结构动力学单自由系统的振动学习教案

1、会计学1结构动力学单自由系统结构动力学单自由系统(xtng)的振动的振动第一页，共44页。2022-4-132mk /2mc2第1页/共43页第二页，共44页。2022-4-133tptpsin)(ptmpyysin2 mtptytyty)()()(2)(2 tptpsin)(第2页/共43页第三页，共44页。2022-4-134tYtysin)()(22mpY1222( )(1/)P sin tytmtmpyysin2 第3页/共43页第四页，共44页。2022-4-135212( )sincosytCtCt121222( )( )( )sincossin()Py ty tytCtCttm由

2、初始条件确定由初始条件确定(qudng) (qudng) 第4页/共43页第五页，共44页。2022-4-136（1）实际上，由于有阻尼(zn)力存在，自由振动项将随时间的推移而逐渐消失，该项称为瞬态响应（transient response）。（2）自由振动消失之前的这一段时间内的响应称为过渡阶段，这段过渡时间的长短取决于阻尼(zn)的大小。第5页/共43页第六页，共44页。2022-4-137（3）阻尼小，过渡时间就长；阻尼大，过渡时间就短。（4）过渡时间结束后，只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段，对应(duyng)的响应称为稳态响应(stationary response)。（5）在振动

3、计算中，通常都不考虑自由振动部分尚未完全衰减(shui jin)掉时的过渡阶段，而只计算在这以后系统按荷载频率进行的纯强迫振动。 第6页/共43页第七页，共44页。2022-4-138222( )(1/)P Sin ty tm即特解部分(b fen)：pkpmpyst22211/stymax)(tysty( )sinsty tyt则有：第7页/共43页第八页，共44页。2022-4-139/2211第8页/共43页第九页，共44页。2022-4-131001101第9页/共43页第十页，共44页。2022-4-1311的增大而减小。11第10页/共43页第十一页，共44页。2022-4-131

4、220WkN500 /minnr421.008 10EIkN m( )10sinF tt kN第11页/共43页第十二页，共44页。2022-4-131333420 40.002654848 1.008 10stwWlymEIsty 则梁的自振频率(pnl)为： 9.8060.812/0.00265stwgrad sy（2）机器(j q)的扰力频率为：22 3.1416 50052.36/6060nrad s第12页/共43页第十三页，共44页。2022-4-1314（3）系统的动力(dngl)系数222113.86652.361160.812（4）梁跨中截面(jimin)的最大位移和弯矩33

5、max34max484810 40.002653.66848 1.008 100.002650.005110.007764420 410 43.86658.6644stwstfstwstfWlFlyyyEIEImWlFlMMMkN m第13页/共43页第十四页，共44页。2022-4-1315( )sinF tFt13480.8EIml23481.2EIml第14页/共43页第十五页，共44页。2022-4-131631148mlEI31211768lEI311148EImml第15页/共43页第十六页，共44页。2022-4-1317（2）按叠加原理建立运动(yndng)方程：1112111

6、2( )( )()( )iyF tF tmyF t21211( )( )0.6875F tF tyymm变换(binhun)得： 即把非直接作用于质体的荷载(hzi)按照静力位移等效的条件转换成直接作用于质体的荷载(hzi)。 1211( )F t( )F t位移协调 等效等效 第16页/共43页第十七页，共44页。2022-4-13182210.6875sin1Fytm则运动(yndng)方程的解为：由此式代入 及 相应的便可求得质体的最大动力(dngl)位移。13480.8EImla）当 时 33max210.68750.68752.77780.03981 0.6448FFmlFlymmE

7、IEIb）当 时 23481.2EIml33max210.68750.6875( 2.2727)0.03261 1.4448FFmlFlymmEIEI 第17页/共43页第十八页，共44页。2022-4-1319v3 3、有阻尼受迫振动、有阻尼受迫振动(shu p zhn dn)(shu p zhn dn)方程解方程解v 在外力在外力 作用下，并且考虑阻尼作用下，并且考虑阻尼。v v 则方程变为：则方程变为：v上式通解为：上式通解为：( )sinp tPt22sinPyyytm( )( )*( )y ty tyt齐次解齐次解特解特解第18页/共43页第十九页，共44页。2022-4-13201

8、2( )(cossin)tddy teAtAt其中(qzhng)， 设 ，将微分方程(wi fn fn chn)变为代数方程。 ( )ty tCe过程过程(guchng)(guchng)推倒推倒 220yyy22202(1) 其解为， 21d，并令， 则， di 仅考虑低阻尼的情况： 1第19页/共43页第二十页，共44页。2022-4-1321待定系数(xsh)法求出特解：*( )yt设方程(fngchng)的特解为：12( )sincosytYtYt代入方程(fngchng)2212122212(2)/sin(2)cos0YYyP mtYYYt 22sinPyyytm得，第20页/共43页

9、第二十一页，共44页。2022-4-1322使上式为零，则： 求得：有阻尼(zn)单自由度体系运动方程的全解为：2212122212(2)/0(2)0YYyP mYYY22221)/2()/(1)/(1kPY2222)/2()/(1/2kPY1212( )(sincos)(sincos)tddy teAtAtYtYt第21页/共43页第二十二页，共44页。2022-4-1323第一(dy)部分频率：（1）对外载的瞬态响应，常数A1和A2由初始条件确定。但是，由于阻尼的存在，频率(pnl)为 的第一部分含有因子 ，因此会逐渐衰减直至消失。1212( )(sincos)(sincos)tddy t

10、eAtAtYtYtdte第二(d r)部分频率：瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应d自由振动自由振动强迫振动强迫振动第22页/共43页第二十三页，共44页。2022-4-1324（2）频率(pnl)为 的第二部分由于受到荷载的周期影响而不衰减，这部分振动称为稳态响应。（3）体系从开始振动到稳态振动的那一阶段处于过渡状态，振幅和周期都在变化，因此称为非稳定振动或过渡态振动。过渡态的振幅的最大值会大于稳态振幅，但它会逐渐被衰减，衰减的快慢程度随 的大小而定。（4）仅分析纯受迫振动项（第二部分稳态响应）。 第23页/共43页第二十四页，共44页。2022-4-1325任一时刻(shk)的稳态振动响应：

11、 或：得： 表示振幅荷载最大值P作用下的静力位移。)sin()(tYty1/ 22222(1/)(2/)stYy21/1/2tgtYtYtycossin)(21sty第24页/共43页第二十五页，共44页。2022-4-1326动力系数 对于(duy)有阻尼强迫振动，动力系数 不仅与频率比值 有关，而且与阻尼比 有关。对于(duy)不同的 值， 和 与 之间的关系曲线如图。 1/ 22222(1/)(2/)stYy第25页/共43页第二十六页，共44页。2022-4-1327图 有阻尼振动体系(tx)的响应特征参数幅频曲线幅频曲线(qxin)(qxin)相频曲线相频曲线(qxin)(qxin)

12、221峰max第26页/共43页第二十七页，共44页。2022-411/ 22222(1/)(2/)stYy第27页/共43页第二十八页，共44页。2022-4-1329忽视。021|1第28页/共43页第二十九页，共44页。2022-4-1330（3）在阻尼体系中，共振时的动力(dngl)系数虽然接近于最大的动力(dngl)系数 ，但并不等于这个最大值。 求最大响应时的 值： 可求 对 的导数并令其等于零。对于阻尼比 的实际结构，响应峰值频率为： 相应的响应值：max/21221峰2max121第29页/共43页第三十页，共44页。2022-4-1331 对于 的阻

13、尼(zn)体系 在通常情况下， 值很小，可以近似认为：2max12101峰1max|1峰1max|221峰第30页/共43页第三十一页，共44页。2022-4-1332（4）阻尼体系(tx)的位移比荷载滞后一个相位角 值由下式决定。 21/1/2tg第31页/共43页第三十二页，共44页。2022-4-1333 1）当 0时， 荷载频率很小，体系(tx)振动很慢，因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。由于弹性力与位移成正比，但方向相反，因此荷载与位移基本上是同步的。 0第32页/共43页第三十三页，共44页。2022-4-1334v2）当 1时， v 当荷载频率接近结构(jigu)

14、固有频率时，位移 与外载 相差的相位角接近90。因此当荷载为最大时，位移和加速接近于零，因而弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。90)(ty)(tp第33页/共43页第三十四页，共44页。2022-4-1335v3）当 时， v 荷载频率很大，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。由于惯性力与位移(wiy)是同相位的，因此荷载与位移(wiy)的相位角相差约180，即两者方向相反。180第34页/共43页第三十五页，共44页。2022-4-133622( )( )sin()sin()iPF tmy tmtPtk ( )sinP t

15、Pt( )sin()Py ttk1) 1)惯性力：惯性力：2)2)弹簧弹簧(tnhung)(tnhung)力：力：( )( )sin()sF tky tPt 第35页/共43页第三十六页，共44页。2022-4-13373 3）阻尼力：）阻尼力：( )( )cos()(2)cos()2cos()dPFtcy tctkPmtFtk 01）当荷载(hzi)频率 时，因频率(pnl)比这时惯性力Fi(t)阻尼(zn)Fd(t)都很小，荷载F(t)主要由弹簧Fs(t)平衡 讨论：讨论：第36页/共43页第三十七页，共44页。2022-4-13383）当荷载(hzi)频率 时，频率比 ， ， ，其中阻尼

16、力项：2）当荷载(hzi)频率 时，因频率比 很大，这时荷载(hzi)主要由惯性力Fi(t)平衡190121( )21 cossin22dF tFFt 即荷载主要(zhyo)由阻尼力平衡。第37页/共43页第三十八页，共44页。2022-4-1339一般称这种状态为共振(gngzhn)，通常将0.751.25的范围定为共振区，在共振区内阻尼力的影响(yngxing)不能忽略。而在共振区外，有时为了简化，可以不计阻尼力的影响(yngxing)。第38页/共43页第三十九页，共44页。2022-4-1340 下图为体系上四个力在任意时刻(shk)的旋转向量平衡图。各个力在水平轴的投影分量之和即为动力平衡方程。从图中可以明显地看出各个力之间的相互关系。第39页/共43页第四十页，共44页。2022-4-1341半功率(gngl)法确定阻尼比 ：简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定(qudng)系统的阻尼比 。 max12styy第40页/共43页第四十一页，共44页。2022-4-1342122221(1)(2)2 2abststyyyy因为a，b两点是都是曲线上点，它们应满足相应(xingyng)的动力系数 表达式 2222118(1)(2)22