利用勾股定理解竞赛题

1、初中数学港 利用勾股定理解竞赛题江西 许生友勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，指的是直角三角形的两条直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.勾股定理的应用十分广泛，灵活应用它可以帮助我们解决一些与直角三角形有关的竞赛题.例1 （希望杯初二数学竞赛试题）一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_种可能，其中最大的值是_.分析：本题是一道无图题，解决时可以直接由勾股定理列出关于三边的方程，进而求解.解：设另一条直角边为x，斜边为y.即有：x2+152=y2，y2x2=225，(y + x)( yx)=225.因为y+x>

2、;yx>0.y+x与yx都为整数，所以 或 或 或 分别解之，得x=112，或36，或20，或8，即另一条直角边有四3可能，其中最大值是112.例2 （湖北省初中数学竞赛试题）如图1，已知ABCD，ABD，BCE都是等腰三角形，CD=8，BE=3，则AC的长等于（ ）A.8 B.5 C.3 D. A 分析：求AC的长，可在ABC中利用勾股定理 E 求得. 解：依题意，AB=DB，BC=BE，因为BE=3， D B CCD=8，所以BC=3，DB=5，所以AB=5.又因 图1 为ABC=90°，所以AB2+BC2=AC2，所以 AC=.故应选D.例3 （希望杯初二数学培训试题）如

3、图2，四边形ABCD中，ACBD，AC与BD交于O点，AB=15，BC=40，CD=50，则AD=_.分析：图中由ACBD可构造四个直角三角形，在每个三角形中分别利用勾股定理列出有关等式，再将所得等式适当变换即得结果. B解：因为AOB=COD=90°， 所以OA2+OB2=AB2，OC2+OD2=CD2.所以OA2+OB2+OC2+OD2=AB2+CD2. A O C同理，有OA2+OB2+OC2+OD2=AD2+BC2. D 所以AB2+CD2=AD2+BC2， 图2 OA2+OB2+OC2+OD2=AB2+CD2. AD2=AB2+CD2BC2=1125.AD=例4 （五羊杯数

4、学竞赛试题）如图3，护城河在CC/处直角转弯，宽度保持4米，从A处往B处，经过两座桥：DD/、EE/.设护城河是东西-南北方向的，A、B在东西方向上相距64米，南北方向相距84米，恰当地架桥可使AD、D/E/、EB的路程最短.这个最短距离是_米.分析：要判断最短路程，需先确定两座桥的位置，确定了桥的位置后，再根据护城河的直角转弯形成的直角三角形，利用勾股定理求解.解：如图4，作AA/CD，AA/=DD/，BB/CE，BB/=EE/，则折线ADD/E/EB的长度等于折线AA/D/E/B/B的长度，即等于折线A/D/E/B/的长度+AA/+BB/.而折线A/D/E/B/以线段A/B/最短，故题目所

5、求最短路程s=A/B/+8，而A/、B/在东西方向上相距为644（米），在南北方向上相距844=80（米）.由勾股定理可知，A/B/=100（米），s=108（米）. ·A O A C D 4 C D 4 D/ C/ D/ C/ E E 4 E/ 4 E/ B B/ ·B 图3 图4例5 （英才杯初二数学竞赛试题）如图5，P是矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD=_.分析：显然，PD不是某直角三角形的边，为此应适当添加辅助线构造直角三角形，以便用勾股定理求解，由于四边形ABCD是矩形，故可过P点作AD的平行线MN，分别交AB、DC于M、N，构造四个直角三

6、角形，进而便可解.解：过点P作MNAD交AB于点M，交CD于点N， P那么AM=DN，BM=CN.因为PMA=PMB=90°， A D 所以PA2PM2=AM2，PB2PM2=BM2， 所以PA2PB2=AM2BM2. N M M 同理PD2PC2=DN2CN2，所以PA2PB2=PD2PC2. B C 所以PD= 图 5 例6 （河北省初中数学竞赛试题）如图6，在矩形ABCD中，在DC上存在一点E，沿直线AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，那么折叠的AED的面积为_. A D 分析：求AED的面积关键是求AD与DE的长，图形翻折使ADEAFE，即有AD=AF，DE=EF，因此可转化为求AF与E