统计回归方法学习教案

1、会计学1统计回归统计回归(hugu)方法方法第一页，共75页。2022-4-132一元一元(y yun)线性回归线性回归多元多元(du yun)线性回归线性回归回归回归(hugu)(hugu)分析分析数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计* *检验、预测与控制检验、预测与控制可线性化的一元非线可线性化的一元非线性回归（曲线回归性回归（曲线回归）数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计*多元线性回归中的多元线性回归中的检验与预测检验与预测逐步回归分析逐步回归分析第2页/共75页第二页，共75页。2022-4-133一、数学模型一、数学模型例例1 测测16名成年女子的

2、身高名成年女子的身高(shn o)与腿长所得数据如下：与腿长所得数据如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿长8885889192939395969897969899100102以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些(zhxi)数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出.散点图xy10解答(jid)第3页/共75页第三页，共75页。2022-4-134 一般地，称由xy10确定的模型为一一元元线线性性回回归归模模型型，记为 210, 0DExy固定的未知参数0、1称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.一元线性回归分析的主

3、要(zhyo)任务是：1、用试验值（样本值）对0、1和作点估计；2、对回归系数0、1作假设检验； 3、在 x=0 x处对 y 作预测，对 y 作区间估计.xY10，称为 y 对对 x的回归直线方程的回归直线方程.返回返回(fnhu)第4页/共75页第四页，共75页。2022-4-135二、模型二、模型(mxng)参数估参数估计计1、回归系数的最小二乘估计、回归系数的最小二乘估计(gj)有 n 组独立观测值， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） 设 相互独立且，niiiiDEnixy., , 0,.,2 , 1,21210 记 niiiniixyQQ12101210),(最小

4、二乘法最小二乘法就是选择0和1的估计0，1使得 ),(min),(10,1010QQ第5页/共75页第五页，共75页。2022-4-13622110 xxyxxyxy解得（经经验验）回回归归方方程程为为: )(110 xxyxy 或 niiniiixxyyxx1211niiniiynyxnx111,1niiiniiyxnxyxnx11221,1其中(qzhng)， 第6页/共75页第六页，共75页。2022-4-1372、2的无偏估计的无偏估计记 niniiiiieyyxyQQ11221010)(),(称 Qe为残残差差平平方方和和或剩剩余余平平方方和和. 2的的无无偏偏估估计计为 )2(2n

5、Qee称2e为剩剩余余方方差差（残残差差的的方方差差） ， 2e分别与0、1独立 。 e称为剩剩余余标标准准差差.返回返回(fnhu)第7页/共75页第七页，共75页。2022-4-138三、检验、预测三、检验、预测(yc)(yc)与与控制控制1、回归方程的显著性检验、回归方程的显著性检验(jinyn) 对回归方程xY10的显著性检验，归结为对假设 0:; 0:1110HH进行检验.假设0:10H被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.第8页/共75页第八页，共75页。

6、2022-4-139（）F检验法检验法 当0H成立时， )2/( nQUFeF（1，n-2）其中 niiyyU12（回归平方和）回归平方和）故 F)2, 1 (1nF，拒绝0H，否则就接受0H. （）t检验法检验法niiniixxxnxxxL12212)(其中当0H成立时，exxLT1t（n-2）故)2(21ntT，拒绝0H，否则就接受0H.第9页/共75页第九页，共75页。2022-4-1310（）r检验法检验法当|r| r1-时，拒绝 H0；否则就接受 H0.记 niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(其中2, 121111nFnr第10页/共75页第十页，共75页。2

7、022-4-13112、回归系数的置信区间、回归系数的置信区间0和和1置信水平为置信水平为 1-的置信区间分别为的置信区间分别为 xxexxeLxnntLxnnt221022101)2(,1)2(和 xxexxeLntLnt/)2(,/)2(2112112的的置置信信水水平平为为 1-的的置置信信区区间间为为 )2(,)2(22221nQnQee第11页/共75页第十一页，共75页。2022-4-13123、预测、预测(yc)与控制与控制（1）预测）预测(yc)用 y0的回归值0100 xy作为 y0的的预预测测值值.0y的置信水平为1的预测区间预测区间为 )(),(0000 xyxy其中xx

8、eLxxnntx2021011)2()( 特 别 ， 当 n 很 大 且 x0在x附 近 取 值 时 ,y 的 置 信 水 平 为1的预预 测测 区区 间间 近近 似似 为为 2121,uyuyee第12页/共75页第十二页，共75页。2022-4-1313（2）控制）控制(kngzh)要求：xy10的值以1的概率落在指定区间yy ,只要控制 x 满足以下两个不等式 yxyyxy )(,)(要求)(2xyy .若yxyyxy )(,)(分别有解x和x ，即yxyyxy )(,)(. 则xx ,就是所求的 x 的控制区间.返回返回(fnhu)第13页/共75页第十三页，共75页。2022-4-1

9、314四、可线性化的一元非线性回归四、可线性化的一元非线性回归(hugu) （曲线回归（曲线回归(hugu)）例例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大容积不断增大.我们希望知道使用我们希望知道使用(shyng)次数与增大的容积之间的关次数与增大的容积之间的关 系系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：对一钢包作试验，测得的数据列于下表：使用次数增大容积使用次数增大容积234567896.428.209.589.509.7010.009.939.991011121314151610.4910.5910.6010

10、.8010.6010.9010.76解答(jid)第14页/共75页第十四页，共75页。2022-4-1315散点图此即非线性回归(hugu)或曲线回归(hugu) 问题（需要问题（需要(xyo)配曲线）配曲线）配曲线配曲线(qxin)的一般方法是：的一般方法是：先对两个变量 x 和 y 作 n 次试验观察得niyxii,.,2 , 1),(画出散点图，根据散点图确定须配曲线的类型.然后由 n 对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a 和 b.采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性回归线性化的方法.第15页/共75页第十五页，共75页。2022-4-1316通常选择(xu

11、nz)的六类曲线如下：（1）双曲线双曲线xbay1（2）幂函数曲线幂函数曲线 y=abx, 其中 x0,a0（3）指指数数曲曲线线 y=abxe其中参数 a0.（4）倒倒指指数数曲曲线线 y=axbe/其中 a0，（5）对对数数曲曲线线 y=a+blogx,x0（6）S 型型曲曲线线xbeay1返回返回(fnhu)解例2.由散点图我们选配倒指数曲线y=axbe/根据线性化方法，算得4587. 2,1107. 1Ab由此 6789.11Aea最后得 xey1107. 16789.11第16页/共75页第十六页，共75页。2022-4-1317一、数学模型及定义一、数学模型及定义(dngy)(dn

12、gy)一般称 nICOVEXY2),(, 0)( 为高斯马尔柯夫线性模型(k k 元线性回归模型元线性回归模型)，并简记为),(2nIXY nyyY.1，nknnkkxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211，k.10，n.21kkxxy.110称为回回归归平平面面方方程程. 返回返回(fnhu)线性模型),(2nIXY考虑的主要问题是： （1）用试验值（样本值）对未知参数和2作点估计和假设检验，从而建立 y 与kxxx,.,21之间的数量关系； （2）在,.,0022011kkxxxxxx处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计. 第17页/共75页第十七页，共75页。

13、2022-4-1318二、模型二、模型(mxng)(mxng)参数估计参数估计1、对对i和和2作作估估计计用最小二乘法求k,.,0的估计量：作离差平方和 niikkiixxyQ12110.选择k,.,0使 Q 达到最小。 得到的i代入回归平面方程得： kkxxy.110称为经验回归平面方程经验回归平面方程.i称为经验回归系数经验回归系数.注注意意 ：服从 p+1 维正态分 布，且为的无偏估 计，协方差阵为C2. C=L-1=(cij), L=XX解得估计值 YXXXTT1 第18页/共75页第十八页，共75页。2022-4-13192、多多项项式式回回归归设变量 x、Y 的回归模型为 ppxx

14、xY.2210其中 p 是已知的，), 2 , 1(pii是未知参数，服从正态分布), 0(2N. 令iixx ，i=1，2，k 多项式回归模型变为多元线性回归模型.返回返回(fnhu) kkxxxY.2210称为回回归归多多项项式式.上面的回归模型称为多多项项式式回回归归.第19页/共75页第十九页，共75页。2022-4-1320三、多元线性回归三、多元线性回归(hugu)中的检验与预中的检验与预测测1、线线性性模模型型和和回回归归系系数数的的检检验验假设 0.:100kH （）F检验法检验法（）r检验法检验法定义eyyQUULUR为 y 与 x1,x2,.,xk的多多元元相相关关系系数数

15、或复复相相关关系系数数。由于2211RRkknF，故用 F 和用 R检验是等效的。当 H0成 立 时 ，)1,()1/(/knkFknQkUFe如 果 F F1-（ k， n-k-1） ， 则 拒 绝 H0， 认 为 y 与 x1, xk之 间 显 著地 有 线 性 关 系 ； 否 则 就 接 受 H0， 认 为 y 与 x1, , xk之 间 线 性 关 系 不显 著 .其中 niiyyU12（回回归归平平方方和和） niiieyyQ12)(残差平方和残差平方和）第20页/共75页第二十页，共75页。2022-4-13212、预测、预测(yc)（1）点预测）点预测(yc)求出回归方程kkxx

16、y.110，对于给定自变量的值kxx ,.,*1，用*110*.kkxxy来预测*110.kkxxy.称* y为*y的点预测.（2）区间）区间(q jin)预测预测y 的1的预测区间（置信）区间为),(21yy,其中) 1(1) 1(12/10022/1001kntxxcyykntxxcyykikjjiijekikjjiijeC=L-1=(cij), L=XX1knQee返回返回第21页/共75页第二十一页，共75页。2022-4-1322四、逐步回归分析四、逐步回归分析(fnx)（4）“有进有出”的逐步回归分析(fnx)。（1）从所有(suyu)可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；

17、（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；选择“最优”的回归方程有以下几种方法： “最优最优”的回归方程的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量, 而不包含对Y影响不显著的变量回归方程。 以第四种方法，即逐步回归分析法逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想.第22页/共75页第二十二页，共75页。2022-4-1323 这个过程反复(fnf)进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。逐步回归分析法的思想逐步回归分析法的思想(sxing)： 从一个自变量开始，视自变量Y作用的显著程度(chngd)，从大到地依次逐

18、个引入回归方程。 当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。 引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。 对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。返回返回第23页/共75页第二十三页，共75页。2022-4-1324统计工具箱中的回归统计工具箱中的回归(hugu)分析命令分析命令1、多元、多元(du yun)线性回归线性回归2、多项式回归、多项式回归(hugu)3、非线性回归、非线性回归4、逐步回归、逐步回归返回返回第24页/共75页第二十四页，共75页。2022-4-1325多元多元(du yun)

19、线性回归线性回归 b=regress( Y, X )npnnppxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211nYYYY.21pb.101、确定、确定(qudng)回归系数的点估计值：回归系数的点估计值：ppxxy.110对一元线性回归，取 p=1 即可第25页/共75页第二十五页，共75页。2022-4-13263、画出残差及其置信区间：画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）2、求回归系数的点估计和区间、求回归系数的点估计和区间(q jin)估计、并检验回归模型：估计、并检验回归模型： b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回

20、归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p置信区间 显著性水平（缺省时为0.05） 相关系数 r2越接近 1，说明回归方程越显著； F F1-（k，n-k-1）时拒绝 H0，F 越大，说明回归方程越显著； 与 F 对应的概率 p时拒绝 H0，回归模型成立.第26页/共75页第二十六页，共75页。2022-4-1327例例1解：解：1、输入、输入(shr)数据：数据： x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164; X=ones(16,1) x; Y=88 8

21、5 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;2、回归、回归(hugu)分析及检验：分析及检验： b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X) b,bint,stats得结果：b = bint = -16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats = 0.9282 180.9531 0.0000即7194. 0,073.1610；0的置信区间为-33.7017，1.5612, 1的置信区间为0.6047,0.834;r2=0.9282, F=180.9531, p=0.000

22、0p0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.To MATLAB(liti11)题目(tm)第27页/共75页第二十七页，共75页。2022-4-13283、残差分析、残差分析(fnx)，作残差图：，作残差图： rcoplot(r,rint) 从残差图可以看出(kn ch)，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点. 4、预测、预测(yc)及作图：及作图：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r)返回返回To MATLA

23、B(liti12)第28页/共75页第二十八页，共75页。2022-4-1329多多 项项 式式 回回 归归 （一）一元（一）一元(y yun)多项式回归多项式回归 （1）确定多项式系数的命令：p，S=polyfit（x，y，m） 其中 x=（x1，x2，xn） ，y=（y1，y2，yn） ；p=（a1，a2，am+1）是多项式 y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1的系数；S 是一个矩阵，用来估计预测误差.（2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）1、回归：、回归：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、预测和预测误差估计：、预测和预测误差估计：（1）Y=poly

24、val（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预 测值Y； （2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得 的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1- alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5.第29页/共75页第二十九页，共75页。2022-4-1330 例例 2 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系，得到数据如下表，求 s关于 t 的回归方程2ctbtas.t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t

25、(s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48法一法一 直接直接(zhji)作二次多项式回归：作二次多项式回归： t=1/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2)To MATLAB（liti21）1329. 98896.652946.4892tts得回归模型为 ：第30页/共75

26、页第三十页，共75页。2022-4-1331法二法二化为多元化为多元(du yun)线性回归：线性回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t (t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,statsTo MATLAB(liti22)22946.4898896.651329. 9tts得回归模型为 ：Y=polyconf(p,t,S) plot(t,s,k+

27、,t,Y,r)预测预测(yc)及作图及作图To MATLAB(liti23)第31页/共75页第三十一页，共75页。2022-4-1332（二）多元（二）多元(du yun)二项式回归二项式回归命令(mng lng)：rstool（x，y，model, alpha）nm矩阵显著性水平（缺省时为0.05）n维列向量由下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）： linear（线性）：mmxxy 110 purequadratic（纯二次）： njjjjmmxxxy12110 interaction（交叉）： mkjkjjkmmxxxxy1110 quadratic（完全二次

28、）： mkjkjjkmmxxxxy,1110 第32页/共75页第三十二页，共75页。2022-4-1333 例例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归模型，预测据如下，建立回归模型，预测(yc)平均收入为平均收入为1000、价格为、价格为6时时 的商品需求量的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300价格5766875439选择纯二次模型，即 2222211122110 xxxxy法一法一 直接(zhji)用多

29、元二项式回归：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2; rstool(x,y,purequadratic)第33页/共75页第三十三页，共75页。2022-4-1334 在画面左下方的下拉式菜单中选(zhng xun)”all”, 则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中.在左边图形下方的方框中输入(shr)1000，右边图形下方的方框中输入(shr)6。 则画面左边(zu bia

30、n)的“Predicted Y”下方的数据变为88.47981，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.第34页/共75页第三十四页，共75页。2022-4-1335在Matlab工作(gngzu)区中输入命令： beta, rmse得结果：beta = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse = 4.5362故回归模型为：2221218475. 10001. 05709.261464. 05313.110 xxxxy剩余标准差为 4.5362, 说明此回归模型的显著性较好.To MATLAB(liti31)第35页

31、/共75页第三十五页，共75页。2022-4-1336X=ones(10,1) x1 x2 (x1.2) (x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,stats结果(ji gu)为: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.9702 40.6656 0.0005法二法二To MATLAB(liti32)返回返回(fnhu) 2222211122110 xxxxy将 化为多元线性回归：第36页/共75页第三十六页，共75页。2022-4-1337非线性回非线性回 归归 （1）确定）确定(q

32、udng)回归系数的命令：回归系数的命令： beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）（2）非线性回归）非线性回归(hugu)命令：命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）1、回归、回归(hugu)：残差Jacobian矩阵回归系数的初值是事先用m-文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据x、y分别为 矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。mn2、预测和预测误差估计：、预测和预测误差估计：Y，DELTA=nlpredci（model, x，beta，r，J）求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值

33、Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y DELTA.第37页/共75页第三十七页，共75页。2022-4-1338例例 4 对第一节例对第一节例2，求解，求解(qi ji)如下：如下：1、对将要拟合的非线性模型 y=axbe/，建立 m-文件 volum.m 如下： function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2、输入(shr)数据： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76; bet

34、a0=8 2;3、求回归系数： beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta得结果(ji gu)：beta = 11.6036 -1.0641即得回归模型为：xey10641. 16036.11To MATLAB(liti41)题目第38页/共75页第三十八页，共75页。2022-4-13394、预测(yc)及作图： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)； plot(x,y,k+,x,YY,r)To MATLAB(liti42)第39页/共75页第三十九页，共75页。2022-4-1340例例5 财政收入预测问题：财政收入

35、与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关(yugun)。下表列出了。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。年的原始数据，试构造预测模型。 解解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资(tu z)分别为分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为，财政收入为y，设变量之间的关系为：，设变量之间的关系为：y= ax1+bx2+cx3+dx4+

36、ex5+fx6使用非线性回归方法求解。使用非线性回归方法求解。第40页/共75页第四十页，共75页。2022-4-13411 对回归模型建立(jinl)M文件model.m如下: function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6; 第41页/共75页第四

37、十一页，共75页。2022-4-13422. 主程序主程序liti6.m如下如下(rxi):X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 . 2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 . 564.00 638.00 658.00 691

38、.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 . 890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0)To MATLAB(liti6）第42页/共75页第四十二页，共75页。2022-4-1343 betafit = 0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6结果结果(j

39、i gu)为为:返返 回回第43页/共75页第四十三页，共75页。2022-4-1344逐逐 步步 回回 归归逐步回归的命令(mng lng)是： stepwise（x，y，inmodel，alpha） 运行stepwise命令时产生(chnshng)三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History. 在Stepwise Plot窗口(chungku)，显示出各项的回归系数及其置信区间. Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F

40、值、与F对应的概率P.矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）显著性水平（缺省时为0.5）自变量数据, 阶矩阵mn因变量数据， 阶矩阵1n第44页/共75页第四十四页，共75页。2022-4-1345例例6 水泥凝固时放出的热量水泥凝固时放出的热量y与水泥中与水泥中4种化学成分种化学成分x1、x2、x3、 x4 有关，今测得一组数据如下有关，今测得一组数据如下(rxi)，试用逐步回归法确定一个，试用逐步回归法确定一个 线性模线性模 型型. 序号12345678910111213x17111117113122111110 x2262956315255713154474

41、06668x3615886917221842398x46052204733226442226341212y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.41、数据、数据(shj)输入：输入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 8

42、7.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4;第45页/共75页第四十五页，共75页。2022-4-13462、逐步回归：、逐步回归：（1）先在初始模型中取全部）先在初始模型中取全部(qunb)自变量：自变量： stepwise(x,y)得图得图Stepwise Plot 和表和表Stepwise Table图图Stepwise Plot中四条直线都是虚线，说明模型中四条直线都是虚线，说明模型(mxng)的显著性不好的显著性不好从表从表Stepwise Table中看出中看出(kn ch)变量变量x3和和

43、x4的显著性最差的显著性最差.第46页/共75页第四十六页，共75页。2022-4-1347（2）在图）在图Stepwise Plot中点击直线中点击直线(zhxin)3和直线和直线(zhxin)4，移去变量，移去变量x3和和x4移去变量移去变量x3和和x4后模型后模型(mxng)具有显著性具有显著性. 虽然剩余标准差（RMSE）没有太大的变化，但是统计量F的值明显增大，因此新的回归(hugu)模型更好.To MATLAB(liti51）第47页/共75页第四十七页，共75页。2022-4-1348（3）对变量）对变量(binling)y和和x1、x2作线性回归：作线性回归： X=ones(1

44、3,1) x1 x2; b=regress(y,X)得结果：b = 52.5773 1.4683 0.6623故最终(zu zhn)模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2To MATLAB(liti52）返回返回(fnhu)第48页/共75页第四十八页，共75页。2022-4-1349 拟拟 合合（一）（一） 拟合拟合(n h)问题的提法问题的提法（二）解决拟合问题的基本（二）解决拟合问题的基本(jbn)方法方法（三）用（三）用matlab做曲线拟合做曲线拟合（四）拟合应用（四）拟合应用(yngyng)案例案例第49页/共75页第四十九页，共75页。2022-4-135

45、0曲线拟合问题曲线拟合问题(wnt)的提法的提法: 已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点),(iiyx， ixni, 2 , 1互不相同， 寻求一个函数 （曲线）)(xfy ，使)(xf在某中准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好，如图: xyO+i),(iiyx)(xfy 第50页/共75页第五十页，共75页。2022-4-1351线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用(chn yn)的方法，基本思路是令：)()()()(2211xraxraxraxfmm其 中)(xrk是 事先 选定 的一 组函 数，ka是 待 定系 数)., 2 , 1(nmmk拟合准则是使 n 个点),(iiy

46、x，ni, 2 , 1，与)(ixfy 的距离i的平方和最小，称最小最小二乘二乘准则。 第51页/共75页第五十一页，共75页。2022-4-1352一、系数一、系数(xsh)的确定的确定记niiiniimyxfaaJ12121)(),(为求maa,1使 J 达到最小，只需利用极值的必要条件), 1(0mkaJk得到关于maa,1的线性方程组： nimkiikkimnimkiikkiyxraxryxraxr111110)()(0)()(第52页/共75页第五十二页，共75页。2022-4-1353二、常用二、常用(chn yn)的曲线函数：的曲线函数：)( xrk1、直线：21axay 2、多

47、项式：11mmmaxaxay 3、双曲线（一支） ：21axay 4、指数曲线：xaeay21 第53页/共75页第五十三页，共75页。2022-4-1354= inline(函数表达式,x,xdata);也可采用函数文件。第54页/共75页第五十四页，共75页。2022-4-1355需设计给药方案需设计给药方案(fng n)，必须知道给药后血药浓，必须知道给药后血药浓度随时间变化规律度随时间变化规律第55页/共75页第五十五页，共75页。2022-4-1356用函数(hnsh)semilogy绘图第56页/共75页第五十六页，共75页。2022-4-1357需根据(gnj)数据确定k和V，d

48、=300需根据实验数据(shj)确定a1,a2然后确定k和V。拟合拟合(n h)问题问题第57页/共75页第五十七页，共75页。2022-4-1358t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);p=polyfit(t,y,1);参考参考(cnko)程序程序第58页/共75页第五十八页，共75页。2022-4-1359得：第59页/共75页第五十九页，共75页。2022-4-1360第60页/共75页第六十页，共75页。2022-4-1361例例 牙膏牙膏(ygo)

49、的销的销售量售量 问问题题(wnt)建立牙膏销售量与价格建立牙膏销售量与价格(jig)、广告投入之间的模、广告投入之间的模型型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价 9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量销售量(百万支百万支)价格差价格差（元）（元

50、）广告费用广告费用(百万元百万元)其它厂家价格其它厂家价格(元元)本公司价格本公司价格(元元)销售周期销售周期第61页/共75页第六十一页，共75页。2022-4-1362基本基本(jbn)模模型型y 公司公司(n s)牙膏牙膏销售量销售量x1其它其它(qt)厂家与本公司价厂家与本公司价格差格差x2公司广告费用公司广告费用110 xy222210 xxy55.566.577.577.588.599.510 x2y-0.200.20.40.677.588.599.510 x1y22322110 xxxyx1, x2解释变量解释变量(回归变量回归变量, 自变量自变量) y被解释变量（因变量）被解释

51、变量（因变量） 0, 1 , 2 , 3 回归系数回归系数 随机随机误差（误差（均值为零的正均值为零的正态分布随机变量）态分布随机变量）第62页/共75页第六十二页，共75页。2022-4-1363MATLAB 统计统计(tngj)工工具箱具箱 模型模型(mxng)求解求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 输入输入(shr) x= n 4数据矩阵数据矩阵, 第第1列为全列为全1向量向量1 2221xxxalpha(置信置信水平水平,0.05) 22322110 xxxyb 的的估计值估计值 bintb的置信区间的置信区间 r 残差向量残差向量y-xb

52、 rintr的置信区间的置信区间 Stats检验统计量检验统计量 R2,F, p yn维数据向量维数据向量输出输出 由数据由数据 y,x1,x2估计估计 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3第63页/共75页第六十三页，共75页。2022-4-1364结果结果(ji gu)分析分析y的的90.54%可由模型可由模型(mxng)确定确定 参数参数参数估计

53、值参数估计值置信区间置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 322322110 xxxyF远超过远超过F检验检验(jinyn)的临界值的临界值 p远小于远小于 =0.05 2的置信区间包含零点的置信区间包含零点(右端点距零点很近右端点距零点很近) x2对因变量对因变量y 的的影响不太显著影响不太显著x22项显著项显著 可将可将x2保留在模型中保留在模型中 模型从整体上看成立模型从整体上看成立第

54、64页/共75页第六十四页，共75页。2022-4-136522322110 xxxy销售量预测销售量预测(yc) (yc) 价格价格(jig)差差x1=其它厂家价格其它厂家价格(jig)x3-本公司价格本公司价格(jig)x4估计估计(gj)x3调整调整x4控制价格差控制价格差x1=0.2元，投入广告费元，投入广告费x2=650万元万元销售量预测区间为销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度（置信度95%）上限用作库存管理的目标值上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流下限用来把握公司的现金流 若估计若估计x3=3.9，设定，设定x4=3.7，则可以，则可以95%的把握

55、知道的把握知道销售额在销售额在 7.8320 3.7 29（百万元）以上（百万元）以上控制控制x1通过通过x1, x2预测预测y2933.822322110 xxxy(百万支百万支)第65页/共75页第六十五页，共75页。2022-4-1366模型模型(mxng)改进改进x1和和x2对对y的影响的影响(yngxing)独立独立 22322110 xxxy21422322110 xxxxxy参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594

56、 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000 3 0 1 2 4x1和和x2对对y的影响的影响有交互作有交互作用用第66页/共75页第六十六页，共75页。2022-4-1367两模型两模型(mxng)(mxng)销售量销售量预测比较预测比较21422322110 xxxxxy22322110 xxxy2933. 8 y(百万支百万支)区间区间(q jin) 7.8230，8.7