江苏省南通市2019届高三第一次调研测试数学

1、-1 南通市 2019 届高三第一次调研测试数学I参考答案与评分标准、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.1.已知集合 U 二1 , 2, 3, 4, 5, A=1 , 2, 4，则巳 A = .【答案】3 , 5.2.2.已知复数z13i , z3 i （i为虚数单位）在复平面内，乙-Z2对应的点在第 象限.【答案】二.3.3.命题：“ R R , x0,设实数x,y满足 戸0,则 z=3x 2y 的最大值是 .t +y3,2x 亠 y4,【答案】7.如图是一个算法的流程图.若输入x 的值为 2，则输出 y 的值是 .【答案】-|.

2、7 7.城市空气质量指数（AQI）第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天甲109111132118110乙110111115132112则空气质量指数（AQI ）较为稳定（方差较小）的城市为 （填甲或乙）-2 9.9.将函数 f（x）二 sin 2x 亠门0 ：二的图象上所有点向右平移二个单位后得到的图象关于原点对-3 称，则等于 【答案】二.3 311 410.10. 等比数列an的首项为 2,公比为 3,前 n 项和为$若 logs2an(S4m+1): =9，则孑石的最小值是 .【答案】5.11.11.若向量 a = cos，sin ：，b = cos sin 一：，且 a

3、a b b0 时，实数 b 的最小值是 .【答案】-1 .13.13. 已知集合 M=(x,y)|x-3 2PB, A( -1, 0), B(1, 0)，则表示 MnN 的图形面积等于.【答案】3 二 2 -3 .14.14.若函数 f(x)二 ax220 x 14 (a 0)对任意实数t，在闭区间t -1,t 1上总存在两实数 为、化,使得| f(xj -f(X2)| 8 成立，则实数 a 的最小值为.【答案】8.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域.内作答解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15.15. (本小题满分 14 分)如图，在四棱柱 ABCD

4、-AB1C1D1中，AB / CD, AB BC，且 AA =AB .(1)求证：AB/平面 D1DCC1;(2)求证：AB!丄平面 A,BC .(1 )证明：在四棱柱 ABCD -AB1C1D1中,AB二平面 D1DCC1,CD平面 D1DCC1,AB/CD(第15题)-4 所以AB/平面 D1DCC1.(1)4 分17.17.(本小题满分 14 分)3义在(3,0)U(0,+ 8)上的奇函数，且当 x a 1 对一切 x 0 成立，求 a 的取值范围.解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(汽 0)的单调性即可.2a3f(x)= 2 + 子，令 f，(x)= 0, 得1当 a

5、 0,故 f(x)在区间(30)是单调递增.(2)证明：在四棱柱 ABCD ABQDi中，四边形 AABB为平行四边形，又 AAi= AB ,故四边形 AABBI为菱形.从而 ABi_ A B .又 ABi丄 BC，而 ABBC=B，AB,BCU 平面 ABC，所以 AB_平面 A BC .14 分1616.(本小题满分 14 分)在厶 ABC 中，a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边长，且 c= 3bcosA, tanC= 3 .(1)(2)(1)求 tanB 的值；若 c =2，求 ABC 的面积.解：由正弦定理，得si nC -3s in B cos A ,即 sin(A

6、亠 B) = -3sin Bcos A .所以 sin AcosB cos As in B = -3sin B cos A . 从而 sin AcosB = -4sin Bcos A .因为 cosAcosB =0，所以= -4 .tan B又诙。an(AB) =tOnA 蛊号，由(知，4tS 曙专解得 tan B =舟.解：由(1)，得 sin A =, sin B=- , sinC = .75幕510 分2 ：2由正弦定理，得 a5一 4sin C 3512 分所以 ABC 的面积为評专堺2匸4.14 分a 为实常数，y=f(x) 是定已知(1)(2)x= a.(1)4 分32当 a 0

7、时，x (a,a ), f(x) 0，所以 f(x)在区间(汁一a )是单调递增. x ( a,0), f (x)0 时，f(x)= f( x)= ( 2 x -2+ 1) = 2x+ 2 1 .xx31当 aa 1 对一切 x 0 成立，即 2x+寺a而当 x= 2 0 时，有一 a+4a a，所以 a 0，则与 a 0 矛盾.所以 a 1=a 1 对一切 x0 成立，故 a = 0 满足题设要求.12 分3当 a 0 时，由 可知 f(x)在(0, a)是减函数，在(a , +a)是增函数.所以fmin(x)=f(a) = 3a 一 1 a 一 1，所以 a 0 时也满足题设要求. . 1

8、3 分综上所述，a 的取值范围是0, ：) . . 14 分18.18.(本小题满分 16 分)如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为 EF 的中点，其所在圆 0 的半径为 4 dm (圆心 O 在弓形且点 A、D 在 EF 上，设/ AOD=2r .(1)求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于的函数关系式；(2)当矩形铁片 ABCD 的面积最大时，求 cosh 的值.(1)解：设矩形铁片的面积为当 0 ：“：:二时(如图)，AB=4cosn，2 , AD =2 4si n=,3S 二 AB AD 二 4cos= 2 2 4sin 二16sin= 2cos=1 . 6分 当a0时，f(x)单

9、调增区7 分+m)；0), (0,a).对一切 x 0 成立.EMF内)，/ EOF = .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片3ABCD(不计损耗),AD II EF,MO -OBEF(第18题) 8 当时(如图)，AB =2 4cosr , AD =2 4si nr ,故 S 二 AB AD =64sin dcosv -32sin 2r .综上得，矩形铁片的面积S 关于二的函数关系式为4 9 16sin 2cos J 1 , 0 ：S=3. 7 分32si n2-.32(2)解：当 0 二：冷时，求导，得3S J16 COST 2cosr 1 sinr -2sin v-16 4cosS c

10、os 2f-令 S：=0，得 cos 寸=3333 - -1 1 . 10 分8记区间(0,壬)内余弦值等于 仝1的角为盹(唯一存在).列表：38e（0, a）日。個,申s，+0S增函数极大值减函数又当二 w 时，S =32sin2r 在匸，二）上的单调减函数，323 2所以当V -0即 cos，二上时，矩形的面积最大. . 16 分8佃.（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 .y_.b - 0）过点（1,-T3），离心率为丿，又椭a b22圆内接四边形 ABCD （点 A、B、C、D 在椭圆上）的对角线 AC, BD 相交于点 P（1,；），且=厂 ,2所求椭圆

11、的方程为 &，y2=1. 6 分42(2)解：设 A X1, y1,则X1y12=1.4由 AP =2PC ,得 C ,34y1 . 8 分28（1 ） 求椭圆的方程；（1）解：依题意,caa2cJ2，.2_32=1,解得a2=44b2b2=1.=a2-b2.BP =2PD 22-10 于数列bn，记它们的总和为Pn,并且有Pnn21-2 .11 分2014P45-22 245 (451)c207120142 -2 -2 0 ,2014P44-222244 (441)J981/C332 (2-1)-2：0.3 - Xi/_ L 代入椭圆方程远 y2=1，得一2上44，4*82整理，得-

12、4 - yi|(xiyj票=0 , .10分即& % = -1. 12 分8设 B X?,y2，同理可得 X2 y2_ -8 . 14 分3，得.一 _1，即直线 AB 的斜率为 k =/ 比-1. . 16 分X2X1X2X12020.(本小题满分 16 分)已知等差数列an、等比数列bn满足 a 什 a2= a3, Sb2= bg,且 a3, a2+ b1, aj+ b2成等差数列， a1, a2,b2成等比数列.(1 )求数列an和数列bn的通项公式；(2 )按如下方法从数列an和数列bn中取项：第 1 次从数列an中取 a1,第 2 次从数列bn中取 b1, b2,第 3 次从

13、数列an中取 a2, a3, a4,第 4 次从数列bn中取 b3, b4, b5, b6,第 2n- 1 次从数列an中继续依次取 2n 1 个项, 第 2n 次从数列 bn中继续依次取 2n 个项，由此构造数列cn: a1, b1, b2, a2, a3, a4, b3, b4, b5, a5, a6, a?, a8, a?, b?, b8,b9, So, bn, bn,，记数列Cn的前 n 和为 Sn求满足 Sn 22019的最大正整数 n.(1 )解：设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为q,印(q d) a2d,依题意，得dgq)=biq2,解得 a1=d=1, b1=

14、q=2.佝 +2d) +佝 +dq) =2佝 +d) +d,(印 +d)2=a1(dq).故 an= n, bn=2n.(2)解：将 a1, b1, b2记为第 1 组，a2, a3, a4, b3, b4, b5, b6记为第 2 组，a5, a6, a?,氏,a9, b?, b8, b9, b1o, bn, bn 记为第 3 组， 以此类推，则第 n 组中，有 2n 1 项选取 于数列an ，有 2 n 项选取于数列bn，前 n 组共有 n2项选取于数列an，有 n2+ n 项选取13 分-11 2 245 (451)22019、当 Sn2+( 2+ 2 + 2)时，2 2Sn一 2201

15、413一245( (4；J Jo .可得到符合 Sn 1.11.yzzx xy x y z证明：因为 x, y, z 均为正数， 所以x y 1 yx2. 4分yz zx z x y z同理可得z y 2,z2. 7分xy zx xyzxy y当且仅当 x=y=z 均时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2,得冬上 Z 1 1 丄. 10 分yz zx xy x y z【必做题】 2222.（本小题满分 10 分）如图，设 R , P2，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S .（2 ）求 S 的分布

16、列及数学期望 E（S）.解：（1 ）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有 C6种不同选法，其中 S 二吕的为有一个角是30 的直角三角形（如 RP4F5）,共 6=12 种，所以 P S 二于. 3 分(1 )求 S =(第22题)-15(2) S 的所有可能取值为 -1 ,. s= 的为顶角是 120；的等腰三角形(如 RP2P3),4244共 6 种，所以 P S36r41C335 分_10 .s =翠的为等边三角形(如PRB ),共 2 种，所以 P(S=3f 匸：；.7 分又由(1)知 P s3-写=2fC3：3，故 s 的分布列为5S423/34P33110510所以 E(S)3

17、339-. 10 分v 741025410202323.(本小题满分 10 分)已知 1，2,，n满足下列性质 T 的排列 a1, a2，an的个数为 f(n) (n2,且 n N N*).性质 T: 排列a1,a2，an中有且只有一个 4 1(i1 ,2 ,，nT ).(1) 求 f(3);(2) 求f(n).解：(1)当 n =3 时，1, 2, 3 的所有排列有(1 , 2, 3),(1 , 3 , 2),(2 , 1, 3), (2 , 3 , 1),(3 ,1, 2) , (3 , 2, 1)，其中满足仅存在一个i1 ,2 , 3,使得 aiah 的排列有(1 , 3, 2) , (2 ,1, 3) , (2 , 3 , 1) , (3 , 1,2),所以