韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答

1、韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答一、原料采购某工厂正常情况下每天需要消耗某种原材料4吨，因此每隔一段时间需要购置一次原材料，原材料的价格为 2000元/吨，原材料的保管费用每天2元/吨，每次购置原材料需要支付运费1600元.为了保证每天都有原材料供应生产，请给出最优的原材料采购方案解：设每隔t天购置一次原材料，那么总的保管费用为2 (4 14 24 t)4t(t 1)10 分支付的总费用为：Q(t) 4t(t 1)1600 4t 2000那么平均每天支付的费用为Q(t)4(t1)16004 20004t 16008004-20 分ttt从而当组罟，即t=20时平均每天的支付费用最少.于是

2、应该20天采购一次原材料一 25 分二、运输本钱某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180tt的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的本钱费A型车为320元，B型车为504元请为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的本钱费最低？解：根据题意可得：A型车B型车物资限制载重t610共180车辆数84岀车次数43每车每天运输本钱元320504设每天调出A型车x辆、B型车y辆，公司所花的本钱为 z元，那么最低本钱费数学模型为min z 320x 504 y0x8,S.t.0 y 4,x y 10(106

3、 4x 10 3y 180x, y Z这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域如上图为：由直线 11 : x+y=10, l2 :4x+5y = 30以及x=8,y=4组成的凸四边形区域.直线I : 320x+504y=c在可行域内平行移动 17分易知：当I过y=0与J的交点时，z取最小值y 0x 7.5由解得4x 5y 30y 0取最近的整点8, 0，即只调配A型卡车8辆，所花本钱费最低zmin =320X 8=2560元25分三、最短路径如以下图，图中箭头方向表示可以进行移动，箭头上数字表示行走的距离单位：km,如6号位置能够前进到 7号位置，距离为 4km ;而7号无法前往6号现

4、我们所处1号位 置，因为行程需要前往 8号位置，求最少需要走多少路程能够到达，并且写出具体路线解：1列举法略2利用迪杰斯特拉算法：X表示行进过的区域，X=1,第一步:min d i2,di4,di6=min 0+2,0+1,0+3=min 2,1,3=1X=1,4, p 4=1- 5 分第二步：min d i2,di6,d42,d47=min 0+2,0+3,1+10,1+2=min 2,3,11,3=2X=1,2,4, p2=2第三步：min d i6,d23,d25,d47=min 0+3,2+6,2+5,1+2=min 3,8,7,3=3X=1,2,4,6, p6=3第四步：min d

5、23,d25,C47,d67=min 2+6,2+5,1+2,3+4=min 8,7,3,7=3X=1,2,4,6,7, p7=3- 12 分第五步：min d 23,d25,d75,d78=min 2+6,2+5,3+3,3+8=min 8,7,6,11=6X=1,2,4,5,6,7, p5=6第六步：min d 23,d53,d58,d78=min 2+6,6+9,6+4,3+8=min 8,15,10,11=8X=1,2,3,4,5,6,7, p3=8一 20 分第七步：min d 38,d58,d78=min 8+6,6+4,3+7=min 14,10,11=10X=1,2,3,4,5

6、,6,7,8, p8=101到8的最短路径为1，4，7，5，8，长度为10km.-25分四、隔热厚度为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元该建筑物每年的能源消消耗用 C单位：万元与隔热层厚度 x单位：cm满足关系：kC(x)(0 x 10) k为一未知待定系数，假设不建隔热层，每年能源消消耗用3x 5为8万元设f (x)为隔热层建造费用与 20年的能源消消耗用之和.I求k的值及f (x)的表达式；n隔热层修建多厚时，总费用f (x)到达最小，并求最小值.解：(I )设隔热层厚度为 xcm ,由

7、题设，每年能源消消耗用为C(x)再由 C(0)=8，得 k=40，因此 C(x)k (03x 5403x 5，x 10),5分而建造费用为Ci (x)=6x ,最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为f (x)20C(x) Ci(x)20*- 6x -80 6x(03x 53x 5x 10)-12 分(n ) f'(x)24002(3x 5)2400令 f' (x)=0 ,即 2400 26，解得 x 5,x(3x 5)235舍去，17 分当 0v x v 5 时，f ' (x) v 0，当 5v xv 10 时，f ' (x) > 0,故x=5是

8、f(x)的最小值点，对应的最小值为地f (5) 6*5 虫也=70 25分15 5五、车间通风某车间体积为12000立方米，开始时空气中含有0.1%的CO2,为了降低车间内空气中CO2的含量，用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含 0.03%的CO2的新鲜空气同时以同样的风量将混合均匀的空气排出，问鼓风机开动6分钟后，车间内CO2的百分比降低到多少？解：设鼓风机开动后t时刻co2的含量为x t %在t, t dt内，气量变化关系为：CO2的通入量 2000 dt 0.03 ； CO2的排出量 2000 dt x(t)；CO2的改变量 CO?的通入量CO?的排出量故可得到：12000dx

9、2000 dt 0.03 2000 dt x(t) ,- 10 分dx1进一步有：巴l(xdt60.03，-15 分求解以上微分方程得到：x 0.03ItCe 6，结合初值条件：x |t 00.1，得到：C 0.07，故有：x 0.031t0.07e 6，计算在6分钟后，有 xL6 0.030.07e 10.056,于是，鼓风机开动 6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056% .-25分六、最大面积工厂里有一块半圆形铁板，其半径为R.半圆的一局部有破损，破损位置如以下图，其中BC=R/2，并且破损位置在以 B所在的水平线右侧.现要在半圆铁板剩余的局部上切割出一个直角三角形，如图甲乙两个方

10、案：甲方案是以半圆的直径所在边作为斜边，乙方案是选取半圆的直径所在边为直角边哪种方案所切割的直角三角形最大？并说明理由解：我们根据甲、乙的方案，分别求出两种方案所能切割出直角三角形的最大面积对于甲方案，以AB或者比AB短的线段作为直径的半圆内接三角形显然，选取AB作为直径时能够保证三角形尽量的大，此时内接半圆的半径为，即 - 5分£ 以D点的坐标为那么三角形的面积1 = - X X COE0 =丄TJFfii±£>4cose-15 分关于'求导后可知，当：占 ；防时，现'一-对于乙方案，以 0为圆心，00,0.设D点的坐标为赵晶級怨曲农.士卫监那么三角形的面积-*2'2关于求导，i?工S； = -r- Cc-as9)cQ-50(14 sin0)