江苏省南通市海安县高三期末数学试卷

1、1 / 20江苏省南通市海安县高三(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，共 7070 分)1 设集合 A=x|x 1 , B=X|X2V9，则 AHB=_.2. 设 a, b R, i 为虚数单位，若(a+bi) ?i=2- 5i，则 ab 的值为_./ / 、3.- 在平面直角坐标系 xOy，已知双曲线-7=1 (a 0, b 0)的一个渐近线的方程为ay=x，则该双曲线的离心率为 _.4._ 已知一组数据 9.8, 10.1 , 10, 10.2, 9.9，那么这组数据的方差为 _ .5如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是 _ .7正四棱锥的底面边

2、长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60 则该四棱锥的侧面积为_ cm2.&将函数 f (x) =sin (2x+ ) (0v v n的图象向右平移 2 个单位后得到的函数图象关于 原点对称，则实数 的值为_ .29.二次函数 y=f (x) =ax +bx+c (x R)的部分对应如表：x-4-3-2-10123y60-4-6-6-406则关于 x 的不等式 f (x ) 0 的解集为_10._在正五边形 ABCDE 中，已知=9，则该正五边形的对角线的长为 _11.用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5 个图案，并将这 8 个图案中的所有

3、正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率I：1.是偶函数，则实数 a 的值为6若函数C是_ .13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (- 1, 0), Q (2 , 1),直线 I: ax+by+c=0,其中实数 a, b, c 成等差数列，若点 P 在直线 I 上的射影为 H,贝熾段 QH 的取值范围是_ .14. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y=庐：；-: (x 0, 2)的图象绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转角0,若？茨0 , a,旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则 a 的最大值为_ .二、解答题(本大题共6小题，共

4、90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).37T57TJTV515. 已知0(. ,. ),sin(0-.)=.4445(1 )求 sin 啲值；TT(2 )求 cos (20+)的值.316. 如图， 在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， 已知AC丄BC , BC=CC1,设AB1的中点为D, B1CnBC1=E.求证：(1) DE /平面 AA1C1C;(2) BCAB1.17.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C: +=1 (a b 0)的焦距为 2.a b(i)若椭圆C经过点(噜，1),求椭圆duC 的标准方程;4 / 20(2 )设 A (- 2, 0), F 为椭圆

5、C 的左焦点，若椭圆 C 上存在点 P,满足 =_，求椭圆 C 的离心率的取值范围.18.如图，扇形 AOB 是一个植物园的平面示意图，其中/ AOB= ，半径 0A=0B=1km , 为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观赏道路，道路由弧，线段 CD，线段 DE 和弧组成，且满足：，=:，CD / AO . DE / OB , OD ，(单C -2位：km),设/ AOC=.(1 )用B表示 CD 的长度，并求出B的取值范围；(2 )当B为何值时，观赏道路最长？19已知公差不为 0 的等差数列an的首项为 1,前 n 项和为 Sn,且数列是等差数列.(1)求数列an的

6、通项公式；(2)设 lgbn=2 (n N*),问：b1, bk, bm(k, m 均为正整数，且 1vkxo时，f (x) g (x)恒成立.四、选做题从 21-2421-24 题中任选 2 2 个小题，每小题 1010 分，共 2020 分21如图，AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点C,若 DB=DC，求证：CA=AO .2p +2，7p sin( ) - 4=0,求圆心的极坐标.a3+b3匚(a2+b2).25.批产品共 10 件，其中 3 件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取 检验：1，求矩阵 A B .2 件产品B=设

7、 a, b 是非负实数，求证:24.5 / 20方式一：一次性随机抽取 2 件；方式二：先随机抽取 1 件，放回后再随机抽取 1 件； 记抽取的不合格产品数为E.(1 )分别求两种抽取方式下E的概率分布；(2 )比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由.226.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C: y =4x，设点 A (- t, 0), B (t, 0) (t0), 过点 B的直线与抛物线 C 交于 P, Q 两点，(P 在 Q 的上方).(1 )若 t=1，直线 PQ 的倾斜角为，求直线 PA 的斜率；(2 )求证：/ PAO= / QAO .6 / 20江苏省南通

8、市海安县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，共 7070 分）1 设集合 A=x|x 1 , B=X|X2V9，则 AHB= x|1vxv3 【考点】交集及其运算.【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解.【解答】解：集合 A=x|x 1,2集合 B=x| xv9=x| - 3vxv3, 集合 AHB=x| 1vxv3.故答案为：x| 1vxv3.2设 a, b R, i 为虚数单位，若（a+bi） ?i=2- 5i，则 ab 的值为 10.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】 直接由（a+bi） ?i=2- 5i，得-b+ai

9、=2 - 5i，即可求出 a、b 的值，则答案可求.【解答】 解：由（a+bi） ?i=2- 5i,得b+ai=2 5i，即 a= 5, b= 2.则 ab=-5x（ -2）=10.故答案为：10.3在平面直角坐标系 xOy，已知双曲线 - =1 （a 0, b 0）的一个渐近线的方程为b2y=x，则该双曲线的离心率为2 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的渐近线方程 y= 土 x，由题意可得 b= a,由 a, b, c 的关系和离心a率公式计算即可得到所求值.由一条渐近线的方程为y= :_x,可得 b= :_a,即有c=2a,即有 e=2.a故答案为：2.4.已知一组数据 9.

10、8, 10.1 , 10, 10.2, 9.9，那么这组数据的方差为0.02【考点】极差、方差与标准差.【分析】先计算数据的平均数，代入方差公式，可得答案.【解解：双a2y= x,a（a 0, b 0）的渐近线方程为7 / 20【解答】 解：9.8, 10.1, 10, 10.2, 9.9 的平均数为 10,故方差 s2=l (9.8 -10)2+ ( 10.1 - 10)2+(10 -10)2+ (10.2 - 10)2+(9.9-10)2 =0.02,5故答案为：0.026.若函数是偶函数，则实数 a 的值为_ V: _【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象.【分析】由题意可得，

11、f (-芈)=f (芈)，从而可求得实数 a 的值.44【解答】 解：Tf (x) =asin (x+ . ) + ._sin (x-)为偶函数，f (- x) =f (x), 咒 兀f(-.) =f(),即-=a, a= -:_.故答案为：-=7正四棱锥的底面边长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60 则该四棱锥的侧面积为 8 cm2.5如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是25【分析】 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,断框中的条件，直到满足条件，执行输出.【解答】解：经过第一次循环得到结果为 经过第二次循环得到结果为 经过第三次循环得到结果为 经过第四次循环得到结果为 经过第

12、四次循环得到结果为 执行输出 s,即输出 25, 故答案为：25.并判断每一次得到的结果是否满足判s=1, n=3，此时满足判断框的条件此时满足判断框的条件 此时满足判断框的条件s=4， n=5，s=9， n=7，s=16, n=9，此时满足判断框的条件,s=25，i=11，此时不满足判断框的条件,8 / 20【考点】 二面角的平面角及求法.9 / 20【分析】在正四棱锥 V - ABCD 中，底面正方形 ABCD 边长为 2cm，侧面 VAB 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 60过 V 作平面 ABC 的垂线 V0 ,交平面 ABC 于 0 点，过 0 作 0E 丄 AB，交 AB 于

13、 E,连结 VE，则/ VEO 是二面角 V - AB - C 的平面角，由此示出 VE=2 , 由此能求出该四棱锥的侧面积.【解答】解：如图，在正四棱锥 V - ABCD 中，底面正方形 ABCD 边长为 2cm, 侧面 VAB 与底面ABCD 所成二面角的大小为 60 过 V 作平面 ABC 的垂线 V0 ,交平面 ABC 于 0 点，过 0 作 0E 丄 AB ,交 AB 于 E，连结 VE ,则/ VE0 是二面角 V - AB - C 的平面角，/ VE0=60 ,/ 0E=AE=BE=1 , VE= =2,cosGOFf) 1厶MU匹2该四棱锥的侧面积S=4X（乂v：.）=8.U8

14、 将函数 f (x) =sin (2x+$) (0v v n的图象向右平移 2 个单位后得到的函数图象关于 原点对称，则实数 的值为 4-n.【考点】函数 y=Asin(x)的图象变换.【分析】由条件利用 y=Asin(3x)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称 性，得出结论.【解答】 解：将函数 f (x ) =sin (2x+ ) (0v v n)的图象向右平移 2 个单位后，得到 y=s in2 (x-2) + =s in (2x - 4+)的图象，再根据得到的函数图象关于原点对称，-4+ =knk Z,则实数的值为 4-n,故答案为：4 -n9.二次函数 y=f (x ) =

15、ax2+bx+c (x R)的部分对应如表:x-4-3-2-10123y60-4-6-6-406则关于 x 的不等式 f (x)w0 的解集为 -3, 2【考点】二次函数的性质.【分析】由表中数据可看出 f (X)过点(-3, 0), (0,- 6), ( 2, 0),将这三点的坐标分 别带入 f (x)便10 / 20可得出关于 a, b, c 的方程组，可解出 a, b, c 的值，从而可以解一元二次 不等式 f (x)w0,这样即可得出该不等式的解集.【解答】解：根据条件知，f ( x)过点(-3, 0), (0, - 6), (2, 0 )；9a- 3b+c=0二 y 二 _64a+2

16、b+c=0a=l解得*b=ltc=-62/. f (x) =x2+x - 6；2解 x2+x - 6W0 得,- 3Wxw2; f (x)3_.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】若 f (0)为 f (x)的最小值，则当 x0 时，求出函数 f (x)的最小值 f (1) f (0),进而得到实数 a 的取值范围.【解答】解：若 f (0)为 f (x)的最小值，则当 x0;1x - 1当 x 0 时，f( x) =1 一=- ，由 f( x) 0 得 x 1，由 f(x)v0 得 0vxv1,即当x=1 时函数取得极小值同时也是最小值f (1) =1 In 1+5+a=6+a,则满足

17、f (1) f (0),即 6+aa2,得 a2 a 6w0,解得：-2Waw3,/ a0,二 0waw3综上所述实数 a 的取值范围是0, 3,故答案为：0, 3.13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P ( 1, 0), Q (2, 1),直线 I: ax+by+c=0,其中 实数 a, b, c成等差数列，若点 P 在直线 I 上的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是 天-运.【考点】点到直线的距离公式.【分析】 直线 I: ax+by+c=0，其中实数 a, b, c 成等差数列，可得 a (2x+y) +c (y+2) =0,2x+y=0令-，可得直线 I : ax+by+c

18、=0，恒经过定点 M (1, 2).由于 PH 丄 I，可得点 H 在y+2=0以 PM 为直径的圆上，其圆心 C (0, 1).圆的方程为：x2+ (y+1)2=8 .则|QC| rw| QH|w| QC|+ r.【解答】 解：直线 I: ax+by+c=0,其中实数 a, b, c 成等差数列，故答案为19612 / 20 ax+ a+*y+c=O,化为 a (2x+y) +c (y+2) =0,令*，解得 x=1 , y= - 2.2y+2-C直线 l: ax+by+c=0，恒经过定点 M (1，- 2)./ PH 丄 I,.点 H 在以 PM 为直径的圆上，其圆心 C (0, - 1)

19、.圆的方程为：x2+ (y+1)2=8.| QC| =2:. |QC| - r | QH| b 0)的焦距为 2,a2b2(1) 若椭圆C经过点(爭，i)，求椭圆 C 的标准方程；(2 )设 A (- 2, 0), F 为椭圆 C 的左焦点，若椭圆 C 上存在点 P,满足诗=一，求椭圆 C 的离心率的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.2 2【分析】(I)由题意可得 a - b =i，代入已知点，可得 a, b 的方程，解方程即可得到所求 椭圆方程；(2)设 P (x, y),运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P 的轨迹方程，由题意和圆 相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围.【解答】

20、 解：(I)由题意可得 c=i，即 a2- b2=i,Ve3 i又代入点(晋，I),可得二2=i ,24 a b解方程可得 a=.二 b=7,2 2即有椭圆的方程为+=i ；15 / 2032(2)由题意方程可得 F (- I , 0),16 / 20设 P ( x, y),由 PA 二占 PF,可得仁Q-一=巳：丨： 化简可得 x2+y2=2,由 c=1，即 a2- b2=i,2 2由椭圆+二=1 和圆 x2+y2=2 有交点，aZb2可得 bw2wa,又b=*_j,可得 2 a即有离心率 e= ,.a 5218如图，扇形 AOB 是一个植物园的平面示意图，其中/ AOB= ，半径 OA=O

21、B=1km , 为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观赏道路，道路由弧，：.，线段 CD，线段 DE 和弧组成，且满足：丄=,CD / AO . DE / OB , OD 丄亠，丄(单 位：km),设/ AOC=.(1 )用B表示 CD 的长度，并求出B的取值范围；(2 )当B为何值时，观赏道路最长？一 /AOD=,：17 / 20【考点】在实际问题中建立三角函数模型.【分析】(1)根据三角形的角和边的关系， 利用正弦定理，求得用B表示 OD 和 CD 的长度, 利用CD 的取值范围，即可求得B的取值范围；(2)首先将道路长度 L (0)表达成B的函数关系式，再利用导数

22、方法研究函数的最大值，兀从而可以求得0=时，观光道路最长.6【解答】 解：(1) AE=EB , CD / AO . DE / OB ,由正弦定理可知：OD_ CD _ OC“sinZOCD sinZCOD sin.ZCDO于是在 OCD 中，OC=1，/ AOB=，/ AOC0.ZCOD= -018 / 200D=：in9CD= sin（- 9）,333/ OD 山，二，即山w二：二 sin 筵二,33333/ 0v 9w ,3故 CD=-sin （-9）,（丁 = bk, bm成等比数列，得出 lgb1, lgbklg, bm成等差 数列，由此求出满足条件的正整数 k 和 m 的值.【解答

23、】 解：(1)设等差数列弟的公差为 d (dz0),厶wsinwVI2(2 )由(1)可知，观赏道理长=29+.爲（=2os3L =0 得 cos （9-）=三,兀H9=，当:：-.时，L=-n!cos( 9-)3,且kN 时，“-_：=,-3, k N)为递减数列，3十冃2k i 2X3 i于是厂二-3 时，不存在正整数 k 和 m 满足(* ); 综上，当且仅当 k=2, m=3 时，bi, bk, bm成等比数列.20.设 a 为正实数，函数 f (x) =ax, g (x) =lnx .(1) 求函数 h (x) =f (x) ?g (x)的极值；(2) 证明：？x R,使得当 xxo

24、时，f (x) g (x)恒成立.【考点】禾 U 用导数求闭区间上函数的最值；禾 U 用导数研究函数的极值.【分析】(1)首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间, 从而求出函数的极值即可；(2)先求出当直线和 y=lnx 相切时 a 的取值，然后进行讨论求解即可.【解答】 解：(1) h (x) =ax?Inx, (a 0),则 h (x) =a (lnx+1),令 h (x) 0,解得：x-e令 h (x) 0,解得：0 x 0), (a 0)因为数列21 / 201 -h(x)极小值=h ()=-.，无极大值；则 g (x)二一，当 g (x)与 f (x)相切

25、时，设切点为(m, Inm),A则切线斜率 k=,HI则过原点且与 g (x)相切的切线方程为 y - Inm= (x- m)x - 1,mIti即 y=x - 1+Inm , g (x) =ax,l=a；.i，得 m=e, a=.-1+lnmPOe即当 a 时，ax Inx 恒成立.e当 a=时，当 xo一时，ee要使 ax Inx 恒成立.得当 x xo时，ax Inx 恒成立.当 Ovav时，g (x)与 f (x)有两个不同的交点，不妨设较大的根为xi,当 x。时,e当 xx0时，ax Inx 恒成立. ? a 0, ? x R,使得当 x xo时，f (x) g (x)恒成立.四、选

26、做题从 21-2421-24 题中任选 2 2 个小题，每小题 1010 分，共 2020 分21.如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点， 过 D 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 C,若 DB=DC，求证：CA=AO .z :22 / 20【考点】与圆有关的比例线段.仃/ 20【分析】 连结 0D、AD，证出 ADBODC，得到 AB=CO，从而证出结论. 【解答】证明：如图示：连结 OD、AD , AB 是圆 O 的直径，/ ADB=90,AB=2AO,/ DC 是OO 的切线，/ CDO=90,/ DB=DC,/ B= / C,ADB 也厶 ODC ,AB=CO,

27、即 2OA=OA +CA,CA=AO.22.已知矩阵 A=【考-1 00 2_，几种特殊的矩阵变换.B=i，求矩阵 A B .【分设矩阵 A -，通过 AA-1为单位矩阵可得A-1,进而可得结论.-1 Ola b1 s-a - bl r 1 o=，即=0 2jl c d0 1_2c 2dI 0 123.已知圆 C 的极坐标方程为P+27Psin(0)4=0,求圆心的极坐标.【考点】简单曲线的极坐标方程.A【解解：设的逆矩阵为d=，则佃/ 20cos-pcos) - 4=0，利用-y=P sin9 即可得出.LP2=x2+y2【解答】解：圆 C 的极坐标方程为p2+2 计込psin(0-*)-

28、4=0,展开为：p+2X( psin- pcos)0 -4=0,y22 2 2 2 x +y +2y- 2x - 4=0，配方为(x- 1)+ (y+1)=6.24.设 a, b 是非负实数，求证：a3+b3s|“ (a2+b2).【考点】 分析法和综合法.【分析】作差，再进行因式分解，分类讨论，即可证得结论.【解答】证明：由 a, b 是非负实数，作差得a +b-.(a +b) =a.(-+b 料：(可：-1=(.-.)()5-( . J5.当ab时， .,从而()5(誌卜)5,得(.-.J ( . )5-( . J50;当 avb 时，v,从而()5 0.所以 a3+b3；(a2+b2).

29、25.一批产品共10 件，其中 3 件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2 件产品检验：方式一：一次性随机抽取 2 件；方式二：先随机抽取 1 件，放回后再随机抽取 1 件；记抽取的不合格产品数为E.(1 )分别求两种抽取方式下E的概率分布；(2 )比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由.【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)方式一中随机变量E可取的值为 0, 1, 2,且E服从超几何分布EH (2, 3,10),计算对应的概率；列出频率分布表；方式二中随机变量E可取的值为 0, 1, 2,且E3服从二项分布EB (2,_),计算对应的概率；列出频率分布表；(2)计算方式一与方式二中的数学期望(平均数) 【解答】解：(1)方式一中随机变量E可取的值为3 , 10),7cbci是 P(E=0 =沽沽；P(E=1 =z 15【分析】圆 C 的极坐标方程为p2+2 7ps)-4=0,展开为:(psin0可得圆心坐标1, - 1