全称量词与存在量词及其否定

1、全称量词与存在量词全称量词与存在量词想一想？想一想？13241)32)213),3 4),21xxxR xxZx下下列列语语句句是是命命题题吗吗？ ）与与）， ）与与）之之间间有有什什么么关关系系？对对所所有有的的对对任任意意一一个个短语短语“所有的所有的”“”“任意一个任意一个” 在逻辑中通常叫在逻辑中通常叫做做全称量词全称量词用符号用符号“”表示。表示。 含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题。1, 212nn例例 如如 ：） 对对 任任 意意是是 奇奇 数数 。） 所所 有有 的的 正正 方方 形形 都都 是是 矩矩 形形 。是整数是整数是整数是整数Z常见的全

2、称量词还有常见的全称量词还有“一切一切” “每一个每一个” “任给任给” “所有的所有的”等等.M通通常常，将将含含有有变变量量x x的的语语句句用用p p( (x x) )、q q( (x x) )、r r( (x x) )表表示示，变变量量x x的的全全称称命命题题“对对中中任任意意一一个个x x，取取值值范范围围有有p p( (x x用用M M表表示示。) )成成立立. .读读作作“任任意意x x属属于于M M，有有P P( (x x) )成成立立”。 简简记记为为: :x xM M, ,p p( (x x) )例例1 1 判判断断下下列列全全称称命命题题的的真真假假：1 1）所所有有的

3、的素素数数都都是是奇奇数数；2,1 1;xR x 2）2）2 23 3）对对每每一一个个无无理理数数x x，x x 也也是是无无理理数数. .想一想？想一想？13241)2132)233),2134),23xxxRxxZ x下下列列语语句句是是命命题题吗吗？ ）与与）， ）与与 ）之之间间有有什什么么关关系系？；能能被被 和和 整整除除；存存在在一一个个使使；至至少少有有一一个个能能被被 和和 整整除除。短语短语“存在一个存在一个”“”“至少一个至少一个” 在逻辑中通常在逻辑中通常叫做叫做存在量词存在量词用符号用符号“”表示。表示。 含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做特称命题。特

4、称命题。12例例 如如 ：） 有有 一一 个个 素素 数数 不不 是是 奇奇 数数 。） 有有 的的 平平 行行 四四 边边 形形 是是 菱菱 形形 。常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些” “有一个有一个” “对某个对某个” “有有的的”等等.M通通常常，将将含含有有变变量量x x的的语语句句用用p p( (x x) )、q q( (x x) )、r r( (x x) )表表示示，变变量量x x特特称称命命题题“存存在在中中的的一一个个x x的的取取值值范范围围用用，使使p p( (x xM M表表示示。) )成成立立. .读读作作“存存在在一一个个x x属属于于M M，使使P P

5、( (x x) )成成立立”。 简简记记为为: : x xM M, ,p p( (x x) )2 2例1 判断下列特称命题的真假：例1 判断下列特称命题的真假：1）有一个实数x，使x +2x+3=0成立；1）有一个实数x，使x +2x+3=0成立；2）存在两个相交平面垂直同一条直线；2）存在两个相交平面垂直同一条直线；3）有些整数只有两个正因数.3）有些整数只有两个正因数.理论迁移理论迁移 例例1 1 下列命题是全称命题还是特称命下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假题，并判断其真假. . （1 1）任意实数的平方都是正数；）任意实数的平方都是正数； （2 2）0 0乘以任何数都等于乘以

6、任何数都等于0 0； （3 3）有的老师既能教中学数学，也能）有的老师既能教中学数学，也能 教中学物理；教中学物理；全称命题（假）全称命题（假） 全称命题（真）全称命题（真）特称命题（真）特称命题（真） （4 4）某些三角形的三内角都小于）某些三角形的三内角都小于6060； （5 5）任何一个实数都有相反数）任何一个实数都有相反数. . 特称命题（假）特称命题（假） 全称命题（真）全称命题（真） 例例2 2 判断下列命题的真假判断下列命题的真假. .（1） xR，x2x； （2） xR，sinxcosxtanx；（3） xQ，x280； （4） xR，x2x10； （5） xR，sinxcos

7、x=2；（6） a，bR， 真真假假假假假假假假真真2abab1.4.3 含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定想一想？想一想？1)写出下列命题的否定写出下列命题的否定所有的矩形都是平行四边形；所有的矩形都是平行四边形；2)每每一一个个素素数数都都是是奇奇数数；23),21 0 xR xx 这这些些命命题题和和它它们们的的否否定定在在形形式式上上有有什什么么变变化化？1)存存在在一一个个矩矩形形不不是是平平行行四四边边形形；2)存存在在一一个个素素数数不不是是奇奇数数；23),210 xR xx 否否定定: : x xM M, ,p p( (x x) ) x xM M, ,p p(

8、(x x) ) x xM M, ,p p( (x x) )x xM M, ,p p( (x x) ) x xM M, , p p( (x x) )x xM M, ,p p( (x x) )含有一个量词的全称命题的否定含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论有下面的结论 x xM M, ,p p( (x x) )全称命题全称命题:p它的否定它的否定:p x xM M, ,p p( (x x) )从形式看，全称命题的否定是特称命题。从形式看，全称命题的否定是特称命题。理论迁移理论迁移 例例1 1 写出下列全称命题的否定：写出下列全称命题的否定：（1 1）p：所有能被：所有能被3 3整除的整数都是

9、奇数整除的整数都是奇数（2 2）p：每一个四边形的四个顶点共圆：每一个四边形的四个顶点共圆（3 3）p： xZ，x2的个位数字不等于的个位数字不等于3.3.（1 1）p：存在一个能被：存在一个能被3 3整除的整数不整除的整数不是奇数；是奇数； （2 2）p：存在一个四边形，其四个顶：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；点不共圆； （3 3）p： x0Z，x02的个位数字等于的个位数字等于3.3.1)写写出出下下列列命命题题的的否否定定有有些些实实数数的的绝绝对对值值是是正正数数；2)某某些些平平行行四四边边形形是是菱菱形形；23),10 xR x 这这些些命命题题和和它它们们的的否否定定在在形形

10、式式上上有有什什么么变变化化？否定否定:1)所有实数的绝对值都不是正数所有实数的绝对值都不是正数;2,10 xR x xM,p(x)xM,p(x) xM,p(x)xM,p(x) xM,p(x)xM,p(x) xM, p(x)xM, p(x) xM, p(x)xM, p(x) xM, p(x)xM, p(x)2)每一个平行四边形都不是菱形每一个平行四边形都不是菱形;3) 含有一个量词的特称命题的否定含有一个量词的特称命题的否定,有有下面的下面的结论结论 x xM M, ,p p( (x x) )特称命题特称命题:p它的否定它的否定:p x xM M, , p p( (x x) ) 例例2 2 写出下列特称命题的否定：写出下列特称命题的否定：（1 1）p： x0R，x022x02020；（2 2）p：有的三角形是等边三角形；：有的三角形是等边三角形；（3 3）p：有一个素数含有三个正因数：有一个素数含有三个正因数. .（1 1）p： xR，x22x2 20 0； （2 2）p：所有的三角形都不是等边三角形：所有的三角形都不是等边三角形（3 3）p：每一个素数都不含三个正因数：每一个素数都不含三个正因数. . 例例3 3 写出下列命题的否定，并判断写出下列命题的否定，并判断其真假：其真假：（1 1）p：任意两个等边三角形都相似：任意两个等边三角形都相似（2 2）p： x0R，x0