初中数学经典几何难题及答案-初中教育精选

1、1、已知：如图，。是半圆的圆心,求证: PBC是正三角形.3、如图,已知四边形 ABCD、DD1的中点.求证：四边形（初二）AiB 1C1D1 都是正方形，A2、B2、C2、A2B2c2D2是正方形.（初二）D2 分另1J是 AA1、BB1、CC1、第3题图第4题图经典难题（一）C、E 是圆上的两点， CDXAB , EFXAB , EGXCO.第1题图第2题图2、已知:如图， P是正方形 ABCD内点，/ PAD=Z PDA = 150.4、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD=BC, M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延 长线交MN于E、F.求证：/ DEN =Z F.经典难题（

2、二）1、已知： ABC中，H为垂心（各边高线的交点），。为外心，且 OMLBC于M.（1）求证：AH =2OM ;（2）若/ BAC =600,求证：AH=AO.（初二）A第1题图B、C 及 D、2、设MN是圆。外一直线，过。作OALMN于A,自A引圆的两条直线，交圆于E,直线EB及CD分别交 MN于P、Q.求证：AP = AQ .（初二） 3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过 MN的中点A任作两弦BC、DE ,设CD、EB分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ.（初二）第4题图开心快乐每一天4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在4ABC的外侧

3、作正方形 ACDE和正方形 CBFG ,点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.（初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD为正方形，DE/AC, AE = AC , AE与CD相交于F. 求证：CE = CF.（初二）2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE/AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.求证：AE = AF.（初二） 3、设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点，PFXAP, CF平分/ DCE.求证：PA=PF.（初二）4、第4题图如图,求证:PC切圆。于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D .AB = DC,

4、 BC=AD .（初三）经典难题（四）1、已知: ABC是正三角形,P是三角形内一点，PA=3,PB=4, PC=5.求：/ APB的度数.（初二）第1题图第2题图2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA = /PDA.求证：/ PAB = / PCB.（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证： AB - CD+AD - BC = AC - BD .（初三）4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE = CF.求证：/ DPA=/DPC.（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点，LAABC第1题图2、P是边长为

5、1的止方形 ABCD内的一点，3、P为止方形 ABCD 内的一点，并且 PA = 形的边长.二B. = PA + PB+PC,求证：J3wL<2.A DBC第2题图求 PA+PB+PC的最小值.Aa, PB=2a, PC=3a,求止方八C第3题图4、如图， ABC 中，/ ABC = / ACB = 80°, D、E 分别是 AB、AC 上的点, Z EBA = 200,求/ BED 的度数.第4题图/ DCA = 300,经典难题（一）1、已知：如图， 。是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CDXAB , EFXAB , EGXCO.求证：CD=GF。（初二）证一：连接OE

6、。 EGXCO , EF± AB , O、G、E、F四点共圆，且 OE为直径。 .GF=OE sin/GOF。XAOCD 中，CD=OC sin/COD。 . / GOF+ / COD=180 ° ,OC= OE为。O半径，.CD = GFo证二：连接OE ,过G作GH，AB于H。 EGXCO , EFXAB ,O、G、E、F四点共圆，且 OE为直径。/ GEO= / HFG。又/ EGO= / FHG=Rt / ,.-.GEOA HFGo . . GF:OE=GH:OG 。又 GH / CD, GH:CD=OG:OC , 即 GH:OG=CD:OC，.二 GF:OE=CD

7、:OC ,而 OE=OC , .1. CD = GF。2、已知：如图，P是正方形 ABCD内点，ZPAD = Z PDA = 150.求证： PBC是正三角形.（初二）证明：3、如图，已知四边形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形，Az、B2、C2、D2分别是AAi、BB1、CC1、DDi的中点.求证：四边形 A2B2c2D2是正方形.（初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD=BC, M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延 长线交MN于E、F.求证：/ DEN =Z F.经典难题（二）1、已知： ABC中，H为垂心（各边高线的交点），。为外心，且 OMLBC于M.(1)求证：

8、AH =2OM ;(2)若/ BAC =600,求证：AH=AO.(初二)2、设MN是圆。外一直线，过。作OALMN于A,自A引圆的两条直线，交圆于 B、C及D、E,直线EB及CD分别交 MN于P、Q.求证：AP = AQ .（初二）3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过 MN的中点A任作两弦BC、DE ,设CD、EB分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ.（初二）4、如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在4ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG ,点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.（初二）1、如图，四边形 AB

9、CD为正方形,求证：CE = CF.（初二）经典难题（三）DE / AC , AE = AC , AE 与 CD 相交于 F.2、如图,求证:DE II AC ,且CE= CA ,直线EC交DA延长线于F.四边形 ABCD为正方形, AE = AF.（初二）3、设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点，PFXAP, CF平分/ DCE. 求证：PA=PF.（初二）4、如图，PC切圆。于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D. 求证：AB = DC, BC=AD.（初三）经典难题（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA=3, PB=4, P

10、C=5. 求：/ APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA = / PDA. 求证：/ PAB = /PCB.（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证： AB - CD+AD - BC = AC - BD .（初三）4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE = CF.求证：/ DPA=/DPC.（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：、份WL<2.2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA+PB+PC的最小值.3、P为正方形 ABCD内

11、的一点，并且 PA=a, PB=2a, PC=3a,求正方形的边长.4、如图， ABC 中，/ ABC = / ACB = 800, D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA = 300,Z EBA = 200,求/ BED 的度数.经典难题（一）1 .如下图做 GHLAB,连接EO。由于 GOFE四点共圆，所以/ GFH = / OEG,即GHFs OGE,可得 型=9° =啦,又co=e。，所以CD=GF得证。GF GH CD2 .如下图做 DGC使与 ADP全等，可得 PDG为等边,从而可得 DGCA APD0CGP彳导出 PC=AD=DC,和/ DCG=/PCG=150

12、所以/ DCP=300 ,从而得出 PBC是正三角形3 .如下图连接BG和AB分别找其中点F,E.连接GF与AE并延长相交于Q点, 连接EB并延长交GQ于H点，连接FB并延长交4Q于G点， 由 A2E=/AB=/BCi= FB2 , EB=RaB= BC=FC ,又 / GFQ+/ Q=900 和/GEB2+/Q=90°，所以/ GER=/GFQ 又/ B2FC2=/A2EB2 ,可得 B2FC2AA2EB2 ,所以 A2B2=B2c2 ,又/ GFQ+/ HB2F=900 和/ GFQ=/ EB2A2 ,从而可得/ A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形

13、 A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点 Q,连接Q阴口 QM所以可得ZQMF= / F, / QNM= Z DEN和/ QMN= ZQNM ,从而得出/ DEN = Z F。经典难题（二）1.(1)延长 AD到 F 连 BF,彳O OG.AF,又/ F=/ACB= / BHD ,可得BH=BF,从而可得HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB OC既得/BOC=1200,从而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。3 .作 OH CD OG_ BE ,连接 OP, OA, OF, AF

14、, OG , AG, OQ。,ADAC CD 2FDFD由于=AB AEBE 2BGBG由此可得 ADFA ABG ,从而可得/ AFC= / AGE。又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ , / AOP= / AOQ ,从而可得 AP=AQ 。4 .过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG CI, FH可得PQ=EG + FH 2由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFHA CBI ,可得 FH=BI。-八 AI + BI AB从而可得 PQ= , 从而得证。22经典难题（三）1 .顺时针旋转 4ADE ,到 ABG ,连接CG

15、 由于 / ABG= / ADE=90 0+450=1350从而可得 B, G, D在一条直线上，可得 AGB ACGBo 推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC为等边三角形。ZAGB=30 0,既得/ EAC=30°,从而可得/ A EC=750。又/ EFC= / DFA=45 0+300=750.可证：CE=CF。2 .连接BD作CHL DE,可得四边形 CGDH是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=300,所以/ CAE= Z CEA= ZAED=15 0,又/ FAE=900+45°+15°=1500,从而可知道/ F=150,

16、从而得出AE=AF。AD3 .作FGL CD F已BE,可以得出GFEC为正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。tan / BAP=tan / EPF=，可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出ABPPEF ,得到PA=PF ,得证。经典难题（四）1 .顺时针旋转MBP 600 ,连接PQ ,则 PBQ是正三角形。可得APQC是直角三角形。所以/ APB=150 0。2 .作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE/ DC BE/ PC.可以得出/ ABP= / ADP= / AEP,可得：A

17、EBP共圆（一边所对两角相等）。可得/ BAP= / BEP= / BCP,得证。3 .在 BD取一点 E,使/ BCE= / ACD ,既得 BECs ADC ,可得:BE= AD ,即 AD?BC=BE?ACBC AC又/ ACB= / DCE ,可得 ABC DEC ,既得AB DE=,即 AB ?CD=DE ?AC ,AC DC由 + 可得：AB?CD+AD ?BC=AC（BE+DE尸 AC - BD ,得证。4 .aD#AQ AE'A"CF'由 £=5 可得: AEkQ=AELpQ E=FC22可得DQ=DG ,可得/ DPA=/ DPC （角平分

18、线逆定理）。经典难题（五）1. （1）顺时针旋转BPC 60°,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小 L=;（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F。由于/ APD> / ATP= / ADP ,推出AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FOPC又 DF=AF由可得：最大 L< 2 ;由（1）和（2）既得:WLV2 。2.顺时针旋转BPC 600 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一条直线

19、上,3.顺时针旋转ABP 900 ,可得如下图:4.在AB上找一点F,使/BCF=600 , 连接EF, DG,既得 BGC为等边三角形， 可得/DCF=100 , / FCE=200，推出 ABEACF ,得至U BE=CF , FG=GE 。推出：4FGE为等边三角形 ，可得/ AFE=80 0 , 既得：/ DFG=400又 BD=BC=BG 既得/ BGD=80 0 ,既得/ DGF=400 推得：DF=DG 得到： DFE0DGE , 从而推得：/ FED= / BED=30 0 。A经典难题（一）1 .如下图做 GHLAB,连接EO。由于 GOFE四点共圆，所以/ GFH = /

20、OEG,即GHFs OGE,可得里 MGOnCO,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。GF GH CD2 .如下图做 DGC使与 ADP全等，可得 PDG为等边,从而可得 DGCA APD0CGP彳导出 PC=AD=DC,和/ DCG=/PCG=150所以/ DCP=30° ,从而得出 PBC是正三角形3 .如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接GF与AE并延长相交于Q点, 连接EB并延长交GQ于H点，连接FB并延长交A2Q于G点， 由 A2E=gAB=；BG= FB2 , EB=； AB= g BC=F C ,又 / GFQ+/ Q=900 和/GEB+/Q=900，所以

21、/ GEB=/GFQ 又/ B2FC2=/A2EB2 ,可得 B2FC2A A2EB2 ,所以 A2B2=B2c2 ,又/ GFQ+/ HB2F=900 和/ GFQ=/ EB2A2 ,从而可得/ A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。4 .如下图连接AC并取其中点 Q,连接Q阴口 QM所以可得ZQMF= / F, / QNM= Z DEN 和/ QMN= ZQNM ,从而得出/ DEN = Z F。P经典难题(二)1.(1)延长 AD到 F 连 BF,彳O OGAF,又/ F=/ACB= / BHD ,可得BH=BF,从而可得HD=DF

22、 ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM开心快乐每一天(2)连接 OB OC既得/BOC=120 0,从而可得/ BOM=60 ,所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。3 .作 OH CD OG_ BE,连接 OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ。,ADAC CD 2FDFD由于=,AB AEBE 2BGBG由此可得 ADFA ABG ,从而可得/ AFC= / AGE。又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ , / AOP= / AOQ ,从而可得 AP=AQ 。4 .过E,C,F点分别

23、作AB所在直线的高EG CI, FH可得PQ=EG + FH 2由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFHA CBI ,可得 FH=BI。-八 AI + BI AB从而可得 PQ= , 从而得证。22经典难题（三）1 .顺时针旋转 4ADE ,到 ABG ,连接CG 由于 / ABG= / ADE=90 0+450=1350从而可得 B, G, D在一条直线上，可得 AGB ACGBo 推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC为等边三角形。ZAGB=30 0,既得/ EAC=30°,从而可得/ A EC=750。又/ EFC= / DFA=45 0+300=750.可证

24、：CE=CF。2 .连接BD作CHL DE,可得四边形 CGDH是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=300,所以/ CAE= Z CEA= ZAED=15 0,又/ FAE=900+45°+15°=1500,从而可知道/ F=150,从而得出AE=AF。AD3 .作FGL CD F已BE,可以得出GFEC为正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。tan / BAP=tan / EPF=，可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出ABPPEF ,得到PA=PF ,得证。经典难题（四）2.顺时针旋转 MBP 600 ,连接PQ ,则 PBQ是正三角形。可得APQC是直角三角形。所以/ APB=150 0。2 .作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE/ DC BE/ PC.可以得出/ ABP= / ADP= / AEP,可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得/ BAP= / BEP= / BCP