人教版河南省2019年中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

1、1专题八二次函数综合题类型一新定义问题例1§(2017 河南)如图，直线y=2x+c与x轴交于点A(3, 0),与y轴交于点B,抛物线y=-4x2+bx 33+ c经过点A, B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m, 0)为x轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线 AB及抛物线分别交于点 P, N.点M在线段OA上运动，若以B, P, N为顶点的三角形与 APM相似，求点 M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点 M P, N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M,巳N三点为“共谐点”.请直接写出使得M巳N三点成为“共谐点”的m的值.例1题图用

2、图【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,则可求得B点坐标，由点A, B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由M点坐标可表示点 P, N的坐标，从而可表示出 MA MP PN PB的长，分/ NBP= 90°和/ BNP= 90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得 m的值；用m可表示出点 M P, N的坐标，由题意可知有 P为线段MN勺中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的 中点，可分别得到关于 m的方程，即可求得 m的值.【自主解答】解：(1) ./= 2x+c过点A(3, 0),与y轴交于点B, 3，0=2+c,解得 c=

3、2, .B(0, 2). 抛物线 y= 4x2+bx + c 经过点 A, B,3-12+3b+c = 0,c= 2,£=竺，解得:3'lc=2,抛物线的解析式为 y=-4x2+ 10x + 2.33(2)由(1)可知直线的解析式为 y = -2x+2,32M(m 0)为x轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线 AB及抛物线分别父于点 巳N. P(m, -m+32) , N(m, n2+m+ 2) , . PM= 1m+ 2, AM= 3 m PN= ：R+m+ 2 ( 1m+ 2)= 4m 3333333. BPN和APM相彳以，且/ BPN= /APM ./BNR=

4、 /AMP90° 或/ NBP= /AMP90°当/BNR=90° 时，则有 BNLMN.N点的纵坐标为2,. 一4后+10m|+ 2 = 2,解得 m= 0(舍去)或“2.5 , .M(2.5, 0);当/NBR= 90°时，过点 N作Ndy轴于点C,例1题解图则/NBCF/BNG= 90° , NO m BC= 4吊 + 竺m+ 22= 4n2 + 10m 3333/NBP= 90° , ./ NBCF Z ABO 90 ./ABO= / BNCRtANCB- RtABOANCBOF OAm2：4 2103m+411m= 0(舍去

5、)或m= 丁.811- M(, 0);8综上可知，当以 B, P,11N为顶点的二角形与 APM相似时，点M的坐标为(2.5 , 0)或(二，0)；8由可知 Mg 0), P(m, gm1+ 2), N(m, - 4mf+130n 2),M P, N三点为“共谐点”，当P为线段MN的中点时，则有 2( -mvl- 2) = m+ -mi-1- 2,解得mi= 3(二点重合，舍去)或m=己； 3332当M为线段PN的中点时，则有一 2m+ 2+(4n2+10m+ 2)=0,解得m= 3(舍去)或m= 1; 333当N为线段PM的中点时，则有一 2m+ 2=2(4m2+黑m+ 2),解得m= 3(

6、舍去)或m= -1. 33341 ,1综上可知，当 M, P, N二点成为 共谐点 时，m的值为2或一1或一7针对训练01. (2015 河南)如图，边长为8的正方形OABC勺两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点 A,点P是抛物线上点A, C间的一个动点(含端点)，过点P作PH BC于点F,点D, E的坐标分别为(0, 6), ( 4,0),连接 PD, PE, DE.(1)请直接写出抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P,PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论：

7、若将“使PDE勺面积为整数”的点 P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使4PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出 PDE 周长最小时“好点”的坐标.yI EQ 1第1题图备用图22. (2018 崇仁一中二模)如图，若抛物线 Li的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线Li上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线Li, L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条.(1)抛物线Li： y = x2+4x3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4,求抛物线L2的表达式；(2)若抛物线y = ai(x

8、m)2+n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y = a2(x - h) 2+ k,请写出ai与a2的关系式，并说明理由；(3)在图中，已知抛物线 Li： y=m)c-2mx- 3m(m>0)与y轴相交于点C,它的一条“伴随抛物线”为L2,抛物线L2与y轴相交于点D.若CD= 4m,求抛物线L2的对称轴.3. (2018 郑州模拟)如图，已知点 C(0, 3),抛物线的顶点为 A(2, 0),与y轴交于点B(0, 1),点P是抛 物线上的一个动点，过点 P作PMLx轴于点M.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1,连接PF,PCCF,求证：对于任意点P,PF与

9、PM的差为常数.记(2)中的常数为a,若将“使 PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使 PCF 的周长最小的点 P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出 PCF 的周长最小时“巧 点”的坐标.4. (2017-焦作一模)如图，直线y，x+m与x轴、y轴分别交于点 A和点B(0 , 1),抛物线y = gx2 + bx + c经过点B,点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图，点D在抛物线上，DE/y轴交直线AB于点E,且四边形DFE助矩形，设点 D的横坐标为x(0 <x<4),矩形DFEG勺周长为l ,求l与x的函数关系式

10、以及l的最大值；将4AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到AQB,点A,Q B的对应点分别是点A, O,B.若 A QB的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转1800时点A1的横坐标.图图类型二线段、角度数量关系探究司n (2016 河南)如图，直线 y= ：x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0, 4),抛物线y = ；x2+bx+c 33经过点A,交y轴于点B(0, 2).点P为抛物线上一个动点，过点 P作x轴的垂线PD,过点B作BDLPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)当4

11、BDP为等腰直角三角形时，求线段 PD的长； 如图，将 BDP绕点B逆时针旋转，得到 BD P',且旋转角/ PBP = /OAC当点P的对应点P'落在坐标轴上时，t#直接写出点P的坐标.图图例2题图备用图【分析】先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由4BDP为等腰直角三角形，判断出BD= PD,建立m的方程计算出 m从而求出PD;分点P'落在x轴和y轴两种情况计算即可.当点 P'落在x轴上时，过点D'彳D' Nl±x轴，垂足为N, 交BD于点M,先利用互余和旋转角相等得出/ DBD = /ND P' =

12、 / PBP ,进而表示出ND的长度，通过构造方程求解；的思路同.【自主解答】解：(1) .点 C(0, 4)在直线 y = -4x+n±,3 n= 4,y= - -x+ 4.34当 y=0 时，0= ,x+4, 3解得 x=3, . A(3, 0).2 2,抛物线y=.x+bx+c经过点A,父y轴于点B(0 , 2), 36+3b+ c=0,F=_ 2,b=-4，解得 3c=- 2,抛物线的解析式为y=2x2-4x- 2.33(2)点p为抛物线上一个动点，且横坐标为m P(m, 2m24m- 2), D(m, 2), 33.BD= |m| ,PD= |2m2-4m- 2 + 2|

13、=|mf-4m|. 3333BDP为等腰直角三角形，且 PDL BD .BD= PD.当点P在直线BD上方时，PD= |m2-m. 33(i)若点P在y轴左侧，则 m<0, BD= - m.1.编一gm= mx331人，解得1 = 0(舍去)，m>=2(舍去).(ii) 若点P在y轴右侧，则 m>0, BD= m. 2二 4 一 .3m 3m= m,解得3= 0(舍去)，mt=7.2 2 4当点P在直线BD下万时，m>0, BD= m, PD= 3m +3m.2 2 41.3m + 3m= m,解得 5= 0(舍去)，ms=2.八，一7,1,一一 一，,7,1综上所述，

14、m= 2或2.即当 BDP为等腰直角三角形时，PD的长为2或7 (3)P1(一乖，4*+4), P2(/5, -4V5 + 4), P3(25, 11).338 32提示：. / PBP = / OAC OA= 3, OG= 4, ，AC= 5,.sin / PBP = 4, cos/PBP = 3. 55当点P'落在x轴上时，过点D'作D' Nl±x轴，垂足为点 N,交 BD于点 M /DBD = /ND P/PBP .如解图,例2题解图. ND MD = 2,口82 24、，4、八即式m m) 一 ( cm)= 2 ； 5 335mF邓（舍去）或m 一乖;

15、如解图,例2题解图一 一. 3 2 2 4. ND + MD = 2,即 5( 3m3m)+4 一5" 2,miF5或 miF 乖(舍去), P(-南，4次+ 4P(木,3)当点P'落在y轴上时，如解图，过点D'彳D'Mix轴，交BD点M,过点P'彳P'Nl±y轴，交MD的延长线于点N,例2题解图DBD = /ND P' = / PBP. , P' N= BM4 2 2 43即 5( 3m 3m) = gm,25 .一 25 11 F百，-p(5 32)-针对训练.一 2 31 . (2014 河南)如图，抛物线 y=

16、x+bx+c与x轴交于点 A(-1, 0), B(5 , 0)两点，直线 y=-4x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点 P作PFx轴于点F,交直线CD 于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE= 5EF,求m的值；(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点 巳使点E'落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2. (2018-洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx 2(a W0)与x轴交于A(1 , 0),B(3, 0)两点，与y轴交于点C,其顶点为点D,

17、点E的坐标为(0, 1),该抛物线与 BE交于另一点F,连接BC.(1)求该抛物线的解析式;(2) 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与 y轴平行的方向向上运动，连接 OM BM设运动时间为t秒(t >0),在点M的运动过程中，当t为何值时，/ OMB90° ?(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P,使彳导/ PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.21、3 . (2018 新野一模)已知抛物线y= ax+bx + 2经过A(1, 0), B(2 , 0), C二点.直线y= m杆万交抛物线于A, Q两点，点P是抛物线上直线 AQ上方的一

18、个动点，作 PF，x轴，垂足为F,交AQ于点N.(1)求抛物线的解析式;(2)如图，当点P运动到什么位置时，线段 PN= 2NF,求出此时点P的坐标;(3)如图，线段 AC的垂直平分线交 x轴于点E,垂足为D,点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G,使CMG勺周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.图E图4 .如图，抛物线 y=ax2+bx + 3(a W0)与x轴交于点 A(-1, 0), B(3 , 0),与y轴交于点C,连接BC.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点 M使彳MBC的面积与 OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说

19、明理由；(3)点D(2, m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点巳满足/ PBC/DBC如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.类型三特殊图形判定问题例3 (2018 河南)如图，抛物线y = ax2+6x +c交x轴于A, B两点，交y轴于点C,直线y = x5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线 BC于点M.当AML BC时，过抛物线上一动点 P(不与点B, C重合)，作直线AM勺平行线交直线 BC于点Q.若以点A MP, Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于/ ACB的

20、2倍时，请直接写出点 M的坐标.例3题图备用图【分析】(1)利用一次函数解析式确定 C(0, 5), B(5, 0),然后利用待定系数法求抛物线的解析式；2(2)先解万程x + 6x5=0得A(1 , 0),再判断 OCB为等腰直角二角形得到/ OBC= Z OCB= 45 ,则 AMB为等腰直角三角形，所以AM= 2啦，接着根据平行四边形的性质得到PQ= AM= 272, PQLBC作PDLx轴交直线BC于D,如解图，利用/ PDQ= 45°得到PA/2PQ= 4.设P(m,m2+6m 5),则Dgm 5),讨论：当 P点在直线 BC上方时，PD= - n2+6m- 5-(m- 5

21、)=4;当P点在直线 BC下方日PD- m- 5-(-n2 + 6m- 5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;作ANLBC于N, NHLx轴于H,彳AC的垂直平分线交 BC于M,交AC于E,如解图，利用等腰三角形的1性质和二角形外角性质得到/AMB=2/ACB再确定 N(3, 2), AC的解析式为y = 5x-5, E点坐标为(2,5 2),利用两直线垂直的问题可设直线一1,15EM的解析式为y= gx+b,把E(2, 2)代入求出b得到直线EM,1的解析式为y = - 5xy = x _ 5,12、 I,则解万程组彳 112y= _ 5x 5，得M点的坐标；在直线BC上作点M关于N点的

22、对称点M,如解图，利用对称性得到/ AM 2C= /AMB= 2/ACB设 M(x , x-5),根据中点坐标公式得到3 =13式+ x62,然后求出x即可得到点 M的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标.【自主解答】解：(1)当 x=0 时，y = x5=5;当y=x5=0时，x=5，B(5, 0) , C(0, 5).将B, C两点的坐标代入 y= ax2+ 6x+ c中，得25a+ 30+ c,解得中 1，c= 5,|c=- 5,，抛物线的解析式为 y = x2+ 6x 5.(2)解方程一x2 + 6x 5= 0得 xi= 1, x2= 5,则 A(1, 0),. B(5, 0) , C(

23、0, - 5),OCB为等腰直角三角形，/OBC= /OCB= 45° .AML BCAMB为等腰直角三角形, .AM=AM/ PQ以点A, M, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, .PQ= AM= 2但 PQL BC作PDLx轴交直线BC于D,如解图，则/ PDQ= 45° , .PA 啦PQ= 4,设 P(m, m2+6m- 5),则 D(m, m- 5).当P点在直线BC上方时，22PD= m + 6m 5 (m 5) = m + 5m= 4,解得 m=1, n2= 4.当P点在直线BC下方时;PD= m 5 ( m2 + 6m- 5) = m25m= 4, 解得

24、 m = 2, m2= -2 综上所述， P点的横坐标为 4或5+2或$ 2.作ANL BC于N, NHLx轴于H,彳AC的垂直平分线交 BC于M,交AC于E,如解图.M1A= MC, ，/ACM=/CAM, ./AM B= 2/ACB. ANB为等腰直角三角形,，A+ bh= N+ 2, N(3, 2),一一 一.一,.,15易得AC的解析式为y=5x5, E点坐标为（/，2）,设直线EM的解析式为y = - -x + b, 51 5. 一 15 . 一 12把E（5，5）代入，得布+b=5，斛得b= -M， 22102513_15 3s/y = x-5'J'十m 1317.

25、 .直线EM的斛析式为y = - 5x 12,斛方程组1112 得, 17 ,则M（6，-5|y6作直线BC上作点M关于N点的对称点M,如解图，则/ AM2C= 2/ACB设 M(x , x-5),13石十x3=丁，23,x=-6''- 237、"，6)图例3题解图针对训练41. （2013 河南）如图，抛物线y=x2 +一 1bx+c与直线y = 2x + 2交于C, D两点，其中点 C在y轴上，点 D的坐标为(3, 7),点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点 P作PUx轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以O,

26、C,巳F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由;若存在点巳使Z PCF= 45° ,请直接写出相应的点P的坐标.第1题图y备用图y轴于的内部求2. (2017 河南名校模拟)如图，二次函数y = x2+bx+c的图象经过A(1, 0)和B(3 , 0)两点，且交点C, M为抛物线的顶点.(1)求这个二次函数的表达式;(2)若将该二次函数图象向上平移m(m> 0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在BOC (不包含边界)，求m的取值范围;(3)点P是抛物线上一动点，PQ/ BC交x轴于点Q,当以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形时,点P的坐标.a jF,交直

27、线CD于点E,设点P的横坐标为m.其顶点为(1 , 4),P点作PF，x轴于点3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx + c与x轴交于A(1, 0)、B两点,直线y=x 2与x轴交于点D,与y轴交于点C,点P是x轴下方的抛物线上一动点，过求抛物线的解析式;(2)若PE= 3EF,求m的值;连接PC,是否存在点巳使4PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在,请说明理由.参考答案类型一针对训练1 .解：(1)二边长为8的正方形OABC勺两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A, .C(0, 8), A(-8, 0),设抛物线的解析式为：y = ax2

28、+c,则尸解得：卜8, |64a+c=0,故抛物线的解析式为：y = -1x2+8. 8(2)正确，理由：设 P(a, 1a2+8),则 F(a, 8), 8. D(0, 6),1- PD= a2+ (8a22) 2 =勺(8a2+2) 2 =8a2+ 2.1 2 c、 1 2PF= 8( - -a +8) = -a , 88 .PD- PF=2;(3)在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时， PDE的周长最小, . PD- PF=2,PD= PF+ 2,.PE+ PD= PE+ PF+ 2,第1题解图，如解图，当 P、E、F三点共线时，PE+ PF最小，此时点P, E的横坐标都为

29、一4,将 x = 4 代入 y=x2+ 8,得 y = 6, 8 .P(-4, 6),此时 PDE的周长最小，且 PDE的面积为12,点P恰为“好点,.PDE的周长最小时“好点”的坐标为(一4, 6)由(2)得：P(a, -1a2+8),8 点D E的坐标分别为(0, 6), (4, 0),第1题解图如解图，当一4<a<。时,Sapdee= Sa peo+ Sapoid Sa doe=2*4x( 一 8a + 8) +X6X( 一 a) 一5X4x61 212=-a -3a+4=-(a + b) +13, 44 4V Spde 12.当 a=0 时)Sapde= 4;第1题解图如解

30、图，过点 P作PNLx轴于点N, 当一8vav 4 时)= (-1a2 + 8 + 6)x(-a)x 8Sapde= S 梯形 PNOD SPNE SaDOE11 ,.、 ，1 2 11 2 八.1,、2 一5一 2* 4X 6 ( a 4)x( - 8a +8)x =- 4a - 3a+ 4= 4(a + b) +13, 12V SapdeW 13;当 a= 8 时，Sapde= 12, .PDE的面积可以等于 4到13的所有整数，在面积为12时，a的值有两个，面积为整数时好点有 11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，“好点”共有 11个.综上所述，共有11个，“好点”，P(-4,

31、 6).2.解：(1)由y= x2+4x3可得点A的坐标为(2, 1),将 x=4 代入 y= x2+4x 3,得 y= 3,.B点的坐标为(4 , - 3),设抛物线L2的解析式为y=a(x 4)23.将 A(2, 1)代入，得 1 = a(24)23,解得 a= 1,抛物线L2的表达式为y=(x4)23;(2)a 1 = a2,理由如下：,抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上， .、 2 .n= a2 (mi h) + k, .可列方程组=ai (h52+n, 整理，得(a i+a2)(m h) 2= 0.“伴随抛物线”的顶点不重合， mm h, . a i

32、= a2.(3)抛物线Li： y=mX22mx 3m的顶点坐标为(1, 4m),设抛物线 L2的顶点的横坐标为 h,则其纵坐标为,2mh 2mh- 3m,22抛物线 L2 的表达式为 y= m(x h) +mh 2mh- 3mi,化简，得 y=mX+2mhx 2mh- 3m,.点 D的坐标为(0, 2mh- 3m),又点C的坐标为(0 , 3m),|( - 2mh 3m)( 3m)| = 4ml,解得 h=±2,抛物线L2的对称轴为直线x=±2.3. (1)解：设抛物线的解析式为y = a(x2)2.1将点B的坐标代入得 4a=1,解得a =4.，抛物线的解析式为 y =

33、-(x 2)2, IP y = -x2 x+ 1. 4412(2)证明：设点P的坐标为(m, (m 2),1 PMk 4(m-2)2, M(m 0).依据两点间的距离公式可知PF=y (m- 2) 2+ ' (m-2) 2-1 2=q (m- 2) 2 + 看(m- 2) 4 2(m- 2) 2+1 =器(m- 2) 4+； ( m- 2) 2+1 = -< ( m- 2) 2+12 ="(m 2)2+ 1,4'''2 .PF- PM= 1.，对于任意点 P, PF与PM的差为常数.(3)解：设直线CF的解析式为y=kx+3,将点F的坐标代入，得

34、 2k+3=1,解得k=1,直线CF的解析式为y=-x+3.由两点间的距离公式可知CF= 2 2. a= 1, .-2a= 2.1. 一设在4PCF中，边CF的上的局线长为x,则2*2&=2,解得x=p如解图，过点 C作CGL CF,取CG= p.则点G的坐标为（ 1, 2）.fyO 、第3题解图过点G作GH/ FG设直线 GH的解析式为y=-x+b,将点G的坐标代入，得1 + b=2,解得b=1, 直线GH的解析式为y=-x+1,令一x+1 =；（x 2）2,解得 x=0, .PCF的一个巧点的坐标为（0, 1）.显然，直线 GH CF的另一侧时，直线 GHI抛物线有两个交点.F,

35、C为定点，二.CF的长度不变， 当Pa PF最小时，4PCF的周长最小. . PF- PMk 1, .PO PF= PC+ P 1 , 当C P、M在一条直线上时， PCF的周长最小.，此时 P（0, 1）.综上所述， PCF的巧点有3个，4PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0, 1）.3 一，.4 .解：（1） ,直线 l : y = x+m经过点 B（0 , 1）,m= 1,，直线l的解析式为y=?x1.4;直线l : y = 1x 1经过点C,且点C的横坐标为4,43 ,一.y= -X 4- 1 = 2.41 2，解得b5、c = 一 1.抛物线 y=2x+bx+c 经过点 C(4,

36、 2)和点 B(0, 1),1X42+4b+c= 22c= 11 9 5T；.抛物线的解析式为y=2x2-4x(2)令 y=0,则 3x1 = 0,解得 x = 4, 43.点A的坐标为(4, 0), 3-4OA=5.3在 RtOAB中，OB= 1 ,.AB= oA+oB=(3 2+12=3.DE/y 轴, ./ABO= /DEFOB 3_ 在矩形 DFEG, EF= DEcos/DE巳 DE-丽=5DE DF= DE- sin / DEF= DE.OA 4AB= 5DE,14. . l = 2(DF+ EF) = 2( -+ -)DE= DE.5 55点D的横坐标为t(0 D(t , 11t

37、2-5t-1),E(t , |t-1), DE=(4t-1)-(2t T) =- 2+ 2t ,.14 .1 2 7 2 28 .l=WX ( 一t +2t) =- 5t +3,当t =2时，1有最大值g.(3) “落点”的个数为 4,如解图，解图解图，解图所示.图图图t3'图第4题解图4如解图，设点 Ai的横坐标为m,则点。的横坐标为mi+-, 3-m2 -mi- 1 = -(m+ 斗2 -(m+-) 1,242343'-7解得m=,4如解图，设点 Ai的横坐标为m,则点B的横坐标为mT+-, Bi的纵坐标比点 Ai的纵坐标大1, 3. 1 2 5.1, . 4、2 5. 4

38、4. .m 4ml- 1 + 1 = 2(m+3) -4(m + 3) -1,斛得 nm= 3,，旋转180°时点A的横坐标为或1.12 3类型二针对训练得:1.解：(1)将点A, B的坐标代入抛物线解析式,1-b+c=0,-25+5b+c = 0,解得b=4,c= 5,抛物线的解析式为 y= x2+ 4x + 5,(2)二点P的横坐标为mx0)， . P(m, mi+4mi+ 5) , E(m, 4mi+ 3), F(m,23 、，2. 19 . PE= |y p yE| = |( m + 4mi+ 5) ( 4m 3)| = |m + -mi+ 2 ,_33EF=lyE-件1=1

39、(-九3)-。1 = 1 -产3|,2 19315由题思，得 PE= 5EF,即 | m + -mi+ 2| = 5| - 4mi+ 3| = | mi+ 15|.,2 1915-2右一m + Tnn+ 2 = - -mi+ 15,整理，得 2m17nn+ 26=0,. 一 .13解得nn= 2或nn=彳;219c ,15m + mi+ 2 = 一 ( "4m+ 15),整理，得 m2mi- 17=0,解得m=上普或m=上269 131- 69由题意，得m的取值范围为-1vm<5,故m=万，m= 一尸这两个解不符合题意,- mi= 2 或 mi=(3)假设存在.作出示意图如解图

40、：点 E、E'关于直线PC对称， / 1 = /2, CE= CE , PE= PE .PE平行于 y 轴，1 = /3,.Z2=Z3, .1. PE= CE, .PE= CE= PE' =CE ,即四边形 PECE是菱形.当四边形PECE是菱形存在时，3由直线CD的解析式y=-x+3,可得OD= 4, OC= 3,由勾股定理，得 CD= 5,过点E作EM/F/x轴，交y轴于点M,易彳# CEIVh ACD(O.ME CE |m|OdTCD 即彳CE5y,斛仔 CE= 4|m| ,一 5 一 一 219.PE= CE= 4|m| ,又由(2)可知：PE= | m + m+ 2|

41、 ,2 , 19 ,5, -I - m + mi+ 2| =4|m|.若一m2+Mm+ 2 = 4mi 整理，得 2m27m-4=0,解得 mi= 4 或 m=若一m2+Mm+ 2= 4m,整理，得 m2 6m 2=0,解得 田=3+币1, m2=3一51.由题意，得 m的取值范围为1vm<5,故m= 3 + /这个解舍去，当四边形PECE是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0, E, C, E'三点重合于y轴上，也符合题意，.P(0, 5).1 11综上所述，存在满足条件的点P,可求得点P的坐标为(0, 5)或(2或1)或(4, 5)或(35，2>/ii-3).第1题

42、解图2.解：二.抛物线 y=ax2+bx 2(a W0)与 x 轴交于 A(1 , 0), B(3 , 0)两点,2a+b-2=0,”一3,i解得,8 b =b 3'9a+ 3b2 = 0,，抛物线的解析式为y=-|x2+8x-2；33(2)如解图，由(1)知 y=2x2+8x 2 = 2(x 2)2 + ：; 3333,.,D为抛物线的顶点, .D(2, 3).3 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行与 y轴平行的方向向上运动,“2 设 M(2, m)(m>-),3 .OM=n2 + 4, BM2=n2+1, OB= 9. . ZOMB900 , .OM+ bM= o

43、B,.1)12+4 + 吊+ 1= 9, 解得m=近或 m=心(舍去)， .M(2,啦)，.MD=3.图图第2题解图 存在点P,使彳导/ PBF被BA平分，如解图，/ PBOZ E BQ EQ, 1),，在y轴上取一点 N(0, 1). B(3, 0),1_，直线BN的解析式为y=-x+1(D.3点P在抛物线y=-2x1y=o + 8x 2上,33联立，得1 1 一y =于 + 1,2 2 8 门I y=- ox +?2,3 3x = 3或 ,ly = 03 ，P(2,12)-3 x = 23.解：(1) .抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A(-1, 0), B(2 , 0),，将点A和点

44、B的坐标代入，得fa- b+2=0, /口 a=- 1,解得4a+2b+2=0,b=1,，抛物线的解析式为y=-x2+x+2.1、(2)直线y = mx+ 2交抛物线与A,1Q两点，把A(1, 0)代入解析式，得 m= 2,11，直线AQ的解析式为y = 2x + 2.设点P的横坐标为n,则P(n,27-11n +n+2) , N(n, 2n+2)， F(n , 0),2. J 12 1311 . PNh n + n+2 (2n + 2) = n+2n+2, NF= 2n + -.2 13111. PNh 2NF, . 一 n + 2n + 2 = 2X ( 2n+2),解得 n=1 或2.1

45、解得3 lb=2当n=- 1时，点P与点A重合，不符合题意舍去.一 _，1 9. 点p的坐标为(2，4).(3) - y=- x?+x+2, =一 (x、/+彳, 1 m(2，4) .如解图所示，连接 AM交直线DE与岚G连接CG CMlt匕时，4CMG的周长最小.第3题解图1 9设直线AM的函数解析式为 y=kx + b,且过A(1, 0), M£, 4), c3k+b=0,k = 2，33 直线am的函数解析式为y = 2x+3. D为AC的中点，1 D(-2, 1).设直线AC的解析式为y = kx + 2,将点A的坐标代入，得一 k+2=0,解得k=2, 直线AC的解析式为y

46、 = 2x+2. 1 1. 一 3设直线DE的解析式为y= 2x+c,将点D的坐标代入，得+ c= 1,解得c = ,13直线DE的解析式为y=-2x+4.将 y= ；x+3与 y=3x+3联立，解得 x = -3, y=15, 2422816 在直线 DE上存在一点 G 使4CMG勺周长最小，此时 G(-|, 15).8 164.解：(1) .抛物线 y=ax2+bx + 3(a W0)与 x 轴交于点 A( 1, 0), B(3, 0),a b + 3 = 0,9a+3b+3 = 0,a= - 1, b=2,，抛物线的表达式为y= x+2x + 3;(2)存在.,抛物线的表达式为y= x2

47、+2x + 3, 点C的坐标为(0 , 3), C(0, 3), B(3, 0), ,直线BC的解析式为y=-x+3,过点O与BC平行的直线y = - x,与抛物线的交点即为M解方程组X；, C . C |y= - x + 2x+ 3,3+ 21 x=2-,2可得y =y =3 十年(y ,i),M(孑第4题解图存在.如解图，设BP交y轴于点G. 点D(2, m)在第一象限的抛物线上，.当 x=2 时，m= - 22+2X2+ 3= 3, 点D的坐标为(2 , 3),把 x=0 代入 y= x2+ 2x + 3,得 y = 3, 点C的坐标为(0 , 3), .CD/x 轴，CD= 2, 点

48、B(3, 0), .OB= OC= 3, /OB及 /OCB= 45/ DCB= / OB及 / OCB= 45又./PBG= /DBC BC= BC, .CGB2 CDB(ASA) .CG= CD= 2.OG= OC- CG= 1,点G的坐标为(0 , 1),设直线BP的解析式为y = kx+1,将 B(3 , 0)代入，得 3k+ 1 = 0,解得k=一：,3直线BP的解析式为y=-1x+1,3令-1x+ 1 = - x2+2x + 3, 3一 2 一斛得 X1= X2= 3,3点P是抛物线对称轴 x=?= 1左侧的一点，即XV 1,2a2x=- 32 .把x=- 3代入抛物线 y=- x

49、 + 2x+ 3中，-11解得y=-9"， 9 2 11 一一，当点P的坐标为(3, §)时，满足/ PBO /DBC.类型三针对训练11 .解：(1)在直线解析式y=x+2中，令x=0,得y=2,0(0, 2).点 0(0, 2), D(3, 7)在抛物线 y= x2+bx + c 上，c= 2,79 + 3b + c = 2?b=7解得b 2,C=2,，抛物线的解析式为 y=-x2+7x+2.图图第1题解图(2) PF/ OC且以 O, C, P, F为顶点的四边形是平行四边形，PF= OC= 2,1 一，、，将直线y=2x + 2沿y轴上、下平移2个单位之后得到的直线

50、，与抛物线y轴右侧的交点即为所求,由解图可以直观地看出，这样的交点有3个，一八、11将直线y=2x + 2沿y轴向上平移 2个单位，得到直线 y = 2x+4,1 一y = 2x + 4，联立解得x1=1, x2=2;I y = -x2+-x+2,211将直线y=2x + 2沿y轴向下平行移2个单位，得到直线 y = 2x,1y = 2x,联立y = - x2+ -x+ 2, 2-3+173-17 一 人,解得x3=一2, x4=-2(不舍题意，舍去)，当m的值为1或2或3十弁时,以O, C, P, F为顶点的四边形是平行四边形.存在.2 7_1理由：设点 P的横坐标为 m 则P(m, - m + 2m+ 2) , F(m, -m 2)如解图所示，过点