第11讲阿氏圆最值模型解析版

1、 中考数学几何模型 11:阿氏圆最值模型 名师点睛拨开云雾开门见山 在前面的胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB 最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的阿氏圆”问题. 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k(kwi),则满足条 件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” 如图 1 所示，OO 的半径为 R,点 A、B 都在。O 外，P 为。O 上一动点，已知 R=COB, 5 连接 PAPB,则当“PA+2PB”的值最小时，P 点的

2、位置如何确定？ 5 解决办法：如图 2,在线段 OB 上截取 OC 使 OC=2R,则可说明 ABPO 与 APCO 相似，则有-PB=PCo 55 故本题求“PA+2PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点，P 为动点，故当 A、 5 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算PAkgPB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点 P 使得PAkgPB的值最小，解决步骤具体如下: 1.如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP,OB【模型建立】 1 【分析】这个问题最大的难点在于转化,PA,此处

3、 P 点轨迹是圆，注意到圆 C 半径为 2,CA=4, 22.计算出这两条线段的长度比 OP OB 一OCPC. 3.在 OB 上取一点 C,使得k,即构造POMSBOP,则k,PCkgPBOPPB 4.则PAkgPB=PAPCAC,当 A、P、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维 例题 1.如图，在 RtAABC 中，/C=90,AC=4,BC=3,以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C,分别交 探究重点 AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则 连接 CP,构造包含线段 AP的 ACPA,在 CA边上取点 M 使得 CM=2, 连接 PM,可得CPAsCMP,故

4、 PA: 问题转化为 PM+PBBM 最小值，故当 B,P,M 三点共线时得最小值，直接连 变式练习 1 .如图 1,在 RTAABC 中，/ACB=90 ,CB=4,CA=6,圆 C 的半径为 2,点 P 为圆上一动点，连接 一237_ 答案:=寸37=237,=7,=2庖. ，3 解答解答* *如图2,2,逐接CP,CP,因为CPECPE，AC=6c=4,优单推算得”=!，冬=!.而题AC3 3CR2 目中是求ZP+LBN其中的故舍弃在上取点，应用生所以在22 2CB2 上取一点D.D.使8=1,8=1,则有器二音二崇二J J，无论户如何移动，APCD 与 ABCP 始纯相似.故PC二,即

5、始终成立.所以4/?4/?尸=+尸门*其中人力为定点,故4 4p p、2 22 力二点共线时最小，月F F卜-BP=APPD=AD=AC2+CD2=若求呢？） 2 23 3 5一 例题 2.如图，点 C 坐标为（2,5）,点 A 的坐标为（7,0）,OC 的半径为J10,点 B 在 OC 上一动点，OBAB 5 的最小值为 PM=2:1,即 PM=IPA 2 AP.BP, 变式练习 2 .如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A(6,-1),M(4,4),以 M 为圆心，24 万为半径画圆，O 为原点，P 是。 M 上一动点，则 PO+2PA 的最小值为. 连接 PB、CO,AD 与 CO 交于

6、点 M, ，AB=BD=4,BD 是切线，/ABD=90 ,ZBAD=ZD=45 , AB 是直径，./APB=90, .ZPAB=ZPBA=45,，PA=PB,POXAB, 1,AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1,BD=2,P 遍上一动点，求 mPC+PD 2 答案 :5. 答案 :10. 例题 3.如图，半圆的半径为 的最小 ，AC=PO=2,AC/PO,二.四边形 AOPC 是平行四边形，OA=OP,/AOP=90 ,，四边形 AOPC 是正方形, -.DM CO,.此时匹 PC+DP 最小=AD-AM= 2 2 变式练习 3 .如图，四边形 ABCD 为边长为 4 的正方形，O

7、B 的半径为 2,P 是。B 上一动点，则 PD+PC 的最小值 为5;72PD+4PC 的最小值为 10 匹. .寸叵 PD+4PC 的最小值为 10 也.故答案为 5,1 诋.，PM= 返PC,. 2 2L1PC+PD=PM+PD=DM, 【解答】解：如图，连接 PB、在 BC 上取一点 E,使得 BE=1. PD+LC的最小值为 5.2 连接 DB,PB,在 BD 上取一点巳使得 BE ,连接 EC,作 EFXBCTF. BPBE BDBP ./PBE=/PBD,PBEADBP, -_-PE-PD ,PEPD, PDBD44 7PD+4PC=4(苧 PD+PC)=4(PE+PC) .PE

8、+PC 壬 C,在 RtAEFC 中，EF ，FC= PB2=4,BE 轨=4,1.PB2=BE?BC, 里=典 BCPB .PE+PDOE,在 RtDCE 中，DE=yl=5, ./PBE=/CBE, PB2=4,BE?BD= ,BP2=BE?BD, 二吁9C的最大值为一亘一. 图 1 【解答】解：(1)如图 图 2 3 中， 最大值为 变式练习 4 .(1)如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 9,圆 B 的半径为 6,点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD(2)如图 2,已知菱形 ABCD 的边长为 4,ZB=60 ,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 例

9、题 4.如图，已知正方 ABCD 的边长为 6,圆 B 的半径为 3,点 P 是圆 B 上的一个动点，则 PDPC 的 2 【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=3,根据题意要求构造 二 PC,在 BC 上取 M 使得此时 PM=-, 则在点 P 运动的任意时刻，均有PM=1PC,从而将问题转化为求 2 PD-PM 的最大值. 连接 PD,对于 4PDM, PD-PMVDM,故当 D、M、 15 P 共线时，PD-PM=DM 为最大值一. 2 的最小值为 PD- 2氏的最大值为Vios. 3- D PD+/PC 的最小值为 例题 5.如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 A

10、B 交于 A(-4,-4),B(0,4)两点，直线 AC:y=-1x-6 2 交 y 轴于点 C.点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F,交抛物线于点 G. (1)求抛物线 y=-x2+bx+c 的表达式； (2)连接 GB,EO,当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标； (3)在 y 轴上存在一点 H,连接 EH,HF,当点 E 运动到什么位置时，以 A,E,F,H 为顶点的四边形是 矩形？求出此时点 E,H 的坐标；在的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为。E 上一动 1 点，求一 AM+CM 它的最小值. 2 PD+工

11、 PC=DP+PG,3 当 D、G、P 共线时，PD+3PC 的值最小，最小值为 DG= PD-2PC=PD-PGBG, 3 当点 P 在 DG 的延长线上时，PD-_PC 的值最大，最大值为 2 故答案为J.J=刁 DG4/106 (2)如图 4 中，在 BC 上取一点 G,使得 BG=1,作 DFLBC 于 F. PC PG= PBPB PC,2 PD+士 PC=DP+PG, 2 .DP+PGG,当 D、 在 RtACDF 中，/DCF=60 ,CD=4,.DF=CD?sin60=2 后在 RtAGDF 中，DG= PD ?PC=PD-PGBG, 当点 P 在 DG 的延长线上时，PD-

12、PC 的值最大(如图 2 中)，最大值为 DG=。街 三=盟=2,PG PCPB3 BC PB2 /PBG= .PBGACBP,.PG-BG-l 2, A(-4,-4),B(0,4)在抛物线 y=-x2+bx+c 上, 的=-2 1,，抛物线的解析式为 y=-x2-2x+4; (2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+n 过点A,B, 口=4 尸 2 .卜 4+n=-q.E=4,.直线AB的解析式为 y=2x+4, 设 E(m,2m+4),G(m,-m2-2m+4), 四边形 GEOB 是平行四边形，EG=OB=4, -m2-2m+4-2m-4=4,1.m=-2,.G(-2,4); (3)如图

13、 1, 由(2)知，直线 AB 的解析式为 y=2x+4,设 E(a,2a+4), ;直线 AC:y=x-6,1-F(a,a6),设 H(0,p), 22 以点 A,E,F,H 为顶点的四边形是矩形， 直线 AB 的解析式为 y=2x+4,直线 AC:y=-1x-6, 2 .ABAC,EF 为对角线， 一(4+p)=(2a+4a-6), 222 .a=-2,P=T,.E(-2,0).H(0,T); 如图 2, 由知，E(2,0),H(0,-1),A(4,4),.EH=75,AE=2J5,设 AE 交。E 于 G,取EG 的中点 P,PE= 2 连接 PC 交。E 于 M,连接 EM,EM=EH

14、=1R, ,5. ,PE21.ME%51.PEME1 ME，512AE2512MEAE_2 一._PE ./PEM=ZMEA,PEMsMEA ME -PM=1AM,1AM+CM 的最小值=PC,设点 22 E(-2,0),PE=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2, ,.PE=，.=5(p+2)2=-r, (16+c=4 ,Ic=4 (-4+0)=(a+a), 22 ME1 =， AE2 P(p,2p+4), 【解答】解：(1)二点 p=5或 p=-3(由于 E(-2,0),所以舍去)，.P(5,-1), 222 C(0,一 6),.PC=H)”：小即：1AM+CMnWL 222 变式

15、练习 5.如图 1,抛物线 y=ax2+(a+3)x+3(awQ 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B,在 x轴上有一动点 E(m,0)(0vmv4),过点 E 作x 轴的垂线交直线 AB 于点 N,交抛物线于点 P,过点 P 作 PMXAB 于点 M. (1)求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； (2)设 4PMN 的周长为 Ci, OE；旋转角为a(0 a90 ),连 (x+1)(ax+3)=0,x= -1 或-J-a :抛物线 y=ax2+(a+3)x+3(awQ 与 x轴交于点 A(4,0), ，q 直线 AB 斛析式为 y=-x+3. 4 (2)如图 1 中，PM

16、XAB,PEXOA, ./PMN=/AEN,/PNM=/ANE,/.APNMAANE, NE/OB, AN AB ,AN=OA (4m) 抛物线解析式为 :-21-1C y=x2+x+3, 44 ,求 m 的值; AEN 的周长为 C2,若 (3)如图 2,在(2)条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 【解答】解：(1)令 y=0,则 ax2+(a+3)x+3=0, 设直线 AB 解析式为 y=kx+b,则 .A(4,4 qm+3m -=旦,解得 m=2. 最小值=AM= 达标检测 1 .如图，在 RTAABC 中，/B=90 ,AB=CB=2 以点 B 为圆心作圆与 AC 相切，圆

17、 C 的半径为 J2,点 P 为 圆 B 上的一动点，求AP返PC的最小值. 2 答案:J5.m2+3m,4 (3)如图 2 中，在 y 轴上取一点 M 使彳导OM= AM,在 AM上取一点 E 使彳导OE=OE. OE=2,OMOB= 33=4, .OE2=OMOB, .uE /BOE=ZMOE； BE 最小 10. 领悟提升强化落实 O (两点间线段最短，A、M、E 共线时)， =AEEM=AM,此时 AE 2 .如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为 OO,P 是。O 上一动点，则 J2PA+PB 的最小值为 答案:2 娓. 3 .如图，等边 4ABC 的边长为 6,内切圆记为 OO,P

18、 是。O 上一动点，则 2PB+PC 的最小值为 1 4 .如图，在 R 匕 ABC 中，ZC=90,CA=3,CB=4,eC的半径为 2,点 P 是eC上的一动点，则AP一2 PB 的最小值为? FCHFCH与ACPACP始终相似故再/1818尸始终成立，所以如“!尸口MP+PH,MP+PH,其中从d d为 定点定点 故巾故巾R/ /三点共线时局小三点共线时局小, , 二二PH= =正犷正犷+ += =布布. .（国考（国考E若求若求 5 .如图，在平面直角坐标系中，A2,0,B0,2,C4,0,D3,2,P 是AOB 外部第一象限内的 一动点，且/BPA=135。，则2PDPC的最小值是多

19、少? 答案4亚 6 .如图，RtAABC,/ACB=90 ,AC=BC=2,以 g 为顶点的正方形 CDEF（C、D、E、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且 CD=V2,连接 AF,BD 求证：BDCAFC; 当正方形 CDEF 有顶点在线段 AB 上时，直接写出 BD+返 2 2 (3) 直接写出正方形 CDEF 旋转过程中，BD 解答，解答，如图如图 连接连接（ LI算算 CP CH ；，；，故选择在故选择在（8上上取点，构造取点，构造 T T 核武器核武器H “母子型相似模型修母子型相似模型修，取点取点M使使开开; ;1,则有则有 BHP = =- -, ,所以无所

20、以无论尸如论尸如M移动移动, , (2) AD 的值; B I) +AD 的最小的最小值值. . 2 2 【解答】(1)证明：如图 1 中， 四边形 CDEF 是正方形， ，CF=CD,ZDCF=ZACB=90 ,./ACF=/DCB, AC=CB, .FCAADCB(SAS). (2)解：如图 2 中，当点 D,E 在 AB 边上时， .AC=BC=2,/ACB=90 , .AB=2V2, .CDXAB, AD=BD=/2,BD+! 1AD=V2+1. LII 如图 3 中，当点 E,F 在边 AB 上时. BD=CF=V2,AD= BD+=AD= 2 2 (3)如图 4 中.取 AC 的中点 M.连接 DM,BM. CD=172,CM=1,CA=2, .CD2=CM?CA, .U_=CE./DCM=/ACD, CACACDCD .DCMAACD, 绵 DM=-AD, 2 V2 BD+AD=BD+DM, 2_2_ 当 B,D,M 共线时，BD+*AD 的值最小， 最小值=k/cB2+c=诏 7.(1)如图 1,在ABC 中，AB=AC,BD 是 AC 边上的中线，请用尺规作图做出 AB 边上的中线 CE,并 证明 BD=CE:地=3 ADAC Si (2)如图 2,已知点 P 是边长为 6 的正方形 ABCD 内部一动点，