2020-2021备战中考数学与相似有关的压轴题及答案解析

1、2020-2021 备战中考数学与相似有关的压轴题及答案解析 一、相似 1. 如图，已知抛物线经过点 A (- 1 , 0), B (4, 0), C ( 0, 2)三点，点 D 与点 C 关 于 x 轴对称，点 P 是 x轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)，过点 P 做 x轴的垂线 (1) 求该抛物线所表示的二次函数的表达式； (2) 已知点 F( 0,)，当点 P 在 x轴上运动时，试求 m 为何值时，四边形 DMQF 是平 行四边形？ (3) 点 P 在线段 AB 运动过程中，是否存在点 Q,使得以点 B、Q、M 为顶点的三角形与 BOD 相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若

2、不存在，请说明理由. 【答案】(1)解：由抛物线过点 A (-1, 0)、B (4, 0)可设解析式为 4), 将点 C ( 0, 2)代入，得：-4a=2, 1 解得：a=-, 则抛物线解析式为 y=-i (x+1)(x-4) =-_x2+亶 x+2 (2)解：由题意知点 D 坐标为(0, -2), 设直线 BD 解析式为 y=kx+b, 将 B ( 4, 0)、D (0, -2)代入，得： I F k - d* I*- b=0 f b= 2 ，解得： i 2 b= - 2 直线 BD 解析式为 y= x-2, y=a (x+1) x- QM 丄 x 轴，P ( m, 0), 上- 4 /

3、Q (m,-丄 m2+_m+2)、 M ( m, - m-2), 1 3 1 I 则 QM=- E m2+ 二 m+2-(上 m-2) =- E m2+m+4, 7 F (0,二；)、D ( 0, -2), L5 DF=, / QM / DF, b .当-m2+m+4= 时，四边形 DMQF 是平行四边形, 解得：m=-1 或 m=3, 即 m=-1 或 3 时，四边形 DMQF 是平行四边形。 / QM / DF, / ODB=Z QMB , 分以下两种情况： 当/ DOB=Z MBQ=90 时， DOBs MBQ, DO MB 2 1 贝 U , / / MBQ=90 ； / MBP+Z

4、PBQ=90 , / Z MPB=Z BPQ=90 , Z MBP+Z BMP=90 : :.Z BMP=Z PBQ MBQ BPQ, I 4 -m 竺 Bl B& 元 ，即 2 f ” b 3 # 一加#龙 解得：mi=3、m2=4, 当 m=4 时，点 P、Q、M 均与点 B 重合，不能构成三角形，舍去， m=3，点 Q 的坐标为(3, 2); 当/ BQM=90 时，此时点 Q 与点 A 重合， BORA BQM , 此时 m=-1，点 Q 的坐标为(-1, 0); 综上，点 Q 的坐标为(3, 2)或(-1 , 0)时，以点 B Q、M 为顶点的三角形与 BOD 相 似. 【解

5、析】【分析】(1) A (-1, 0)、B (4, 0)是抛物线与 x 轴的交点，则可由抛物线的 两点式，设解析为 y=a (x+1)( x-4),代入 C (0,2 )即可求得 a 的值； (2)由 QM / DF 且四边形 DMQF 是平行四边形知 QM=DF,由 D, F 的坐标可求得 DF 的长 / J 度；由 P (m,0)可得 Q (m, -_m2+_m+2)，而 M 在直线 BD 上，由 B, D 的坐标用待定系 数法求出直线 BD 的解析式，并当=m 时，表示出点 M 的坐标，可用 m 表示出 QM 的长 度。由 QM=DF，列出关于 m 的方程，解之可得； (3 )在厶 DO

6、B 和厶 MBQ 中，由 QM / DF,可知 / ODB=Z QMB，因为 / MBQ=9要使 DOB 和 MBQ 相似，则需要 / DOB=Z MBQ=90 或 / DOB=Z BQM=90 。 2. 在矩形 ABCD 中，AB= 8, AD= 12, M 是 AD 边的中点，P 是 AB 边上的一个动点(不与 A、B 重合)，PM 的延长线交射线 CD 于 Q 点，MN 丄 PQ 交射线 BC 于 N 点。 (1)若点 N 在 BC 之间时，如图： X 1 Jtx 11 :9 Y (: 求证：/ NPQ= Z PQN; Pk 请问拙是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

7、 (2 )当厶 PBN 与厶 NCQ 的面积相等时，求 AP 的值. 【答案】(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， Z A= Z ADC= Z ADQ= 90 AB/CD , Z APM = Z DQM , / M 是 AD 边的中点， AM = DM , APM = ZDQM 在厶 APM 和厶 DQM 中， .側 伽 , APMA DQM (AAS), PM = QM , / MN 丄 PQ, MN 是线段 PQ 的垂直平分线， PN= QN, Z NPQ= Z PQN PM 5 於 ;是定值 理由：如图，过点 M 作 ME 丄 BC 于点 E, / MEN= / MEB= / AME=

8、 90 四边形 ABEM 是矩形，/ MEN= Z MAP, AB= EM, / MN 丄 PQ, Z PMN= 90； Z PMN = Z AME, Z PMN Z PME= Z AME- Z PME, Z EMN= Z AMP , AMPs EMN, AM 拂 AM 妙 1 E普 VI, .咽 妣，/ AD= 12, M 是 AD 边的中点， AM =丄；AD= 6, PM 6 5 / AB= 8, ; (2)解：分点 N 在 BC 之间和点 N 在 BC 延长线上两种情况 (i )当点 N 在 BC 之间时，如图，作 BF 丄 PN 于点 F, CG 丄 QN 于点 G,再分别作 RtA

9、 PBN 和 RtA NCQ 的中线 BS、CT, Z BFS= Z CGT= 90 ； BS=二 PN, CT= 1 QN, / PN= QN, S PBN S NCQ ,BF CG, B CT BS = CT 在 RtA BFS 和 RtA CGT 中，建F 二, /. Rt BFS RtA CGT (HL), Z BSF= Z CTQ Z BNP=忖 Z BSF=怡 Z CTG= Z CQN, 上昂P = CQN IZPBN = ZNO) 在厶 PBN 和厶 NCQ 中，刚 紬 ,PBNA NCQ (AAS), BN= CQ, BP= CN, / AP = AB BP= 8 CN,又 T

10、 CN= BC BN= 12 CQ, AP= CQ- 4 又 CQ= CD+DQ DQ= AP , AP= 4+AP (舍去)，此种情况不成立； (ii )当点 N 在 BC 延长线上时，如图，作 BF 丄 PN 于点 F, CG 丄 QN 于点 G,再分别作 RtA PBN 和 RtA NCQ 的中线 BS、CT, 同理可得， PBNA NCQ, PB= NC, BN= CQ, / AP= DQ, / AP+8= DQ+C CQ= BC+CN= 12+BP, AP- BP= 4 ，/ AP+BP= AB= 8， + 得：2AP= 12, AP= 6. 【解析】【分析】(1) 由矩形的性质用角

11、角边易证 APMBA DQM，可得 PM = QM , 已知 MN丄 PQ,由线段的垂直平分线的定义可得 MN 是线段 PQ 的垂直平分线，再根据线 段的垂直平分线的性质可得 PN= QN,由等边对等角可得 / NPQ= / PQN; 过点 M 作 ME 丄 BC 于点 E,由矩形的性质跟据有两个角对应相等的两个三角形相似易证 AM 地 卅 AMPEMN,可得比例式初 他，结合已知条件易求得 也为定值； (2)根据 MN 丄 PQ 交射线 BC 于 N 点可知分两种情况： 当点 N 在 BC 之间时，如图，作 BF 丄 PN于点 F, CG 丄 QN 于点 G,再分别作 RtA PBN 和 R

12、tA NCQ 的中线 BS CT,通过证 RtA BFS RtA CGT和 PBN NCQ 可求解； 当点 N 在 BC 延长线上时，如图，作 BF 丄 PN 于点 F, CG 丄 QN 于点 G,再分别作 RtA PBN 和 RtA NCQ 的中线 BS、CT,通过证 PBN NCQ 可求解。 3. 如图，在 &兰尺：中，哦- ，点M是 AC 的中点，以 AB 为直径作 I若AB - 6，当肋 2BX时，加 ； 连接处月，当 4 的度数为 _ 时，四边形 ODME 是菱形. 【答案】 (1)证明：I/ ABC=90 , AM=MC , BM=AM=MC , / A=Z ABM . ：

13、四边形 ABED 是圆 内接四 边形， / ADE+/ ABE=180 , 又 / ADE+/ MDE=180 , / MDE=/ MBA，同理证明： / MED=/A, / MDE=/ MED, MD=ME (2) 2; 【解析】【解答】解：由(1 )可知，/ A=/ MDE , DE/ AB , = 屮 1 / AD=2DM, DM : MA=1 : 3, / DE= AB= X 6=2 故答案为：2. 当/ A=60 时，四边形 ODME 是菱形.理由如下： 连接 OD、OE. / OA=OD， / A=60 AOD 是 等边三 角形， / AOD=60 / DE/ AB , / ODE

14、=Z AOD=60 ； / MDE=Z MED=Z A=60 ； ODE, DEM 都是等边三角形， OD=OE=EM=DM, 四边形 OEMD 是菱形. 故答案为：60 【分析】(1)要证 MD=ME，只须证/ MDE=Z MED 即可。根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得 BM=AM=MC ,则/ A=Z ABM ,由圆内接四边形的性质易得 / MED=Z A, / MDE=Z MBA，所以可得 / MDE=Z MED; DE 龈 (2)由(1)易证得 DE/ AB,可得比例式 ，结合中的已知条件即可求解； 当/ A=60 时，四边形 ODME 是菱形.理由如下：连接 OD、OE

15、,由题意易得 ODE, DEM 都是等边三角形，所以可得 OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。 Ph 的两条直角边 PE, PF 分别交 BC, DC 于点 M , N,当 PM丄 BC, PN 丄 CD 时，网= _ (用含 a, b 的代数式表示). (2 )拓展探究 在(1)中，固定点 卩，使厶 PEF 绕点 P 旋转，如图 2，厂 I的大小有无变化？请仅就图 2 的 情形给出证明. BC=b,点 P 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上, RtA PEF (1 )问题发现 如图 1，四边形 ABCD 为矩形，AB=a, (3 )问题解决 如图 3,四边形 ABCD 为正方形，

16、AB=BC=a 点 P 在对角线 AC 上, M, N 分别在 BC, CD 上，PM 丄 PN,当 AP=nPC 时，（n是正实数），直接写出四边形 PMCN 的面积是 _ （用含 n, a 的代数式表示） 【答案】（1） （2）解：如图 3，过 P 作 PG 丄 BC 于 G,作 PH 丄 CD 于 H, 则 / PGM=Z PHN=90 , / GPH=90 / RtA PEF 中，/ FPE=90 / GPM=Z HPN / AB=a, BC=b PC PG 1 二d b 即用 b P.if a PX b 故答案为彳 (3) AB 丄 BC, / PM 丄 BC, PMCs ABC c

17、BC b = -二 PM AB a 四边形 ABCD 是矩形， / BCD=90 , / PM 丄 BC, PN 丄 CD, / PMC=Z PNC=90 =Z BCD, 四边形 CNPM 是矩形， CM=PN, P.if a 二 b 由 PG/ AB, PH/ AD 可得, PG 7B 【解【解答解：（1） 四边形 ABCD 是矩 故答案为山； (3 ) / PM 丄 BC, AB 丄 BC PMCs ABC CP Pk CA 亦 当 AP=nPC 时(n是正实数)， PM= a 故答案为: 1 求这条抛物线的表达式； 2 在第四象限内的抛物线上有一点 C,满足以 B, O, C 为顶点的三

18、角形的面积为 2,求 点 C 的坐标； 1 1 2 / ( - a)= n 1 (4 I) 四边形 PMCN 的面积= 【分CM BC PM 虺启，由矩形的性质可得 CM=PN, (2 )过 (1)由题意易得 PMCsABC,可得比例式 则结论可得证； P 作 PG 丄 BC 于 G,作 PH 丄 CD 于 H,由辅助线和已知条件易得 PGMs PHN, PM PG 则得比例式 ，由(1)可得比例式 AB PG a AD (3)由(2)的方法可得 旳一 n J /,则四边形 PMCN 的面积= ，即比值不变; 5. 如图 1,经过原点 0 的抛物线 y=ax2+bx (a 工0与 x轴交于另一

19、点 A (14, 0),在第 t).(3)如图 2,若点 M 在这条抛物线上，且 / MBO=Z ABO，在(2)的条件下，是否存在点 P,使得 POSA MOB ?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 图 I 点 C 是抛物线上第四象限的点， 可设 C (t, 2t2 - 3t)，贝 V E (t, 0), D (t, t), OE=t, BF=2- t, CD=t-( 2t2- 3t) =- 2t2+4t, - SAOBCFSA CDC+SACDBF CD?OE+ CD?BF= (- 2t2+4t) ( t+2 - t) = - 2t2+4t, OBC 的面积为 2, - 2

20、t2+4t=2，解得 ti=t2=1 , -C (1 , - 1)【答案】(1)解：I B (2, t)在直线 y=x 上, t=2 , B (2, 2), 把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得 抛物线解析式为 y=2X - 3x 解得咕 力, (2)勒 b - 2 F, (3)解：存在设 MB 交 y 轴于点 N,如图 2, / B (2, 2), / AOB=Z NOB=45 , 在厶 AOB 和厶 NOB 中 AOB 二 NOB / OB = 0B ZABO = ZNBG AOBA NOB (ASA, .ON=OA=卫, - N (0,二)， J J 可设直线 BN 解析式为 y=k

21、x+ ，把 B 点坐标代入可得 2=2k+ ，解得 k=, -或 /5 M (- / C (1 , - 1), Z COA=Z AOB=45 , 且 B (2, 2), OB=2 , OC= , / P03A MOB, 加0B .少=0C =2, Z POC=/ BOM, 当点 P 在第一象限时，如图 3，过 M 作 MG 丄 y 轴于点 G,过 P 作 PH 丄 x轴于点 H ,1 4X i 一 ，联立直线 BN 和抛物线解析式可得 y v = 2* -血 ，解得 32 ), 图】 直线 BN 的解析式为 y= 综上可知存在满足条件的点 【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线

22、 y= / MOG= / POH,且 / PHO=/ MGO, =2, / M /-y ,OG=, 1 PH= - MG= 3 J6 过 M 作 MG 丄 y 轴于点 G,过 P 作 PH 丄 y 轴于点 H, 同理可求得 PH= - MG=丿 q, P (- lb ） ； 45 3 3 ）或（- Th 曲） 交于点 B（ 2, t） 兀一次方程组，求出 MOGs POH, /j p (小, 16 ） ； 3 P,其坐标为（ x 出点 B 的坐标，再将点 A、B 的坐标分别代入 y=ax2+bx,建立,可求 a、b 的值，即可求得答案。 (2) 过 C 作 CD/ y 轴， 交 x轴于点E,交

23、0B 于点 D,过 B 作 BF 丄 CD 于点 F,可知点 C、 D、E、F 的横坐标相等，因此设设 C (t, 2t3 4- 3t),贝 V E (t, 0), D (t, t), F (t, 2), 再表示出 OE、BF、CD的长，然后根据 SOBC=SACDO+SA CDB=2,建立关于 t 的方程，求出 t 的值，即可得出点 C 的坐标。 (3) 根据已知条件易证 AOBBANOB,就可求出 ON 的长，得出点 N 的坐标，再根据点 B、N 的坐标求出直线 BN 的函数解析式，再将二次函数和直线 BN 联立方程组，求出点 M an 的坐标，求出 OB、OC 的长，再根据 POSA M

24、OB，得出少 -,/ POC=Z BOM, 然 后分情况讨论：当点 P 在第一象限时，如图 3,过 M 作 MG 丄 y 轴于点 G,过 P 作 PH 丄 x 轴于点 出证厶 MOGPOH,得出对应边成比例，即可求出点 P 的坐标；当点 P 在第三 象限时，如图 4，过 M 作 MG 丄 y 轴于点G,过 P 作 PH 丄 y 轴于点 H,同理可得出点 P 的坐 标，即可得出答案。 6. 已知，如图 1，抛物线 y= ax2 + bx+ 3 与 x 轴交于点 B C,与 y 轴交于点 A,且 AO= 3 求抛物线解析式； 4 如图 2,点 P 是抛物线第一象限上一点，连接 PB 交 y 轴于点

25、 Q,设点 P 的横坐标为 t，线段 OQ 长为 d,求 d 与 t 之间的函数关系式; (3)在的条件下，过点 Q 作直线 I丄 y 轴，在 I上取一点 M(点 M 在第二象限)，连接 AM，使 AM = PQ，连接 CP 并延长 CP 交 y 轴于点 CN、CM.若/ MCN+/ NKQ= 45 时，求 t 值. 1, 二 A (0, 3), 0A=0C=3, / BC=4, 0B=1, B (- 1, 0), C (3, 0), 3, t2= 3，不符合题意，舍去, t= . 【解析】【分析】(1)根据函数图像与坐标轴交点的坐标特点，得出 A 点的坐标，再根 据点到坐标轴的距离得出 0A

26、=0C=3,又 BC=4,从而得出 0B 的距离，进而得出 B,C 两点的 坐标，再将 B,C 两点的坐标代入抛物线 y=aX+bx+3 中得出一个关于 a,b 的二元一次方程 组，求解得出 a,b 的值，从而得出抛物线的解析式； (2)过 P 作 PG 丄 x轴于 G,根据 P 点的横坐标得出 P 点坐标设 P (t, - t2+2t+3)( 0 v t v 3)，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出 BOQsBGP,根据相似三角形对应边成比例得出 OQ： PG=OB： BG 从而得出 d 关于 t 的 函数关系式； (3) 连接 AN,延长 PN 交 x

27、 轴于 6,由(2)知：OQ=3- t, OA=3，从而得 AQ=OA- OQ=3 -(3 - t) =t，进而得 QN=OG=AQ=t,从而判断出 AQN 是等腰直角三角形，根据等腰直 角三角形的性质得出/ QAN=45 , AN= . t ,根据平行线分线段成比例得出 PG： OK=CG： OC,故 OK=3t+3, AK=3t，根据等式的性质得出 / ANK=Z MCN，判断出 NGC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出 NC=. ( 3 - t), / GNC=4，再判 断出 AKNS NMC，根据相似三角形对应边成比例得出 A K : M N = A N : N C，再利

28、用 HL 判断出 RtAAQM RtA QNP, 故 MQ=PN=- t2+2t+3 -( 3- t) =- t2+3t,从而得出关于 t 的方程，求解并检验即可得出答案 7. 书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小如图 ，将一张矩形印刷用纸对折后可 以得到 2 开纸，再对折得到 4 开纸，以此类推可以得到 8 开纸、16 开纸 若这张矩形印刷用纸的短边长为 a. (1) 如图，若将这张矩形印刷用纸 ABCD(AB BC 进行折叠，使得 BC 与 AB 重合，点 C 落在点 F 处，得到折痕 BE;展开后，再次折叠该纸，使点 A 落在 E 处，此时折痕恰好经 Ab 过点 B,得到折痕 BG,求

29、 的值. (2) 如图，2 开纸 BCIH 和 4 开纸 AMNH 的对角线分别是 HC HM .说明 HC 丄 HM . (3) 将图中的 2 开纸、4 开纸、8 开纸和 16 开纸按如图所示的方式摆放，依次连接 点 A、B M、I,则四边形 ABMI的面积是 _ .(用含 a 的代数式表示，直接写出结 果) 【答案】(1)解：四边形 ABCD 是矩形， / ABC / C 90 . 第一次折叠使点 C 落在 AB 上的 F 处，并使折痕经过点 B, / CBE 1/ FBE 45 , / CBE T/ CEB 45 , BC CE 1 a, BE . 第二次折叠纸片，使点 A 落在 E 处

30、，得到折痕 BG, AB BE , | | =刍 Lur=4 (2)解：根据题意和(1 )中的结论，有 AH BH , AM AH 胶 2 . 四边形 ABCD 是矩形， / A / B 90 , MAHs HBC, / AHM / BCH. / / BCH / BHC 90 , / AHM / BHC 90 , / MHC - | 90 / HC 丄 HM . r oil r 根据题意知（1）中的结论，有 BC=AD= - a, AF=IG=_ a, NI=MP= 3 a, OP= ? a, 又/ / C=Z ADE=90 , / BEC 玄 AED, :.?BCE ?ADE, - S ?B

31、CE=S?ADE, 同理可得，S?AFH=S?IGH, S ?INQ=S ?MPQ, 四边形 ABMI 的面积=S 矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC 【分析】(1)利用矩形的性质及第一次折叠使点 C 落在 AB 上的 F 处，可得出 / CBE=Z FBE=/ CEB=45，可得出 CE=BC 利用勾股定理可用含 a 的代数式求出 BE 的长， 再根据第二次折叠纸片，使点 A 落在 E 处，得到折痕 BG,可用含 a 的代数式表示出 AB 的 长，然后求出 AB 与 BC 的比值。 (2)利用(1 )的结论，可用含 a 的代数式表示出 AH、BH、AM 的长，就可求出 AM A/i

32、 胡 班,利用矩形的性质可得出/ A = / B,再根据相似三角形的性质，证明 MAH HBC,利用相似三角形的性质，去证明 / AHM + / BHC = 90 ,然后利用垂直的 定义可解答。 (3)利用已知条件证明？BCE?ADE，可证得 S ?BCE=S?ADE , S ?AFH=S ?IGH, S ?INQ=S ?MPQ ,再 根据四边形 ABMI 的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC ,可求出答案。32 (3) 【解析】【解答】解：(3)如图， & RtAABC 中，/ ACB= 90 AC= 3, BC= 7,点 P 是边 AC 上不与点 A、C 重合的一

33、点, 作 PD/ BC交 AB 边于点 D. 如果 AP: PC= 5: 1，连接 DD, 且 DD= . AD,那么请直接写出点 D到直线 BC 的距 离 【答案】(1)证明：将 APD 沿直线 AB 翻折，得到 APD, / ADP= / ADP, /AE/ PD, / EAD= / ADP, / EAD= / ADP, AE= DE (2)解：/ DP/ BC, APA ACB SP AA , 旋转， AP = AP, AD= AD, / PAD= Z PAD, APf ADf Z PAC= Z DAB,川厂 /厨 AP8A ADB (1)如图 1,将厶 APD 沿直线 AB 翻折，得到

34、 APD,作 AE/ PD 求证：AE= ED; (2 )将厶 APD 绕点 A 顺时针旋转，得到 APD，点 P、D 的对应点分别为点 P、D, 如图 2，当点 D在 ABC 内部时，连接 P和 DB，求证： APCsAADB; 线于 M , J / AP： PC= 5: 1, AP: AC= 5 : 6, A 作 AF 丄 DD,过点 D 作 DM 丄 AC,交 AC 的延长若点 D在直线 BC 下方，如图，过点 同理可证： AMD DPA,AP PL 二 AC BC = 6 / BC= 7, 35 :.PD= , 旋转， AD= AD,且 AF 丄 DD, Db 1 D L 5 AL 2

35、 cosZ ADF=抠 = 肋= AD I 9 / ADF= 45 / ADF= 45 : / DAD= 90 / DAM+ / PAD- 90 ； DM 丄 AM, / DAM+ / ADM = 90 , / PAD= / ADM，且 AD = AD, / AMD = Z APD, ADM 也厶 DAP PD= AM = / CM = AM - AC= CM = 点 D到直线 BC 的距离为 若点 D在直线 BC 的上方，如图，过点 D作 DM 丄 AC,交 CA 的延长线于点 J/f - DF= DF= DD, / ADF= / ADF, 35 :.AM = PD=, / CM = AC+

36、AM, CM = 3+ 石=， N 点 D到直线 BC 的距离为 综上所述：点 D到直线 BC 的距离为&或& ; 【解析】 【分析】(1)由折叠的性质和平行线的性质可得 / EAD= Z ADP= Z ADP，即可 得 AE= DE;( 2) 由题意可证 APAACB,可得 ，由旋转的性质可得 AP= AP, AD= AD, Z PAD= Z PAD,即 Z PAC= Z DAB ,，则 APC ADB;分点 D在 APr ADf 直线 BC 的下方和点 D在直线 BC 的上方AB两种情况讨论，根据平行线分线段成比 的距离. 9. 如图 1, ABC 与厶 CDE 是等腰直角

37、三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、 N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD. (1)_ 请直接写出 PM 与 PN 的数量关系及位置关系 _ ; (2)_ 现将图 1 中的 CDE 绕着点 C 顺时针旋转 a ( 0 aV 90 ,得到图 2, AE 与 MP、 BD 分别交于点 G、H.请直接写出PM 与 PN 的数量关系及位置关系 _ ; (3) 若图 2 中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC= kAC, CD= kCE,如图 3,写出 PM 与PN 的数量关系，并加以证明. 【答案】 (1) PM 丄 PN, PM = PN

38、 (2) PM = PN, PM 丄 PN (3) 解：PM = kPN, 例，可求 35 PD= 6 35 ，通过证明 AMD DPA,可得 AM = PD= “，即可求点 D到直线 BC / ACB 和 ECD 是直角三角形， Z ACB= Z ECD=90: Z ACB+Z BCE= Z ECD+Z BCE. Z ACE= Z BCD. / BC= kAC, C kCE, BC CL 五-云=k. BCMA ACE. BD= kAE, 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， 1 1 :.PM = BD, PN=匸 AE. PM = kPN. 【解析】【解答】解：(1) PM=

39、 PN, PM 丄 PN, 理由如下： ACB 和 ECD 是等腰直角三角形， AC= BC, EC= CD, / ACB= / ECD= 90 AC = BC ZACB = NECB =财 在厶 ACE 和厶 BCD 中 工 CD , ACE BCD ( SAS , AE= BD, / EAC= Z CBD, / Z BCD= 90 Z CBD+Z BDC= 90 Z EAC+Z BDC= 90 点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点, 1 1 PM =力 BD, PN= - AE, PM = PN, 点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD

40、 的中点, PM / BC, PN/ AE, Z NPD= Z EAC, Z MPN = Z BDC, / Z EAC+Z BDC= 90 Z MPA+Z NPC= 90 Z MPN= 90 即 PM 丄 PN, 故答案为：PM 丄 PN, PM= PN; (2 ) PM= PN, PM 丄 PN, 理由：/ ACB 和厶 ECD 是等腰直角三角形， AC= BC, EC= CD, Z ACB= Z ECD= 90 Z ACB+Z BCE= Z ECD+Z BCE. Z ACE= Z BCD, ACE BCD ( SAS . AE= BD, Z CAE= Z CBD. 又/ / AOC= /

41、BOE, / CAE= / CBD, / BHO= / ACO= 90 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， I :.PM =2 BD, PM/ BD; 1 PN= J AE, PN / AE. PM = PN. / MGE+Z BHA= 180 Z MGE= 90 Z MPN= 90 PM 丄 PN. 故答案为：PM 丄 PN, PM= PN 【分析】(1 )利用等腰直角三角形的性质得出结论判断出 ACEA BCD,得出 AE=BD, 再用三角形的中位线即可得出结论；( 2)同(1)的方法即可得出结论；(3)利用两边对 应成比例夹角相等，判断出 BCDAACE,得出 BD=kA

42、E 最后用三角形的中位线即可得 出结论. 10. 如图，已知抛物线 卜辽:食 衣 创过点 A 和 B空，过点 A 作直线 AC/x轴，交 y 轴与点 Co V/ n D (1) 求抛物线的解析式； (2) 在抛物线上取一点 P,过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D,连接 OA,使得以 A, D, P 为顶点的三角形与 AOC 相似，求出对应点 P 的坐标； 1 5 AAOC -乍川炯 (3) 抛物线上是否存在点 Q,使得 3 ?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由。 【答案】(1)解：点 A、B 在抛物线上， 3a # VJ/J = - 3 * f 盹 （2）当 P 在直线

43、 AD 上方时， PD= OC CA 当厶 OCAA ADP 时， 113 解得：x= 即 x= 此时 P （ 当厶 0CWA PDA 时， 整理得： ，即 x2-忌m 解得： 此时 P ( 4 . ,6); 当点 P ( 0,0)时，也满足 OCWA PDA; 解得: 抛物线解析式为：y= x2 x. 3 3 A/j 寸x十* 即 ? yf3 OC CA PD AL ,即 J r 3 X - A/3 -r - x 十 3 当 P 在直线 AD 下方时，同理可得，P 的坐标为（ 综上，P 的坐标为（ （3） 解：/ A | :*.： AC= ,0C=3, ）或（4气仁,6）或（ 心 1G ),

44、 )或(0,0) L 2 A/5 ，则有 AD=x-., 整理得：3x2-9 . x+18=2、x-6, 3x2-11 , x+24=0. 53 土 英/3 卫 ,即 x=尿或、，（舍去）， h= 又I = J 磁， AOQ 边OA上的高=3h=, 过 O 作 OM 丄 OA,截取 OM=，过点 M 作 MN / OA 交 y 轴于点 N ,过 M 作 HM 丄 x轴，（如 图）， / MNO= / AOC=30 , OM 丄 MN , ON=2OM=9 , / NOM=60 即 N ( 0,9), / MOB=3O MH= OM=, 93 OH=IV 曲-时=T, M g M ( ,), 设

45、直线 MN 解析式为：y=kx+b, 直线 MN 解析式为：y=- x+9,0A=2 ., OCAC=J OAh= K I A/0 V5 c o / AC= , / AOC=30 , 又 MN / b = 9 M = -弋 右=9 / x - . x-18=0, (x-3 . ) (x+2 ) =0, x =3 ,x =-2 f7 , Q 点坐标( 3 , 0)或(-2 . , 15), 抛物线上是否存在点 Q,使得 【解析】 【分析】（1）将 A、B 两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程 组，解之即可得抛物线解析式 . 1 M （2）设 P 坐标为（x，f 2 ），表示出 AD

46、与 PD,由相似分两种情况得比例求出 x 的值，即可确定出 P 坐标。 （3）根据点 A 坐标得 AC= . ,OC=3,由勾股定理得 OA=2 .,根据三角形面积公式可得 AOC 边 OA 上的高 h=，又点.啣=3%曲得厶 AOQ 边 OA 上的高为 E ;过 O 作 OM 丄 OA,截取 OM=，过点 M 作 MN / OA 交 y 轴于点 N ,过 M 作 HM 丄 x轴，（如图）， 根据直角三角形中， 30 度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出 N （ 0,9），在 RtA MOH 中，根据直角三角形性质和勾股定理得 M （ ,）;用待定系数法求出直线 MN 解析式，再讲直线 MN

47、 和抛物线解析式联立即可得 Q 点坐标. 11 .已知：如图，在四边形 中， ，虫栄號-耀，二 5. , 垂直平分 .点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同 时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 扌.ri、 当一个点停止运动，另一个点 也停止运动过点作 挖，交 于点 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 （1 ）当 为何值时，点 在 的平分线上? (2) 设四边形 的面积为卜必厲：，求 与旧的函数关系式 (3) 连接腐，.，在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使|淘上疥？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：在 中，_4谷 &厂，初 .沁二代, 旳 i : .I. / BPE=Z BCA=90 又/ B=Z B 当 为 4 秒时，点 在 L 卍喊 4 的平分线上 (2)解：如图，连接 ，I网. S 因谊眈EG - * $3 何-5d 右(SAOPC s A OBC) 1 4