动力气象-第四章(P坐标系中基本方程组)

1、第四章 p坐标系，铅直坐标变换n 本章将通过数学和物理学两方面对地球大气进行分析，进而让学生了解垂直坐标转换的数学前提、引入 p 坐标系的意义；n 学生应该掌握垂直坐标转换的原理方法，并熟悉 p 坐标系。等压面 等压面图空间气压场的情况一般用等压面图表示。在空间的每一点都有一个气压值，如果把所有气压相同的点连接起来，就形成一个等压面。等高线与等压面 由于同一高度上各地的气压不等，气压在空间的分布，就象山丘一样起伏不平。在同一高度上，气压比四周高的地方，等压面上凸，而且气愈高的地方等压面上凸的愈厉害；气压比周围低的地方，等压面上凹，而且气压愈低，等压面下凹的愈厉害。因此，等压面的起伏形势和该面附

2、近等高面上气压的分布形势相对应。 等压面上的等高线 等高面上的等压线 等压面和邻近等高面的关系，由于等压面上各点的高度不同，因而，等压面是曲面。在等压在等压面上高度最高的地方，正是它邻近等高面上气压面上高度最高的地方，正是它邻近等高面上气压最高的地方；高度最低的地方，正是它邻近等高最高的地方；高度最低的地方，正是它邻近等高面上气压最低的地方。面上气压最低的地方。由于在高空测气压比测高度方便，所以高空的气压分布可用等压面上的高度分布来表示，即用画有等高线的等压面图来表示（与地形等高线图相似）。 等压面和等高面的关系 等高线的数值是高度单位，但不是几何高度，而是位势高度。所谓位势高度，就是把单位质

3、量的物体从海平面上升到某高度时克服重力所作的功来表示的高度，其单位是位势米。几何高度Z和位势高度H在数值上相差不大但概念上完全不同，一个是长度单位，一个是能量单位。等压面的高度单位位势米 位势米位势米H：当重力加速度g=9.8m/s2时，使单位质量物体抬升1m的高度克服重力所消耗的功。 在米、公斤、秒制中： 1位势米=gpm=1公斤9.8米/秒21米 =9.8焦耳 (1位势什米=10位势米)等压面的高度单位位势米等压面的高度单位等压面的高度单位位势米位势米 等高线的数值是高度单位，但不是几何高度，而是位势高度。所谓位势高度，就是把单位质量的物体从海平面上升到某高度时克服重力所作的功来表示的高度

4、，其单位是位势米。 几何高度Z和位势高度h在数值上相差不大但概念上完全不同，一个是长度单位，一个是能量单位。等压面绝对形势图等压面绝对形势图 目前气象台所绘制的高空图，就是等压面图。常用的等压面有：850hPa、700hPa和500hPa等。它们分别代表1500m, 3000m和5000m高度附近的水平气压场。2005年10月2日08时500hPa高空形势图静力学方程垂直方向上气块所受重力与气压梯度力的平衡垂直方向上气块所受重力与气压梯度力的平衡是适用于天气尺度大气运动的准静力关系( Qusi-static relationship)pdxdydzgdxdydzz;pgdpgdzz 第四章 p

5、坐标系，铅直坐标变换n教学重点：p坐标系成立的数学条件和物理条件；n教学难点：垂直坐标转换公式的推导、p坐标系下连续方程的推导z 坐标系到坐标系到p 坐标系的转换坐标系的转换10pgpg zz 静力平衡方程：静力平衡方程：气压气压p随高度随高度z 单调减小，单调减小，即即p是是z 的单调函数：的单调函数：(, ,)pppzz xyp txp，yp和和tp是是p坐标系的自变量坐标系的自变量z 坐标系到坐标系到p 坐标系的转换坐标系的转换对任意变量对任意变量F 有：有：( , , , ) , , (, ,), , , ( ), pppFF x y z tF x y z xyp ttF x y z

6、p t一般取一般取xp=x，yp=y，tp=t ，即：，即： p系和系和z系的水平系的水平和时间坐标系一样，仅在垂直坐标系不一样和时间坐标系一样，仅在垂直坐标系不一样P坐标系的概念 用气压P替换z坐标系中的垂直坐标就可得到P坐标系。水平坐标x, y不变。 把z坐标转换为P坐标的基本关系是静力方程 : dp = -gdz 它与z的坐标方向相反。右边是一复合函数，利用复合函数求导法则：右边是一复合函数，利用复合函数求导法则：( , , , ) , , (,), pppFF x y z tF x y z xyp ttz坐标系到坐标系到p坐标系的转换坐标系的转换pzppzppzpFFFzxxzxFFF

7、zyyzyFFzpzpFFFzttzt 此为此为p-z坐标系坐标系的转换公式的转换公式令令F=p，带入，带入 p-z 坐标系的转换公式，并利坐标系的转换公式，并利用静力平衡公式（用静力平衡公式（ ），得：），得：p坐标系下的水平运动方程坐标系下的水平运动方程pgz 0pzpzpzpzpppppzppzxxzxxzxppzpzgxzxxxx 同理，得到：同理，得到：p坐标系下的水平运动方程坐标系下的水平运动方程0zppzppppzpppzgxxxpzgyyyzgzppzgttt 另外，另外，p系下的时间个别微商算子为：系下的时间个别微商算子为：p坐标系下的水平运动方程坐标系下的水平运动方程ppp

8、phpppduudttttpdorVdttp ,hpppVuivjijxxdpdt 其中其中: 为为p坐标系下的垂直速度坐标系下的垂直速度 另外，个别导数不因坐标改变而改变，即：另外，个别导数不因坐标改变而改变，即：p坐标系下的水平运动方程坐标系下的水平运动方程hhpzzhhzzddVwdtdttzdVwdttz ,hzzdzij wxxdt 其中其中 为为z系的垂直速度系的垂直速度 z坐标系和坐标系和p坐标系下的水平运动方程坐标系下的水平运动方程1hhhzhphphpdVpfkVdtdVgzfkVfkVdt 11ppppduzdupgfvfvdtxdtxdvpdvzfugfudtydty标量

9、形式为：标量形式为： 矢量形式为：矢量形式为： p坐标系下的连续方程坐标系下的连续方程()1 ()001()()()0dMdx y pdtgdtdxdydpy py px ygdtdtdt 空气微团，其体积为空气微团，其体积为 =xyz，则其质量，则其质量为：为： M= xyz=-1/g (xyp)，由质量守恒得到，由质量守恒得到： “”与与“d”是独立算子，其次序可以交换，则有是独立算子，其次序可以交换，则有 ()10dMdxdydpy py px ydtgdtdtdt p坐标系下的连续方程坐标系下的连续方程()10()10()1000ppdMdxdydpy py px ydtgdtdtdt

10、dMu y pv y px ydtgdMuvx y pdtgxypuvxypuvxyp p坐标系下与坐标系下与z坐标系下的连续方程的比较坐标系下的连续方程的比较()0duvwdtxyz0ppuvxypp系下的连续方程：系下的连续方程：z 系下的连续方程：系下的连续方程：z 系下系下均质均质不可压流体的连续方程：不可压流体的连续方程：ddt()00uvwuvwxyzxyzp 坐标系下热力学方程坐标系下热力学方程vpdTddTdpcpQorcQdtdtdtdt热量守恒定律的一般形式：热量守恒定律的一般形式：由于个别导数不因坐标系改变而改变。并且由于个别导数不因坐标系改变而改变。并且p坐标系中坐标系

11、中 ，则有：，则有：dpdtpppppppdTTTTTcQcuvQdttxypTTTTcuvcQtxyp p坐标系下热力学方程坐标系下热力学方程p 系下热力学方程的气温形式：系下热力学方程的气温形式：pppppppppppTTTTcuvcQtxypTTTTQuvtxypccQuvTStxycTSpc （静力稳定变参数）p坐标系下热力学方程坐标系下热力学方程RTpTppR p也可由也可由p 系的静力学方程，将系的静力学方程，将T 转换为厚度形式转换为厚度形式ppppppTQuvTtxypccpR ppQuvtxyR ppcc p坐标系下热力学方程坐标系下热力学方程p 系热力学厚度形式（自己证明）

12、系热力学厚度形式（自己证明）lnppppppRuvQtxyppcPcRuvQtxypPcp 为静力稳定度；为静力稳定度； 为位温为位温P 系下的闭合方程组（系下的闭合方程组（不计摩擦，略去下标不计摩擦，略去下标p）P坐标系的优缺点优点：优点：1、P坐标系使大气运动方程组中减少了密度这一变量。它的影响隐含在等压面位势变化之中。气压梯度力项变成了线性项，形式简单。2、连续方程具有较简单的形式，成为一个诊断方程；3、日常业务工作常采用等压面分析，便于利用P坐标系进行诊断计算与分析；4、由于等压面相对于水平面坡度较小，它上面的分析近似地反映了等高面上分析直观形象。缺点缺点：1、大气下边界不是坐标面，P随时间和空间而变化，