专题2.3函数的奇偶性与周期性高考数学一轮复习提分专题Word版学生用

1、第二篇函数及其性质专题2.03函数的奇偶性与周期性【考试要求】1 .结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2 .结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义【知识梳理】1 .函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=- f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2 .函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)= f(x),那么就称函数y=f(x)为周

2、期函数，称 T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1 .(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0) = 0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) = f(|x|).2 .奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3 .函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：若 f(x+ a)=- f(x),则 T=2a(a>0).1(2)若 f(x+ a)=r7"-,则 T = 2a(a

3、>0).f (X)1(3)若 f(x+ a)= , / 、，则 T=2a(a>0).f (x)4 .对称性的三个常用结论(1)若函数y= f(x+a)是偶函数，则函数 y= f(x)的图象关于直线 x= a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a x) = f(x)或f( x) = f(2a + x),则y= f(x)的图象关于直线 x=a对称.若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点(b, 0)中心对称.【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打“或"x”)(1)函数y=x2在xC(0, + 8肘是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有

4、 f(0)=0.()若T是函数的一个周期，则 nT(nCZ, nw0)l是函数的周期.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数 y=f(x)的图象关于点(b, 0)中心对称.()【教材衍化】2 .(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是 ()A. y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2 x3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在 R上的周期为2的函数，当xC 1, 1)时，f(x)=【真题体验】4.(2019济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0, +8比单调递增的是()A. y=x3B.y=x4C.y= |x|D.y=|tan x|5.

5、(2017全国n卷)已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 xC( 8, 0)时，f(x) = 2x3+x2,则f(2)=6.(2019上海崇明区二模)设川是定义在R上以2为周期的偶函数，当 xC 0, 1时，f(x) = log2(x+ 1),则当xC1, 2时，f(x) =.【考点聚焦】 考点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=叱3 x2 + 423;(2)f(x) =lg (1 x2)|x- 2|2(3)f(x) =x2+x, x<0,-x2+x, x>0.【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数

6、具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (f(x)+f(x)= 0(奇函数)或f(x) f(x)= 0(偶函数)是否成立.【训练1】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A. y=x+sin 2xB.y=x2cos x1C.y= 2x+ 2D.y= x2+ sin xxx(2)已知f(x) = 2=，g(x) = 2,则下列结论正确的是 ()A.f(x) + g(x)是偶函数B.f(x) +g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是奇函数D.f(x)g(x)是偶函数考点二

7、函数的周期性及其应用【例2】(1)( 一题多解)(2018全国n卷)已知f(x)是定义域为(8, + 8的奇函数，满足 f(1x) = f(1 + x).若 f(1)=2,则 f(1) + f(2) + f(3)+ +f(50) = ()A.50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为 2的周期函数，且当0a<2时，f(x) = x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0, 6上与x轴的交点个数为 .【规律方法】1 .根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转 化到已知区间.2 .若f(x+a)=f(x)(a是常数，且aw0

8、)则2a为函数f(x)的一个周期.第题法二是利用周期性构造一个特 殊函数，优化了解题过程9【训练2】(1)(2019南充二模)设网是周期为4的奇函数，当0+1时，f(x) = x(1 + x),则f 9 =(1B.-41 C.43D.4(2)(2017山东卷)已知f(x)是定义在 R上的偶函数，且f(x+ 4)=f(x 2).若当xC 3, 0时，f(x) = 6 x, f(919) =考点三函数性质的综合运用角度1函数单调性与奇偶性【例31】 (2019石家庄模拟)设f(x)是定义在 2b, 3+ b上的偶函数，且在 2b, 0上为增函数，则f(x1)率3)的解集为()A. -3, 3B.-

9、2, 4C.-1, 5D.0 , 6【规律方法】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2 .本题充分利用偶函数的性质f(x) = f(|x|),避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度2函数的奇偶性与周期性【例32】(1)(2019山东省实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+ 5) = f(x),且当xC 0, |时，f(x)=x3-3x,则 f(2 018)=()A.2B.18C.18D. 2兀(2)(2019 洛阳卞拟)已知函数 y=f(x)满足 y= f( x)和 y= f(x+2)是偶函数，且 f(1) =,设 F(x)

10、 = f(x) + f(x),3则 F(3)=()A. 3B.§C.兀D.93 33【规律方法】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解【训练3】(1)(2019重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线 x= 3对称，当x0, 3时，f(x) = -x, 则 f(-16)=.1(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0, + 8止是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)+fln

11、 - <f(1),那么t的取值范围是 .【反思与感悟】.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性1 .判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称的一个必要条件.2 .利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3 .在解决具体问题时，要注意结论若T是函数的周期，则 kT(kC Z且kw她是函数的周期”的应用.【易错防范】1 .f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件 .2 .函数f(x)满足的关系f(a + x) = f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f

12、(a+x) = f(b +x)(a而)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆【核心素养提升】【数学运算】一一活用函数性质中三个二级”结论类型1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间 D上的奇函数，则对任意的xC D,者B有f(x) + f( x)= 0特别地，若奇函数f(x)在 D 上有最值，则 f(x)max+f(x)min=0,且若 0CD,则 f(0) = 0. _ (x+ 1) 2 + sin x .一 . 一 .例1 设函数f(x) =的取大值为 M,取小值为 m,则M + m=.类型2抽象函数的周期性(1)如果f(x+ a) = f(x)(aw0)那么f(x)是周期

13、函数，其中一个周期T=2a.,-1(2)如果f(x+ a)=f-x(awQ)那么f(x)是周期函数，其中的一个周期 T=2a.如果f(x+ a) + f(x)=c(aw0)那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T = 2a.【例2】 已知函数f(x)为定义在 R上的奇函数，当 x>0时，有f(x+ 3) = f(x),且当xC(0, 3)时，f(x)=x+ 1,则 f(2 017) +f(2 018)=()A.3B.2C.1D.0类型3抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.a -I- b 4一一 一，一，、(1)若f(a + x) = f(bx)恒成立，则 y=f(x)的图

14、象关于直线x=一对称，特力U地，右f(a+x) = f(ax)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x= a对称.(2)若函数 y=f(x)满足 f(a + x) + f(a x)=0,即 f(x) = f(2a x),则 f(x)的图象关于点(a, 0)对称.【例3】(2019日照调研)函数y=f(x)对任意xC R都有f(x+2)= f( x)成立，且函数y= f(x1)的图象关于点(1, 0)对称,f(1) = 4,则 f(2 016) + f(2 017) + f(2 018)的值为.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019玉溪*II拟)下列函数中，既是

15、偶函数，又在(0, 1)上单调递增的函数是()3A. y=|log3x|B.y= xC.y=exID.y=cos xi上的奇函数，且f(x)=2.( 一题多解)(2019河北五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R则 g(-8)=(log3 (x+ 1) , x>Q g (x) , x<0,A. -2B.-3C.2D.33.已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x),当 xC(2, 0)时,f(x) = 2x2,则f(2 019)等于()A. 2B.2C.-98D.984.(一题多解)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x) = xf(x)

16、.若a=g(log25.1), b = g(20.8), c=g(3),则a, b, c的大小关系为()A. a<b<cC.b<a<cB.c<b<aD. b<c<a5.(2019山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在 R上的函数f(x)在1, +8正单调递减，且f(x+ 1)是偶函数，不等式f(m+ 2)前x 1)对任意的xC -1, 0恒成立，则实数 m的取值范围是()A. -3, 1C.( 8, - 3 U 1 , +8)B.-4, 2D.( 一 00, 一 4 U 2 , + °0)二、填空题6 .若函数f(x) = xln(x+

17、 &+ x2)为偶函数，则a =57 .若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x) = 4x,则f 2 +f(2) =18 .设函数f(x) = ln(1 + |x|)- -2，则使得f(x)>f(2x 1)成乂的x的取值氾围是 , 1十x三、解答题x2 + 2x, x>0,9.已知函数f(x)= 0, x=0,是奇函数.x2 + mx, x<0(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1, a2上单调递增，求实数 a的取值范围3 .3 一10 .设函数f(x)是定义在R上的奇函数，X任意实数x都有f 2+x = 一f万一x

18、成立.(1)证明y=f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1) = 2,求 f(2) + f(3)的值；(3)若g(x)=x2+ax+ 3,且y= |f(x)| g(x)是偶函数,求实数 a的值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11 .(2019石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0, +8止单调递增，且f(1)=0,若f(x1)>0,则x的取值范围为()B. x|x<0 或 x>2D.x|x< 1 或 x>1A. x|0<x<1 或 x>2C. xx<0 或 x>312 .定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2) = f(x),且在0, 1上是减函数，则有(A.f 2 <f 4<f41B.f 4<f3<f23c.f 2 <f4-4D.f 4<f 2 <f 413 .设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xC R恒有f(x+ 1)=f(x-1),已知当xC 0, 1时，f(x) =2x,则有2是函数f(x)的周期；