一题多解曲线的公切线

1、例：(2016 全国 2 卷 16)若直线ykxb是曲线y1nx2的切线，也是曲线y1n(x1)的切线，则b【分析】考查了导数的几何意义、曲线公切线方程的求解，是基础中档题，难点是整体法消元解方程组。又2Inx1方法二、参数法:题多解曲线的公切线【解析】方法一、常规解法:设ykxb与y1nx2和y1n(x1)分别切于点(为,%)、(x2,y2),则曲线y1nx2的切线方程为:1.x1nxi1.x1曲线y1n(x1)的切线方程为:1x1n(x21)x2+1X2x2+1Xx2+11nxiln(x21Inx111n(x21)-xx2+1Inx111n(x2x2,解得x11);x2+1kxb与y1nx

2、2和y1n(x1)分别切于点(x1,y1)、(x2,y2).x1kxf+v即x1rViy21nx1221nk.y11,而1n(x21)1nky2kx1b1bkx2b1kb21nk1b故1nk1kb两式相减得：k2,所以b11n2.方法三、数形结合法(平移)：设ykxb与ylnx2和yln(x1)分别切于点(x1，y1)、M).函数yInx2和yln(x1)都是由yInx平移而来，一个向上平移 2 单位，一个向左平移 1 单位，故切线的斜率k2.(只有是同一个函数平移成两函数，才能应用)由ylnx2得k21，即x11,故y11nxi22ln2x12将切点(1,2ln2)代入y2xb,可得b1ln

3、2.2深化应用：12.1.若曲线yx2与曲线yalnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线，则实数a的值2e为()A.2B.1C.12D.2C【解析】曲线y：x2的导数为：y-x在P(s,t)处的斜率为：k-;2eee曲线ya1nx的导数为：ya,在P(s,t)处的斜率为：k2.曲线yx2xs2e与曲线yalnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线，可得9且并essa且t工s2,talns即es解得lns1,解得s2e.可2e12，2，salns2e得a1.2.若曲线G：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，则a的取值范围为()切线重合，则a的取值范围是()像可知x10 x2

4、,则函数fx在A(x1,y1)处y(x；xa)(2x11)(xX),即y(241)xx；a;函数fx在B(x2,y?)处切线方程为yInx2(xx2),即y-xInx21；依题意两切线重合，x2x22x111知x2,由x0 x2知01。所以2.x2x1aInx2122A,)B呜2CT,2e)D.(0,-4C【解析】Ci：yax2(a0)；C2：yex,yex.设公切线与Ci：yax2(a0)切于点/一2、(x1,ax1),与C2:yex切于(X2,e、2),则2axi422x2eax1ex2x1,可得2X2Xi2所以a月1e22x1f(x)之1e2(x2)2(2x1)2知在x(0,2)时,(X

5、)0,即f(x)在x(0,2)上单调递减，x(2,)时,(x)0,即f(x)x(2,2)上单调递增，f(x)m.3.已知函数fx2xInxxax0,若函数x0fx的图象在点A、B处的A.(1,)B.(In2,)C.(2,1)D.1,2A解析设A(x1,y1)B(x2,y2)为此函数上两点,且xix2,观察函数图切线方程为g(t)l(t1)2lnt1(0t1),贝Ug(t)4在0t1上是单调递减函数，则g(t)*1)；/0,所以g(t)g(1)1,又当t0时，g(t)所以a的取值范围是（1,）.【点拨】从切线重合（即同一条切线）得到两切点的关系，转化所求变量a与其中一个切点变量的函数关系，考查化归转化与函数的思想,构造函数，并