写出【答案】解:(I)取CD中点E,连接BEQAB/DE,AB二DE =3k四边形ABED为平行四边形BE/AD且BE二AD =4k在VBCE中，Q BE =4k,CE =3k, BC =5kf (k)的表达式(直接写出答案，不必要说明理由)W