2022年高考数学保分题

1、2022年高考数学考前保分题1.如图，在长方体ABC。-AiBiCiOi中，2AB=BC=AAi，点M为棱Q£>i上的动点.(1)求三棱锥D与长方体ABCD-ABCD的体积比；(2)若M为棱C5的中点，求直线。用与平面D41M所成角的大小.【分析】(1)设2AB=BC=AAi=2,直接求出三棱锥D-ABM与长方体ABCD-4BiCiQi的体积，然后相比即可；(2)求出各棱长，设Bi到平面DAM的距离为h,由等体积法可知h=孥，进而得到所求线面角.【解答】解：不妨设2AB=BC=A4i=2,1 12(1):力_48叫=3X2XXX2=3，匕BCDT1B1GD1=1x2x2=4,2

2、 亘_2.ABCD-A1B1C1D146 三棱锥AiBiM与长方体A8CO-AiBCiQi的体积比为1：6；(2)易知，DAi=V22+22=2V2,DM=J22+(1)2=DBX=V12+22+22=，S血iM=1X2&XJd|Z)2_(鱼)2=13涯2设3到平面£)A|M的距离为近则由-418泌=-DA1M，可得孑Xwh=3 2竽，1 2&26设直线DBi与平面DAM所成角的大小为0»则sin。=np=-A=q,UDsy直线DBi与平面D41M所成角的大小为arcsin等.【点评】本题考查常见几何体体积以及线面角的求法，考查等体积法的运用，考查逻辑推理能

3、力及运算求解能力，属于中档题.2 .如图，在四棱锥尸-ABCO中，平面雨平面ABCO,以。是边长为2的等边三角形，底面ABC。是菱形，且NBAD=60°,设平面用£>与平面PBC的交线为/.(1)证明：/A。；(2)求平面以。与平面PBC的夹角的大小.【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明AO平面PBC,再根据线面平行的性质定理证明即可：(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBC的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【解答】(1)证明：因为底面A8CO是菱形，则BCAO,又ACC平面PBC,8Cu平面PBC,所以AO

4、平面尸8C,因为AOu平面PAD,且平面RIOn平面PBC=l,故1/AD-,(2)解：因为四边形ABC。为菱形，NB4C=60°,所以ABO为等边三角形，则ACBE,同理可得又平面布£>_L平面ABC。，PADAABCD=AD,PEu平面必。，故PE_L平面48CD,则E4,EB,EP两两垂直，以点E为坐标原点，建立空间宜角坐标系如图所示，由题意可知，PQ=R1=4O=2,所以E(0,0,0),B(,V3,0),C(-2,y3,0),P(0,0,6)，>>T则EB=(0,遮，0),PB=(0,6，-V3),PC=(-2,遮,-V3),设平面PBC的法向量

5、为蔡=(x,y,z),则，n-PB=V3y-V3z=0n-PC=-2x+V3y-V3z=0令y=l,则z=l,x=0,故蔡=(0,1,1),由(1)可知，而为平面以。的一个法向量,TT_所以|cosV£, n>EBn_73_EBnOx/ITI2故平面PAD与平面PBC的夹角的大小为45【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及线面平行的判定定理和性质定理的应用，二面角的求解问题，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.3.如图，在四棱锥P-A8CD中，AD/BC,AB1AP,P£)_L平面ABC。

6、，AP=BC=2AD.(1)证明：PB1AC；(2)求平面以B与平面尸8。夹角的余弦值.【分析】(1)由2。_1_平面ABCD得PD1.BC,进而A8_L平面PAD,ABYAD,作直线DM/AB,建立空间直角坐标系证明而元=0,从而证明结论.(2)由(1)可得两平面的一个法向量，从而用向量法求得平面以8与平面P8C夹角的余弦值.【解答】证明：(1),设40=2,则由已知得，AB=2V2,AP=BC=4,.PO_L平面ABC。，BCu平面A8CO,：.PD±BC,又APCPD=p,平面B4£>,VADcfflPAD,：.AB1AD,过点D作DM/AB交BC于点M,可得P

7、D1DM,PDLAD,在RtAADP中易求得PD=2>/3,以点。为坐标原点，以D4,DM,OP所在直线分别作为坐标轴建立如图所示的坐标系，则P(0,0,2汽)，B(2,2VI,0),4(2,0,0)C(-2,2VI,0),所以而=(2,2vL-2V3),AC=(-4,2V2,0),>»：.PBAC=2x(-4)+2V2x2V2+0x2>/3=0,：.PBLAC(2)由(1)知AB=(0,2VL0),AP=(-2,0,273)设平面48P的一个法向量£=(x,y,z),=所以F色=°厂，(714P=012x+2y/3z=0令z=H，贝ijx=3,y=0所以平面ABP的一个法向量Z=(3,0,V3),由(1)知CB=(4,0,0),CP=(2,-2V2,2V3)所以, T r/野=°,所以m - CP = 0设平面PBC的一个法向量薪=(a,b,c)4a=02a-2y2b+2V3c=0*令b=V3.则c=>/2所以平面PBC的一个法向量益=(0,V3,V2),L.0x3+0x&+疙x百V10co