由惑到悟的数学课堂教学模式的构建与应用

1、“由惑到悟”的数学课堂教学模式的构建与应用谢全苗（浙江省上虞中学，浙江绍兴312300）摘要：新课程理念下的数学课堂教学，迫切需要一种“既有理念又有模式”的教学范式.由“过河式”模型实现的“由惑到悟”的数学课堂教学是探索数学教学中学生认识的起源、发生、形成和发展的规律，符合人的认识规律的数学课堂教学的模式，它让“三维目标”这一新课程的亮点正真成为既能提高成绩，又能培养创新意识的“生长点”，并使我国基础教学中许多好传统与新理念能相辅相成、和谐统一.关键词：课堂教学；由惑到悟；过河式模型；最近发展区；三维目标；设计与达成中图分类号：G424.2文献标识码：A文章编号：1004电894（2009）0

2、3K087七4一个好教育既要有利于学生个人的发展，又要有利于国家的发展.个人希望的是求好职，国家急需的是创新.新课标提出的“三维目标”就是在除了与求职相关的传统的知识能力的考察外，还要考察与创新有关的过程与方法目标、情感态度与价值观目标.发展学生的创新意识、培养学生的创新思维和创造能力，是新一轮基础教育数学课程的核心和评价观的精髓所在.但就浙江省实施新课程两年来的实践看，教师对“三维目标”的设计和达成存在困难，一线教师善于把握“知识与技能目标”，不易把握“过程与方法目标”，更难于把握“情感态度与价值观目标”.结果发现：不是条目越来越多，几乎完成不了，就是如果什么都不能缺的话，那么课堂上就根本没

3、法上课.这是因为一线教师是实践者，难就难在他要考虑的是如何将每课的“三维目标”转化成具体的、可操作的课堂教学目标，并通过教与学的过程得以有效地达成和自然地生成.黄晓学先生1论述了思维生惑点的教学价值，并把“从惑到识”2分为“惑、学、知、识”，得出“生惑、积学、致知、增识”的4个环节学习理论，并将其提升为数学教学原理，确给人以启发，但短短的45分钟的课堂教学难以分为4个环节，其目标也不仅仅是“增识”，新课程提出的“三维目标”是要让学生在“过程与方法”中掌握“知识技能”、领悟数学本质，体验“情感、态度与价值观”.我们认为，新课程背景下的数学课堂教学的基本模式应是“由惑到悟”，构建“由惑到悟”数学课

4、堂教学是实施新课程理念、实现新课程目标的需要.1构建“由惑到悟”数学课堂教学模式的意义为什么要提出“由惑到悟”数学课堂教学模式？这既是由数学知识的建构性结累和实践性运用所决定的，又是由数学教学中学生认识的起源、发生、形成和发展的规律所决定的.从广义的认识论的角度来看，人的认识过程具有两次飞跃：从无知到有知的飞跃和从知识到智慧的飞跃，新课程的核心在第二次飞跃.这是因为知识在本质上是一种结果，这种结果可能是经验的结果，也可能是思考的结果，“单纯追求知识的教育是一种结果教育，这种教育要走在时代前面是不可能的”，而“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而是表现在经验的过程，表现在思考的

5、过程中”3.因此，要实现两个飞跃，特别是第二个飞跃，进而培养学生的创新能力，就必须注重过程、启发思考、总结经验、教会反思.但以往已有的教学环节过程理论对于解释和指导当下数学教学中学生认识的起源、发生、形成和发展既显得不够鲜活，又不能反映与时俱进的精神，更没有突出实现认识过程中的两个飞跃的特征与程序，这样的理论只适用于专家做研究和作报告，对一线教师像水中月、镜中花，看得见、摸不着，更用不上.我们需要一种“既有理念又有模式”的教学范式，否则，新课改对于一线的绝大多数教师来讲也许只是“换新书”，是“用老方法去教新教材”4.因此，探索数学教学中学生认识的起源、发生、形成和发展的规律，构建符合人的认识规

6、律的“由惑到悟”数学课堂教学的模式具有现实的指导意义，让“三维目标”这一新课程的亮点真正成为既能提高成绩，又能培养创新意识的“生长点”，并使我国基础教学中许多好传统与新理念能相辅相成、和谐统一.2数学课堂教学中的“由惑到悟”的诠释惑与悟既是古老与常见的精神现象，又都具有多样性，如若一分为二，可分为认知领域的惑与悟（包括知觉、理智方面的）和价值领域的惑与悟（包括情感、道德、信仰方面的），如孔子的“四十而不惑”是价值领域中的惑，而韩愈的“人非生而知之者，孰能无惑，惑而不从师，其为惑也，终不解也”，“师者，所以传道授业解惑也”是以认知领域中的惑为主，但又二者兼而有之，因为教师要教书育人，要培养学生的

7、创新意识，传统的“解惑”侧重在认知领域，而新课标提出的“三维目标”：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，则是强调了以往被忽视的“过程与方法、收稿日期：2008T2N6基金项目：2008年浙江省教研规划课题一一设计和达成三维教学目标的“过河式”模型的理论建构与应用研究（立项号212）作者简介：谢全苗（1956）,男，浙江上虞人，正高级，主要从事数学教材、教法、命题等方面的研究.情感态度与价值观”.因此，新课程理念教学中的惑与悟应是二者兼而有之，“解惑”、“达悟”则应二者并举，惑是认知主体在其成长过程中，因与自然界和他人的相互作用，所表现出来的认知结构中的已有的阐释系统紊乱而新的阐释系统尚未

8、建立的一种过渡状态的心理活动现象1.而“悟”，在说文中曰“觉也”.“悟性”，高级汉语大词典指“对事物的理解和分析的能力”；英文savvy,本意之一为“机智”.这是一般而言的“悟性”.我们所理解的教学中的“悟性”，不只是一种天赋，也非仅指“天资聪颖”一类；而是一个人学识、智慧、感觉、实践的综合体.悟性并不是虚无缥缈的东西，它是一种善于对事物进行由表及里、由实及虚的融会贯通的思考和认识的能力，也是不断地对自身实践进行总结和升华的结果，是自己的思维由具体到抽象的过程.说透了，这是一个人综合素质特别是创新思维的反映.悟性需要长期的实践和积累，只有从实践中去感悟，从积累中去融通.因而，悟性也是我们通过学

9、习、实践来对事物规律的认知和感悟的过程.如果说惑境是学生认知的发源地，那么，悟境则是学生对所学知识本质的领悟以及自如运用基础上的创新地.尽管数学教学中学生的认知是一个复杂的过程，难以线性表示出，但从教育的视角看，明确“由惑到悟”的几个关键环节和过程阶段，对促进数学教育实现“两个飞跃”，培养学生的创新意识是可行和必要的.我们知道，在数学教学中学生的认知始终是在教师的引导下发现新的数学关系或对已知数学关系的新理解与感悟的过程，在这一过程中学生对教师呈现的暗示做出的心理反应主要有疑惑、问题、理解与感悟.但疑与惑是有区别的，“疑是对已有的阐释系统的动摇，如果外界新的刺激得不到强化，得不到证实，被证明是

10、偶发的，则已有的阐释系统得到强化，疑逐渐弱化直至消退；如果新的刺激不断得到强化，不断而来的新证据充分表明其产生的必然性和合理性，那么，疑就得到强化，继而转变为惑.惑是疑的转化和发展，是对已有阐释系统的革命和调整”5,是疑和问题的中介和纽带.惑能激发认知活动，使主体认识到问题的存在，进而提出（或发现）问题.从唤起学生认知的兴趣看，惑境是学生认知的发源地.困惑产生问题，问题来自困惑，学生只有有了疑惑，才会积极去搜寻和处理相关的知识和问题，从中才让教师找到学生新知识的生长点.正是因为这样，才有新课程下的新教材，无论是必修还是选修，是每册、每单元，还是每章、每节甚至是每个课题前都有用从学生的思维生惑点

11、出发设计、提出的核心问题来提出学习任务、激发探究兴趣.据我们统计，在人教版的数学2中，除了含有以问题形式出现的“观察”出现了7次，“思考”出现了39次，“探究”出现了25次，“阅读与思考”出现了5次，“探究与发现”出现了2次，“实习作业”出现1次外，还有一类以“？”型问题出现的有15次，其中P118上连续3个.新教材是通过这些问题来诱惑与解惑，在数学教学中教师应鼓励学生把疑惑看成是自己成长与进步的动力，教师不但要注重“解惑”的传统教学模式，更要注重“生惑”、“达悟”这一创新人才培养的关键.如果我们能开发和用好这些“问题”，不但可以有效地调节数学课堂教学的气氛，有效达成与生成教学目标，而且能使传

12、统教学与创新教学达到有机统一.然而，在数学教学过程中学生的“惑境”既不会自动分辨，也不会自动消退，更不会自动进入悟境，这就需要作为主导的教师能让学生产生的惑是适度的，惑要诱得适度，导得得法，因为诱惑就是让学生产生疑惑感，其目的是引导学生去思考和探究，而不是故意地去为难、甚至去难住学生，要让学生“跳一跳能摘到桃子”，如用“问题串”或变式教学等形式出现的导就是架在惑与悟之间的一座思维的桥梁，导惑是为了让学生达悟，但要因势利导；当然这里更需要作为主体的学生以积极的态度或好奇心去进行探究，其中包括智力和意志上的努力.3用“过河式”模型实现数学课堂教学“由惑到悟”“过河式”模型能实现数学课堂教学“由惑到

13、悟”，“过河式”模型（如图1）是我在一线教学实践中为有效设计和达成“三维目标”而提出的一个简单、直观、形象的教学学习活动模式，比“三角式”模式（如图2）具有更多的优点，能让教师结合课堂教学的具体内容，来有效分析、设计和达成“三维目标”，能更有效地促进一线教师在新课程理念下对课堂教学的反思、实践和研究.彼岸悟境：对新的知识与技能本质的领悟和自如运用基础上的创新地河水过河情感态度与价值观此岸惑境：旧的知识与技能以及运用它不能解决面临的问题图1“过河式”“三维目标”结构情感态度过程与方法与价值观图2“三角式”“三维目标”结构这里把旧的知识与技能以及运用它不能解决面临的问题的惑境理解为河的此岸，把对新

14、知识与技能本质的领悟以及自如运用基础上的创新地的悟境理解为河的彼岸，视“过河”过程与方法，“河水”情感态度与价值观目标，将学生在教师的引导下从惑境出发，经历数学情境，进行探究活动，体验数学发现和创造的历程，达到感悟数学本质以及自如运用基础上的创新地的一次次升华，定位为课堂上的一次“过河”行动！这里说的是“过河”而不是“渡河”，更不是“渡船”，所以要强调这一点，就是“渡河”是“过河”的一种特例，“渡船”则是“渡河”的一种工具，若是用“船”“渡河”也是“过河”的一种特例.而“过河”（过程与方法）是灵活的，如何“过河”？就要视具体情况（如河水的缓急深浅、河面的大小宽窄与过河的对象、条件与任务等）而定

15、，既可直接让学生涉水或游泳“过河”，也可用“船”或“竹排”过河，要是河上有桥就可从桥上“过河”，无桥也可架桥“过河”，来不及（或无条件）架桥也可像红军一样去飞夺上流的泸定桥“过河”，要是有飞行器当然也可从河面上飞过河去，教须有法，但教无定法.这里的“过”是“八仙过海”的“过"只有“八仙过海”，没有“八仙渡海”说的就是“八仙”的水平体现在“过”上，要求每个老师能学学“八仙”，既能对不同的教学内容会用不同的过程与方法让学生“过河”，又能对相同的内容，要是对象与条件不同，同样会用不同的过程与方法来让学生“过河”，题海无边，但知识有限，“八仙”过的“海”看不到边，而我们所过“河”却能看到岸！

16、这个岸就是学生对所学知识本质的领悟以及自如运用基础上的创新地.另外，这里的“过河式”模式有点像“最近发展区”，所以如此，这不但是由于“此岸”：旧的知识与技能以及运用它不能解决面临问题的惑境，若用“最近发展区”的话来说是学生的“现有发展水平”与“潜在发展水平”，而这两种水平之间的“最近发展区”是“教学的最佳期”，“教学的最佳期”进行的教学是促进学生发展的最佳教学7,而且是由于通常情况下我们大多是用最近发展区理论设计的“问题串”来进行教学和探究活动的，但它却有别于“最近发展区”.因为“最近发展区”的核心是“发展”，而“过河式”模式的核心不只是“发展”，还要有“体验”，它是将知识与技能目标、情感态度

17、与价值观目标自然地融合在“过河”时的不同的“水情”、“河情”过程与方法之中，使预设与生成能相辅相成，因为“水情”、“河情”等是变化的，如“过河人”在经历用船“过河”这一过程中，是风平浪静，还是风云突变，突然打来几个浪，遇到几个旋涡或是船底破了等是谁也无法意料的，有时即使翻船下了水，其间在经历的“过河”过程中所体验到的情感态度与价值观也是很有价值的.因此，在“过河式”模式中用最近发展区理论设计而来的每一个问题，既要使学生的知识与技能在各自的“最近发展区”内得到“发展”，又要让学生在这一“过河”过程与方法之中去体验数学发现，经历创造过程，感悟数学本质，所以“过河式”模式有点像“最近发展区”，但不是

18、“最近发展区”.“最近发展区”只是在“过河”时要用到的一种理论或工具.“过河式”模式的最可贵之处是可这样简单、直观、形象地让我们清楚地看到：在三维目标中，过程与方法目标是“纲”，知识与技能目标、情感态度与价值观目标是“目”，“纲”举才能“目”张，从而使我们对自己的教学能从一个新的视角进行更深层面的反思、实践和研究.下面以改进的高中必修1“用二分法求方程的近似解”的一次“过河”行动来看以“过河式”模型实现的“由惑到悟”的数学课堂教学8.此岸：惑境一一旧的知识与技能以及运用它不能解决面临的问题.(1)学生已经掌握了函数零点的概念和函数零点附近两侧的函数值异号的特性，会求解简单方程.(2)但面对方程

19、lnx+2x-600却不知道是否有解？过河：过程与方法一一用问题串引导学习，适时插入小组合作交流.(河水：情感态度与价值观.)问题1:方程lnx+2x6=0有解吗？此问题来自教材“思考”，贯穿编者意图，突现数学本质，符合认知基础，适合学生探究，但学生却不能用所学方法与公式求解一一生惑.学生欲罢不能，激发学生自主探索的欲望.问题2:能求出它的近似解吗？此追问是引导学生思考.作两种预设：一是让学生说出思考方向；二是如果思路仍然受阻，需进一步启发和暗示，可出示下一问题.问题3:能否用上堂课为出发点找到一个求解的方案？此问题是让学生回顾上堂课知识：函数零点的概念和零点附近两侧的函数值异号的特性.(学生

20、恍然大悟)可以转化为求函数y=lnx+2x-6的零点，用“试值法”可发现f(2)<0,f(3)>0,因此，在(2,3)上有零点一一解惑.教师顺手画图，让学生观察初始区间，起到承上启下的作用，为引导学生描述特征，完成刻画作铺垫.问题4:刚才我们只确定了零点的初始区间，接下来要解决什么问题？此问题暗示思考方向.学生：找出零点.问题5:那如何找零点呢？此追问引导学生探究.学生：先取任意一点，如2.1,利用计算器得f(2.1)<0,零点在(2.1,3)内，又f(2.2)<0,则零点在(2.2,3)内，如此等等.师：不错，我们先试一试，看看能得到什么结论？生：f(2.1)到f(2

21、.5)都小于零，但f(2.6)>0,则零点在(2.5,2.6)内.师：很好！我们把零点所在区间从(2.1,3)缩小到了(2.5,2.6)内.向前迈进了一步，确是一个好方法或是好的思考方向.但我有一个问题：问题6:按这种方法，我取2.01或2.001甚至更小，你认为合理吗？此问题引导反思.学生：不合理.问题7:那你认为怎样取点才是最合理的呢？此追问暗示思考方向.学生：取2.5,得f(2.5)<0,取一次就可得到零点所在区间为(2.5,3).问题8:从2.5所处的位置上看，刚好是区间的中点，你认为是偶然的吗？此问题暗示反思.学生：不是，中点把区间一分为二，f(2.5)值的符号唯一确定.

22、故零点必在两区间之一内.问题9:现在，零点所在区间为(2.5,3),如果想进一步得到零点的近似值，你认为取哪一个点是最合理的？(小组合作交流)此问题暗示思考方向，启发深入探究，引出近似思想，并借助函数图像，引导学生探究逼近思想，促使“二分法”的形成，其中可能会涉及不同的分法，教师要有所准备，如三分法、四分法、黄金分割法等.引导学生得出它们的数学思想方法和“二分法”类似，但以“二分法”为最简便，当然，若把区间分成多份，设计好算法程序利用计算机在多个区间内同时寻找方程的近似解，从速度上来说则更快.问题10:从所用的方法中，你能看到它的本质特征吗？此追问深化了思考，引导学生去抓住“二分法”的本质.学

23、生：先缩小区间，再估计零点、逼近零点.师：很好！按照这种方法可以把区间缩到任意小，直到得到符合要求的零点.教师给出精确度工的定义.问题11:借助计算器，继续缩小区间，小组合作，完成下表：零点所在区间中点的值中点函数近似值精确度(2,3)2.5_0.0841(2.5,3)2.750.5120.5(2.5,2.75)2.6250.2150.25问题12:从表格中，可求lnx+2x_6=0的近似解，精确度是0.1,结果是多少？精确度是0.01,结果是多少？这两个问题都是让学生感受精度与近似的相对统一，体验它的算法思想，不断深化对重点：“缩小区间，逼近零点”的理解和领悟.问题13:我们把区间一分为二的

24、方法叫做一一“二分法”(学生答)，你能给它下个定义吗？此追问深化思考深度，学会形式化.问题14:刚才我们给出了“二分法”定义，你能讲出用“二分法”求零点近似值的步骤吗？此问题深化思考，引导学生总结，暗示操作的程序化.先由学生叙述，再由教师总结用“二分法”求零点近似值的步骤.彼岸：悟境一一对新的知识与技能本质的领悟以及自如运用基础上的创新地.(1)通过具体的实例的探究，学会归纳概括发现的规律和结论，并能用准确的数学语言表达出来.(2)在求具体方程的近似解的过程中，体会用“二分法”求方程近似解的基本步骤和思想，从中体验数学中“缩小区间、逼近零点”这一“二分法”的核心思想的意义和价值，参考文并能借助

25、机算器求相应方程的近似解.这一“由惑到悟”课堂教学是一个以“问题串”与小组合作交流的形式来实施的“过河”过程，不但其问题源于教材“思考”，贯穿编者意图，凸显数学本质，符合认知基础，适合学生探究，并以学生不能用所学的方法与公式求解的方程来诱惑，而且每个后续问题始终是围绕如何引导学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思想和如何引导学生去探究缩小区间的“方法”来展开的，其设计又能从学生“思维的最近发展区”来考虑，使学生欲罢不能，激发了学生自主探索的欲望，从中领悟“缩小区间，逼近零点”这一“二分法”的核心思想方法.从用“过河式”模型实现的“由惑到悟”数学课堂教学看到：“三维目标”所强调的过程与方法，是引

26、领学生来感受具体“过河”的过程以及蕴涵其中的方法，教师要做的是如何让学生从运用旧的知识与技能不能解决面临的问题惑境出发，在亲历“过河”的过程中，在自己独立思考与情感体验的基础上，能寻找同伴的支持、教师的援助，达到感悟数学本质的彼岸.在这次课堂“过河”行动中，知识技能与情感态度价值观自然蕴涵在过河的过程以及过河的结果之中，“过河式”模型实现了数学课堂教学的“由惑到悟”.章建跃先生认为：“问题是创新的开始.以问题引导学习应当成数学教学的一条基本原则.”9在“由惑到悟”数学课堂教学中无论是用“问题串”、变式教学10或是自主探究等来“过河”，都是要通过恰到好处的提问，提好的问题，给学生提问的示范，使他

27、们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更主动、有兴趣地学，富有探索地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.献1黄晓学.论思维生惑点与数学教学J.数学教育学报，2007,16(2):1618.2黄晓学.论“从惑到识”数学教学原理的建构J,数学教育学报，2007,16(4):971.3史宁中.数学课程标准的若干思考J,数学通报，2007,(5):1-5.4李广修，吴绍兵.直面新的数学课程改革J,中学数学教学参考，2007,(11):7-9.5张亚诗.惑论一一教学过程中认知发展突变论M.重庆：西南师范大学出版社，2003.6谢全苗.设计和达成三维目标的“过河式"模型J.中学数学教学参考，2007,(12):19-22.7谢全苗.思维的“最近发展区”的开发与利用J.数学通报，2004,(8):17-20.8谢全苗.与中学数学青年数学教师谈数学教育理论对中学数学教学工作的帮助J,数学通报，2000,(6):5-6.9章建跃.数学教育改革中几个问题的思考(续)J.数学通报，2005,(7):6-8.10谢全苗，刘淑珍.变式教学一一研究性学习的一种模式J.中学数学教学参考，2004,(10):5-9.ConstructionofaNewMathematicsCl