QZZN论坛_百分数与配比问题

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2、 2 日百分数与配比问题百分数是分母为 100 的分数，表示某些数量关系非常方便.特别是处理一些有比例关系的问题，在衡量、比较时有很多优点.不仅在数学、物理、化学等自然科学方面，而且在工程技术、社会科学方面都有着非常广泛的应用.小学高年级的同学都知道百分数，但不一定能算得很好，用得很活.因此我们专门编写一讲，通过许多例题和习题，帮助同学们学习百分数.第一节讲的是卖买”，实质上是讲（1+百分数）与（i-百分数）的一些计算.第二节介绍各种各样常见的百分数.第三节讲的是对小学同学说来较为困难的配比问题.不论哪一节，从计算技巧来说，都是训练分数、比例的计算本领.一、商品的出售商店出售商品，总是期望获得

3、利润.例如某商品买入价（成本）是 50 元，以 70 元卖出，就获得利润 70-50=20（元） .通常，利润也可以用百分数来说，20+50=0.4=40%,我们也可以说获得 40%的利润.因此利润的百分数=（卖价-成本）土成本 X100%.卖价=成本 X（1+利润的百分数）.成本=卖价+（1+利润的百分数）.商品的定价按照期望的利润来确定.定彳/b=成本 x（1+期望利润的百分数）.定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价 25%,就是按定价的（1-25%）=75%出售，通常就称为 75 折.因此卖价=定价 X 折扣的百分

4、数.例 1 某商品按定价的 80%（八折或 80 折）出售，仍能获得 20%的利润，定价时期望的利润百分数是多少？解：设定价是“1”，卖价是定价的 80%,就是 0.8.因为获得 20%的利润，卖价是成本乘以（1+20%）,即1.2倍，所以成本是8T.2=q.定价的期望利润的百分数是（1+三=50%答：期望利润的百分数是 50%.例 2 某商店进了一批笔记本，按 30%的利润定价.当售出这批笔记本的 80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：设这批笔记本的成本是“1”因此定价是 1X（1+30%）=1.3.其中80%的卖价是 1.3X

5、80%,20%的卖价是 1.3+2X20%.因此全部卖价是1.3X80%+1.3+2X20%=1.17.实际获得利润的百分数是1.171=0.17=17%.答：这批笔记本商店实际获得利润是 17%.例 3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10%.甲店按 20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2 元.问甲店的进货价是多少元？设乙店的进货价是“10.9.乙店的定价是 1X(1+15%),甲店的定价就是 0.9X(1+20%).因此乙店的进货价是11.2+(1.15-0.9X1.2)=160(元).甲店的进货价是160X0.9=144(元).

6、答：甲店的进货价是 144 元.设乙店进货价是 1，比设甲店进货价是 1，计算要方便些.例 4 开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10%,但是仍保持原售价，因此每本利润下降了 40%,那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：设去年的利润是“1”.利润下降了 40%,转变成去年成本的 10%,因此去年成本是 40%+10%=4.在售价中，去年成本占因此今年占 80%X(1+10%)=88%.答：今年书的成本在售价中占 88%.因为是利润的变化，所以设去年利润是 1,便于衡量，使计算较简捷.例 5 一批商品，按期望获得 50%的利润来定价.结果只销掉 70%的商品.为

7、尽早销掉剩下的商品，设商品的成本是“1”原来希望获得利润 0.5.现在出售 70%商品已获得利润0.5X70%=0.35.剩下的 30%商品将要获得利润0.5X82%-0.35=0.06.因此这剩下 30%商品的售价是1X30%+0.06=0.36.原来定价是 1X30%X(1+50%)=0.45.因此所打的折扣百分数是0.36+0.45=80%.答：剩下商品打 8 折出售.从例 1 至例 5,解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例 6 某商品按定价出售，每个可以获得 45 元钱的利润.现在按定价打 85 折出售 8 个，所能获得的利润，与按定价

8、每个减价 35 元出售 12 个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：按定价每个可以获得利润 45 元，现每个减价 35 元出售 12 个，共可获得利润(45-35)X12=120(元).出售 8 个也能获得同样利润，每个要获得利润120+8=15(元).（45-15）+（1-85%）=200（元）.答：每个商品的定价是 200 元.例 7 张先生向商店订购某一商品，共订购 60 件，每件定价 100 元.张先生对商店经理说：如果你肯减价，每件商品每减价 1 元，我就多订购 3 件.”商店经理算了一下，如果差价 4%,由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本

9、是多少？解：减价 4%,按照定价来说，每件商品售价下降了 100X4%=4（元）.因此张先生要多订购 4X3=12（件）.由于 60 件每件减价 4 元，就少获得利润4X60=240（元）.这要由多订购的 12 件所获得的利润来弥补，因此多订购的 12 件，每件要获得利润240+12=20（元）.这种商品每件成本是100-4-20=76（元）.答：这种商品每件成本 76 元.二、各种各样的问题百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题.例 8 小明训练 3000 米赛跑，如果速度提高 5%,那么时间缩短百分之几？（百分数保留一位小数.）解：设原来的速度是“1”.时间缩

10、短的百分数是3000也就是x1004.3,答：时间缩短了 4.8%.从后一算式可以看出，无论是多少米赛跑，速度提高 5%,时间就缩短了 4.8%.换一句话说，考虑这一问题，与距离无关.例 9 采了 10 千克蘑菇，它们的含水量为 99%,稍经晾晒后，含水量下降到 98%.晾晒后的蘑菇重多少千克？解：晾晒前后蘑菇里的干物质（除了水分以外的其他成分）的重量是不变的.干物质的重量是10X(1-99%)=0.1(千克)晾晒后，干物质将占总重量的（1-98%）.此时蘑菇重0.1+(1-98%)=5(千克)答：晾晒后蘑菇重 5 千克.这一例题的答案是否使你感到意外？下一例题可以说是例 9 的补充.例 10

11、 有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到 3%,又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2%,再加入同样多的水，此时盐水浓度是多少呢？又问未加水时盐水浓度是多少？解：关键是先算出每次加多少水.第 7 页共 17 页浓度为 3%,也就是盐 3 份，水 97 份，共 100 份.浓度下降为 2%,原来 3 份，就成为 2%,加水后总共是3+2%=150（份）.因此加入的水是 150-100=50（份）.第三次加水后，浓度是3150+50=1%未加入水时的浓度是310070=6监答：三次加水后浓度是 1.5%,未加水时浓度是 6%.例 11 把一个正方形的一边减少.20%,另一边增加 2 米，得到一个

12、长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？解：设正方形的边长是“1”因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20%,另一边将增加所以正方形的边长是2-25%=8（米）.正方形的面积是8X8=64（平方米）.答：正方形面积是 64 平方米.例 12 有一堆糖果，其中奶糖占 45%,再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占 25%.问这堆糖中奶糖有多少块？解：奶糖占 25%,其他糖果就是奶糖的(100-25%)+25%=3(倍).原来其他糖果只有1-45%=55%.放入 16 块水果糖后是45%X3=135%.因此奶糖的块数是16+(135%-55%)X45%=9(块).答：这堆糖

13、中，奶糖有 9 块.例 13 有两包糖果，第一包的粒数与第二包粒数之比是 2:5.在第一包中奶糖占 30%,在第二包中其他糖占 42%,如果把两包糖合在一起，奶糖所占的百分数是多少？解：设第一包为 2 份，第二包为 5 份.第一包中奶糖是 2X30%=0.6(份).第二包中奶糖是 5X(1-42%)=2.9(份).合起来后，奶糖占(0.6+2.9)+(2+5)=50%.答：合在一起，奶糖占 50%.这是一个典型问题，与第五讲第二节中求平均数，做法是一致的例 14 早上水缸注满了水，白天用去了其中的 20%,傍晚又用去 27 升，晚上用去剩下水的 10%,最后剩下的水是半水缸多 1 升.问早上注

14、入多少升水？解：白天和傍晚用去水后剩下1-20%=80%少 27（升）晚上用去水是80%X10%=8%少 27X10%=2.7（升）.白天、傍晚、晚上总共用去水20%+8%再加（27-2.7）开，它应该是 50%少 1 升.因此 50%-（20%+8%）是（27-2.7）+1 升.早上水缸的水是（27-2.7+1）+（50%-20%-8%）=115（升）.答：早上注入水缸中的水是115 升.三、浓度和配比一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应

15、用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例 15 基本问题一（1）浓度为 10%,重量为 80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为 8%的糖水？（2）浓度为 20%的糖水 40 克，要把它变成浓度为 40%的糖水，需加多少克糖？解：（1）浓度 10%,含糖 80X10%=8（克），有水 80-8=72（克）.如果要变成浓度为 8%,含糖 8 克，糖和水的总重量是 8+8%=100（克），其中有水100-8=92（克）.还要加入水 92-72=20（克）.（2）浓度为 20%,含糖 40X20%=8（克），有水 40-8=32（克）.如果要变成浓度为 40%,32 克水中，要加糖 x

16、克，就有x：32=40%：(1-40%),还要加糖21可-8=13百（克）.y答士（1）加水2。克1（2）加糖13；克例 16 基本问题二20%的食盐水与 5%的食盐水混合，要配成 15%的食盐水 900 克.问：20%与 5%食盐水各需要多少克？解：20%比 15%多(20%-15%),5%比 15%少(15%-5%),多的含盐量(20%-15%)X20%所需数量第 11 页共 17 页(15%-5%)X5%所需数量.32x40%1-40%=21；(克)也就是20%所需数量_15%-5%=25%所需数量=20%-15%=T画出示意图：20%所需数量注1-1|11相差5仁一相差10)野相差的百

17、分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系2因此，需要20M900X-=600(克)，2+1Jr需要5%900X义=300(克)答：需要浓度 20%的 600 克，浓度 5%的 300 克.这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.例 17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价 5 元，蓝笔定价 9 元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85%出售，蓝笔按定价 80%出售.结果他付的钱就少了 18%.已知他买了蓝笔 30 支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为 1-18%=82%.(85%-82%):(82%-80%)=3：

18、2.按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是 2:3.第 12 页共 17 页设买红笔是 x 支，可列出比例式5x：9X30=2：3=36（支）答：红笔买了 36 支.配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例 17 中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.例 18 甲种酒精纯酒精含量为 72%,乙种酒精纯酒精含量为 58%,混合后纯酒精含量为 62%.如果/每种酒精取的数量比原来都多取 15 升，混合后纯酒精含量为 63.25%.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例 16 的方法，原来混合时甲、乙数量之比是甲62-58211Z

19、?=72-62T后一次混合，甲、乙数量之比是I甲63.25-585.253L工、72-6325855=5二问题就转化成：一个分数原来约分后是左分子、分母各加15,约分后是，求原来这个分数这与上一讲例 14 是同一问题.都加 15，比例变了，但两数之差却没有变.5 与 2 相差 3,5 与 3 相差 2.前者 3 份与后者 2 份是相等的.把 2：5 中前、后两项都乘 2,3：5 中前、后两项都乘 3,就把比的份额统一了，即第 13 页共 17 页=2:54：10,7=3：5=9：15现在两个比的前项之差与后项之差都是 5.15 是 5 份，每份是 3.原来这答：第一次混合时，取甲酒精 12 升

20、，乙酒精 30 升.例 19 甲容器中有 8%的食盐水 300 克，乙容器中有 12.5%的食盐水 120 克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.甲中含盐量：乙中含盐量=300X8%:120X12.5%=8：5.现在要使（300 克+倒入水）：（120 克+倒入水）=8：5.把“300 克+倒入水”算作 8 份，“120 克+倒入水”算作 5 份，每份是(300-120)+(8-5)=60(克)倒入水量是 60X8-300=180（克）答：每一容器中倒入 180 克水.例 20 甲容器有浓度为 2%的盐水 180 克，乙容器中有浓度为 9%的盐水若干克，从乙取出 240 克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：(1)现在甲容器中