2020届高考数学抛物线总复习测试题

1、第四节抛物线一、填空题1. (2020 苏北四市联考)若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是2. (2020 福建改编)以抛物线 y2= 4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为3. 若垂直于x轴的直线交抛物线 y2=4x于点A, B,且AB="Q,则直线AB的方程为4. (2020 湖南改编)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线 焦点的距离是.5. (2020 江苏海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试)抛物22线y2=8x的焦点到双曲线 套一5=1的渐近线的距离为 .6 . (2020 南京模拟)在直角坐标系xOy中，双曲

2、线x2y=1的左准线为l ,则以l为3准线的抛物线的标准方程是 .7 .探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 cm,灯深40 cm,则光源放置位置为灯轴上距顶点 处.8 .点M到直线l : x+2y-3=0的距离等于到点 A(1,1)的距离，则点 M的轨迹为9 . (2020 海安中学模拟)已知P为抛物线y2=4x上一点，设 P到准线的距离为 db P 到点A(1,4)的距离为d2,则d1 + d2的最小值为 .二、解答题10 . (2020 广东东莞五校联考)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l , P为抛物线上 一点，PALl , A为垂足，如果直线 AF的斜率为73,求

3、|PF.11 .如图，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点R1,2) , A(xb y1) , B(x2,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1 + y2的值及直线 AB的斜率.12 .如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时AB的宽为20 n如果水位上升3 m时,水面CD的宽为10 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280 km(桥长忽略不计)，货车正以每小时 40 km的速度开往乙地，当行驶 1小时时，突然接 到紧

4、急通知：前方连降暴雨造成水位以每小时 0.25 m的速度持续上涨(货车接到通知时水位 在。皿，当水位达到桥拱最高点 O时，禁止车辆通行).试问：如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少km?J*,:.参考答案1. y2=8x解析：抛物线的焦点在x轴上，且 宗2, .抛物线的标准方程是y2=8x.2. x2+y2-2x=0解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为(x-1) 2+y2=1,即x2-2x+y2=0.3. x=3解析：由题意知点 A, B的纵坐标

5、为2，3和-2炉，代入抛物线方程求得 x=3, 所以直线AB的方程为x=3.'4. 6解析：抛物线y2=8x的准线方程为x=-2, 点P到y轴的距离是4, 点P到抛 物线准线的距离是 6,由抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6.225. 1解析：抛物线y2=8x的焦点坐标是(2,0),双曲线专-3=1的渐近线方程为x 十y=0,利用点到直线的距离公式得所求距离为6. y2=2x解析：双曲线 /-=1的左准线l的方程为3-=1.22 a x=-： c12'4八、，1 r P 1 .修所求抛物线的准线方程为x=-2,即抛物线的焦点在 x轴上，且-2=-,解得p=1,抛物线方

6、程为y2=2x.7. 5. 625 cm解析：将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在 x轴正半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y2=2px中，解得p=45,而光源放在焦点1 45.位置，距离顶点 2P=5.625 cm 处.8. 经过点A(1,1)且垂直于直线l的直线解析：因为点A(1,1)在直线x+2y-3=0上，所以动点的轨迹不是抛物线，而是过点A且与直线x+2y-3=0垂直的直线，其方程为2x-y-1=0.9. 4 解析：由抛物线定义得 P到准线的距离 &等于点P到焦点F(1,0)的距离PF,又 点A(1,4)在抛物线外部，所以当点 P、A F三点共

7、线时，d1+d2取得最小值AF,即最小值为 4.10. 设点P(x0,y0),则 y20=8x0,A(-2,y0),又焦点F(2,0),直线 AF的斜率为-、/3,所以?=-斓，解得丫0=4/，所以P(6,4十)，所以| PF=勺6-22+ 4黄 2=8.11. (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.点R1,2)在抛物线上，22=2p 1,解得p=2.所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.则kP灯丝xi 1), Xi-1y2-2kPB=xzr(X2 1八PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPA=- kPE.由A(Xi, yO, Rx2, y2)均在抛物线上，得y21=4x1,y22=4x2,124山-11 2J4y2-1y+2=-( y2+2) ,y1+y2=-4.由-得直线AB的斜率为媵抑机变方程为三=-功,0办.Vs=l0立=三e、i、9 / init所以Jf='y3， T 7 -解得»=2工