线性规划和单纯形法学习教案

1、会计学1线性规划线性规划(xin xn u hu)和单纯形法和单纯形法第一页，共115页。1.1 线性规划线性规划(xin xn u hu)数学数学模型模型 Mathematical Model ofLinear Programming第2页/共115页第二页，共115页。线性规划（线性规划（Linear Programming,缩写为缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。域更广泛和深入。线性规划通常研究资源的最优

2、利用、设备线性规划通常研究资源的最优利用、设备(shbi)最最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备(shbi)、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。、利润最大）。第3页/共115页第三页，共115页。【例【例1.11.1】最优生

3、产计划问题。】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备些产品分别需要要在设备A A、B B上加工，需要消耗材料上加工，需要消耗材料C C、D D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表的资源如表1.11.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200200台时，可供材料分别为台时，可供材料分别为360360、300300公斤公斤( (nn jn) jn)；每；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获

4、得利润分别为生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为4040、3030、5050元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？应用应用(yngyng)模型举例模型举例第4页/共115页第四页，共115页。 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资源现有资源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50表表1.1 产品产品(chnpn)资资源

5、消耗源消耗第5页/共115页第五页，共115页。321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，【解】设【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品分别为甲、乙、丙三种产品(chnpn)的产量数学模型为：的产量数学模型为： 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资现有资源源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50最优解最优解X=(50,30,10);Z=3400目标目标

6、(mbio)函数函数资源资源(zyun)约束约束第6页/共115页第六页，共115页。线性规划的数学模型由线性规划的数学模型由 决策变量决策变量 Decision variables 目标函数目标函数 Objective function约束条件约束条件 Constraints构成构成(guchng)。称为三个要素。称为三个要素。n其特征是：其特征是：n1解决问题的目标解决问题的目标(mbio)函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或 最小值；最小值；n2解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。解决问题的约束条件是一组多个决策

7、变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型怎样辨别一个模型(mxng)是线性规划模型是线性规划模型(mxng)？第7页/共115页第七页，共115页。【例【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息天后连续休息2天，轮流休息。根据天，轮流休息。根据(gnj)统计，商场每天需要的营业员如表统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。所示。表表1.2 营业员需要量统计表营业员需要量统计表商场人力资源部应如何商场人力资源部应如何(rh)安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。 星期星期需要人数需要人数星期星期需要人数

8、需要人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400第8页/共115页第八页，共115页。【解】【解】 设设 xj (j=1，2，7)为休息为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个(zh ge)问题的线性规划模型为问题的线性规划模型为 7, 2, 1, 0550600480400350300300min765436543254321743217632176521765417654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZj星星期期需要需要人数人数星星期期需要需要人

9、数人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400目标函数目标函数(hnsh)：总人数最少：总人数最少约束条件：上班约束条件：上班(shng bn)人数大于每天需要人数人数大于每天需要人数第9页/共115页第九页，共115页。1 1 X1X10 0 C1C1404404 =3003001041042 2 X2X26767 C2C2301301 =3003001 13 3 X3X3146146 C3C3350350 =3503500 04 4 X4X4170170 C4C4400400 =4004000 05 5 X5X59797 C5C5480480 =4804800

10、 06 6 X6X6120120 C6C6600600 =6006000 07 7 X7X71717 C7C7550550 =5505500 0最优解：最优解：Z617（人）（人）第10页/共115页第十页，共115页。【例【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为为4 m。现在要制造。现在要制造(zhzo)1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？辆汽车，最少要用多少

11、圆钢来生产这些轴？ 【解】这是个条材下料问题【解】这是个条材下料问题 ，设切口，设切口(qi ku)宽度为零。宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式表示，求这个不等式关于关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有组，也就是有10种下料方式，如种下料方式，如表表1.3所示。所示。表表13 下料方案下料方案(fng n) 方案方案规格规格 1234 5678910需求

12、量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5第11页/共115页第十一页，共115页。设设xj ( j = 1,2,10)为第为第j种下料方案种下料方案(fng n)所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为: 方案方案规格规格 1234 5678910需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（

13、m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5102 , 1, 010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果。如果(rgu)方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进

14、行初选。方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。第12页/共115页第十二页，共115页。1 1 X1X15005002 2 X2X20 03 3 X3X30 04 4 X4X40 05 5 X5X50 06 6 X6X662.562.57 7 X7X70 08 8 X8X80 09 9 X9X92502501010 X10X100 0Z812.5最优解：最优解：第13页/共115页第十三页，共115页。【例【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于，锌不多于15%，

15、铅恰好，铅恰好10%，镍要界于，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格(jig)如表如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表表1.4 矿石矿石(kungsh)的金属含量的金属含量 合金合金矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/

16、t ）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190第14页/共115页第十四页，共115页。解解: 设设xj（j=1,2，5）是第）是第j 种矿石数量，得到种矿石数量，得到(d do)下列线性规划模型下列线性规划模型 矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t ）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.

17、20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,5jxxxxj注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养(yngyng)问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。问题或混合问题，在许

18、多行业生产中都能遇到。第15页/共115页第十五页，共115页。1 1 X1X10 02 2 X2X20.33330.33333 3 X3X30 04 4 X4X40.58330.58335 5 X5X50.66670.6667最优解：最优解：Z=347.5第16页/共115页第十六页，共115页。第五年：第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年：第一年：x1+x2=200(万元万元)第二年：第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2第三年第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为到第六年实有资金总额为x9+2x

19、7，整理后得到，整理后得到(d do)下列线性规划模型下列线性规划模型 【解】设【解】设 x1：第一年的投资：第一年的投资(tu z)； x2：第一年的保留资金：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资：第二年新的投资(tu z)； x4：第二年的保留资金：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资：第三年新的投资(tu z)； x6：第三年的保留资金：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资：第四年新的投资(tu z) x8：第四年的保留资金：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金：第五年的保留资金【例【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都

20、有如下的投资方案万元资金，每年都有如下的投资方案(fng n)可供考虑采纳：可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。第17页/共115页第十七页，共115页。7912123413456356785789max22002220422204222042200,1,2,9jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj1

21、1 X1X155.284655.28462 2 X2X2144.7155144.71553 3 X3X3117.0732117.07324 4 X4X40 05 5 X5X552.032552.03256 6 X6X60 07 7 X7X7208.1301208.13018 8 X8X80 09 9 X9X90 0最优解：最优解：Z 416.26万元万元x1：第一年的投资：第一年的投资(tu z)； x2：第一年的保留资金：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资：第二年新的投资(tu z)；x4：第二年的保留资金：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资：第三年新的投资(tu z)； x6：第三

22、年的保留资金：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资：第四年新的投资(tu z) x8：第四年的保留资金：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金：第五年的保留资金第18页/共115页第十八页，共115页。【例【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备须经过设备A、B上加工，每件甲零件在上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间上的加工时间(shjin)分别为分别为5分钟和分钟和9分钟，每件乙零件在分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间上的加工时间(shjin)分别为分别为4分钟和分钟和10分钟

23、。现有分钟。现有2台台设备设备A和和3台设备台设备B，每天可供加工时间，每天可供加工时间(shjin)为为8小时。为了保持两种设备均衡负小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间荷生产，要求一种设备每天的加工总时间(shjin)不超过另一种设备总时间不超过另一种设备总时间(shjin)1小时。怎样安排设备的加工时间小时。怎样安排设备的加工时间(shjin)使每天产品的产量最大。使每天产品的产量最大。【解】【解】 设设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是)31,21min(21xxy 设备设备A、B每天加工每

24、天加工(ji gng)工时的约束为工时的约束为60831096082452121xxxx要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时小时(xiosh)的约束为的约束为 60)109()452121xxxx（第19页/共115页第十九页，共115页。目标函数目标函数(hnsh)线性化。产品的产量线性化。产品的产量y等价于等价于2131,21xyxy整理整理(zhngl)得到线性规划模型得到线性规划模型 约束约束(yush)线性化。将绝对值约束线性化。将绝对值约束(yush)写成两个不等式写成两个不等式60)109()45(60)109()45

25、(21212121xxxxxxxx121212121212m a x1213549 6 091 01 4 4 0466 0466 00Zyyxyxxxxxxxxxyxx、第20页/共115页第二十页，共115页。【例【例1.7】（书上】（书上P4例例1.1-1题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干，需搅拌题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干，需搅拌机机A1，成形机，成形机A2 ，烘箱，烘箱A3三种设备，每天的所需机时及机时限制，利润指标三种设备，每天的所需机时及机时限制，利润指标(zhbio)如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？【解】【解】 设

26、设x1、x2为每天生产为每天生产 、 两种饼干的产量（单位两种饼干的产量（单位(dnwi)：吨），则目标函数是吨），则目标函数是产 品 资产 品 资源源每天每天现现有工有工时时搅拌机搅拌机A13515成形机成形机A2215烘箱烘箱A32211利润利润/（百元（百元/吨吨）5412max 54zxx第21页/共115页第二十一页，共115页。约束条件有：约束条件有：搅拌机约束搅拌机约束(yush)成形成形(chn xn)机约束机约束烘箱烘箱(hngxing)约束约束非负约束非负约束123515xx1225xx122211xx120 xx ，本问题的数学模型本问题的数学模型1212121212ma

27、x 54. 5415 25 2211 0,0zxxstxxxxxxxx第22页/共115页第二十二页，共115页。【例【例1.8】（书上】（书上P6例例1.1-2题）运输问题。总公司收到上海题）运输问题。总公司收到上海B1，青，青岛岛B2 ，西安，西安B3三家商场三家商场(shngchng)的电机订单，需求分别为的电机订单，需求分别为100台，台，80台，台，90-120台，现有北京台，现有北京A1，武汉，武汉A2二个仓库，库存分别为二个仓库，库存分别为200台，台，150台，所需运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最台，所需运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？少？B1B2B3库存库

28、存A1152118200A2202516150需求需求1008090-120【解】【解】 设设 xij 为从仓库为从仓库 Ai 调到商场调到商场 Bj 的电机数量（的电机数量（i=1,2, j=1,2,3），则目标），则目标(mbio)函数是函数是111231212223min 152118202516zxxxxxx第23页/共115页第二十三页，共115页。库存库存(kcn)约束约束需求需求(xqi)约束约束非负约束非负约束(yush)111213200 xxx1121100 xx0, (1,2 ; 1,2,3)ijxij问题的数学模型问题的数学模型212223150 xxx12220 xx

29、8132390 xx1323120 xx1112132122231112132122231121122213231323min 152118202516. 200 150 100, 80 90, 120 0ijzxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxx第24页/共115页第二十四页，共115页。小结：建立线性规划数学模型小结：建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。关键的一步。建立正确的数学模型要掌握建立正确的数学模型要掌握3 3个要素：个要素：研究的问题是求什么，即设置研究的问题是求什么，即设置(shzh)(shzh)

30、决策变决策变量；量；问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。作业作业(zuy)：第1次作业(zuy).doc第25页/共115页第二十五页，共115页。线性规划的一般模型及标准形线性规划的一般模型及标准形一般地，假设线性规划数学模型中，有一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有个约束，有n个决策变量个决策变量xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数，目标函

31、数的变量系数(xsh)用用cj表示表示, cj称为价值系数称为价值系数(xsh)。约束条件的变量系数。约束条件的变量系数(xsh)用用aij表示，表示，aij称为工艺系数称为工艺系数(xsh)。约束条件右端的常数用。约束条件右端的常数用bi表示，表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成1 1221111221121 1222221 122max(min)(, )(, )(, )0,1,2,nnnnnnmmmnnmjZc xc xc xa xa xa xba xa xa xba xaxaxbxjn 或或或为了书写为了书写(sh

32、xi)方便，上式也可写成：方便，上式也可写成： 第26页/共115页第二十六页，共115页。11max(min)(, )1,2,0,1,2,njjjnijjijjZc xa xbimxjn 或在实际中一般在实际中一般xj0,但有时但有时xj0或或xj无符号无符号(fho)限制。限制。线性规划的一般线性规划的一般(ybn)模型模型第27页/共115页第二十七页，共115页。线性规划线性规划(xin xn u hu)的标的标准型准型Standard form of LP第28页/共115页第二十八页，共115页。在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便

33、，需将线性规划模型题方便，需将线性规划模型(mxng)化为统一的标化为统一的标准形式。准形式。线性规划问题线性规划问题(wnt)的标准型为的标准型为:1目标函数求最大值（或求最小值）目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程约束条件都为等式方程3变量变量xj非负非负4常数常数bi非负非负第29页/共115页第二十九页，共115页。mibnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaijmnmnmmnnnn,2, 1,0,2, 1,02211222222111212111max(或或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn注：本教材默认目标注：本教材默认目标(mbio)函数是函数是

34、min第30页/共115页第三十页，共115页。1minnjjjZc xminjxbxajnjijij, 2 , 1, 2 , 1, 01或写成下列或写成下列(xili)形式：形式：或用矩阵(jzhn)形式min. 0TZc xAxbstx第31页/共115页第三十一页，共115页。111211112122222212nnmmmnnmnaaaxbcaaaxbcAxbcaaaxbc ；通常通常 x 记为：记为： 称为约束方程的系数矩阵，称为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况是决策变量的个数，一般情况mn，且，且r()m。12(,)Tnxxxx其

35、中其中(qzhng):min. 0TZc xAxbstx第32页/共115页第三十二页，共115页。如何将一般模型如何将一般模型(mxng)化为标准形化为标准形对约束条件中含有对约束条件中含有“ ”的不等式的不等式(dngsh)，可在其左边加入一个非负变量（称为松驰变量），使之变为等式，可在其左边加入一个非负变量（称为松驰变量），使之变为等式(dngsh)。对约束条件中含有对约束条件中含有“ ”的不等式的不等式(dngsh)，可在其左边减去一个非负变量（称为剩余变量），使之变为等式，可在其左边减去一个非负变量（称为剩余变量），使之变为等式(dngsh)。对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变

36、量替换，如对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变量替换，如x1无符号限制，则令无符号限制，则令x1=x2x3， x2x3为非负变量。为非负变量。第33页/共115页第三十三页，共115页。【例【例1.9】将下列】将下列(xili)线性规划化为标准形线性规划化为标准形 3213minxxxZ无符号要求、32132132132100) 3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx【解】（）因为【解】（）因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正值也取正值也可取可取(kq)负值，标准型中要求变量非负，所以令负值，标准型中要求变量非负，所以令 0,33333 xxxxx其中第34页/

37、共115页第三十四页，共115页。3213minxxxZ无符号要求、32132132132100) 3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx(2) 第一个约束条件是第一个约束条件是号，在号，在左端加入左端加入(jir)松驰变量松驰变量 (slack variable) x4，x40,化为等式；化为等式；(4)第三个约束条件是第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在号且常数项为负数，因此在左边加入松驰变量左边加入松驰变量(binling)x6，x60，同时两边乘以，同时两边乘以1。 （5）目标）目标(mbio)函数是最小值，为了化为求最大值，令函数是最小值，为了化为求最大值，令Z

38、=Z,得到得到max Z=Z，即当，即当Z达到最小值时达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。达到最大值，反之亦然。 (3)第二个约束条件是第二个约束条件是号，在号，在 左端减去剩余变量左端减去剩余变量(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变量。也称松驰变量第35页/共115页第三十五页，共115页。综合起来综合起来(q li)得到下列标准型得到下列标准型 332133maxxxxxZ 05)(233826543321633215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、第36页/共115页第三十六页，共115页。 当某个变量当某个变量(binling)x

39、j0时时,令令x/j=xj 。 当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束 974321xxx将其化为两个将其化为两个(lin )不等式不等式 974974321321xxxxxx再加入再加入(jir)松驰变量化为等式。松驰变量化为等式。 第37页/共115页第三十七页，共115页。【例1.10】将下例线性规划(xinxnuhu)化为标准型无约束、211212145|maxxxxxxxxZ【解】此题关键是将目标(mbio)函数中的绝对值去掉。令 000000000000222222

40、2211111111xxxxxxxxxxxxxxxx，111111222222|,|,xxxxxxxxxxxx 则有则有第38页/共115页第三十八页，共115页。得到线性规划得到线性规划(xin xn u hu)的标准形式的标准形式 112211223114112234max()()540Zxxxxxxxxxxxxxxxxxx 、 、 、 、 、对于对于axb(a、b均大于零均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方法。的有界变量化为标准形式有两种方法。 一种一种(y zhn)方法是增加两个约束方法是增加两个约束xa及及xb 另一种另一种(y zhn)方法是令方法是令x=xa，则，则axb等价

41、于等价于0 xba，增加一个约束，增加一个约束xba并且将原问题所有并且将原问题所有x用用x= x+a替换。替换。第39页/共115页第三十九页，共115页。1.如何如何(rh)化标准形式？化标准形式？ 可以对照四条标准逐一可以对照四条标准逐一(zhy)判断！判断！ 标准形式是人为定义标准形式是人为定义(dngy)的，目标函数也可以是求最大值。的，目标函数也可以是求最大值。2.用用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。软件求解时，不必化成标准型。图解法时不必化为标准型。图解法时不必化为标准型。3.单纯形法求解时一定要化为标准型。单纯形法求解时一定要化为标准型。作业：教材作业：教材P63 T2

42、，3，6，8，10中的线性规划化为标准形。中的线性规划化为标准形。下一节：图解法下一节：图解法第40页/共115页第四十页，共115页。1.2 图解法图解法Graphical Method第41页/共115页第四十一页，共115页。若若x*满足约束条件，则称之为满足约束条件，则称之为LP问题的可行解。问题的可行解。所有可行解的集合称为可行域。所有可行解的集合称为可行域。使目标使目标(mbio)函数达到最优值的可行解称为最优解。函数达到最优值的可行解称为最优解。对给定的对给定的LP问题，若存在最优解，则称该问题，若存在最优解，则称该LP问题有解，否则称问题有解，否则称LP问题无解。问题无解。线性

43、规划线性规划(xin xn u hu)的标准形的标准形11min1,2,0,1,2,njjjnijjijjZc xa xbimxjn几个几个(j )概念概念第42页/共115页第四十二页，共115页。图解法的步骤图解法的步骤(bzhu)：1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是(jish)可行解集合，或称为可行域；可行解集合，或称为可行域；2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加，矢量的方向就是目标函数增

44、加(zngji)的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；3.求最优解。求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。最优解。一般地，将目标函数直线放在可行域中一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动求最小值时沿着矢量的反方向移动第43页/共115页第四十三页，共115页。x1x2

45、O1020304010203040(3,4)(15,10)最优解最优解X=(15,10)最优值最优值Z=8540221 xx305 . 121xx0, 0305 . 1402212121xxxxxx例例1.112143maxxxZ第44页/共115页第四十四页，共115页。246x1x2246最优解最优解X=(3,1)最优值最优值Z=5(3,1)006346321212121xxxxxxxx、minZ=x1+2x2例例1.12(1,2)第45页/共115页第四十五页，共115页。246x1x2246X（2）（3,1）X（1）（1,3）(5,5)006346321212121xxxxxxxx、m

46、inZ=5x1+5x2例例1.13有无穷多个有无穷多个(du )最优解最优解即具有多重解即具有多重解,通解通解为为 01 ,)1 ()2() 1 (XXX当当=0.5时时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2) 第46页/共115页第四十六页，共115页。246x1x2246(1,2)006346321212121xxxxxxxx、无界解无界解(无最优解无最优解)maxZ=x1+2x2例例1.14第47页/共115页第四十七页，共115页。x1x2O102030401020304050500, 050305.140221212121xxxxxxxx无可行无可行(kxng

47、)解解即无最优解即无最优解maxZ=10 x1+4x2例例1.15第48页/共115页第四十八页，共115页。由以上例题由以上例题(lt)可知，线性规划的解有可知，线性规划的解有4种形式：种形式：1.有唯一有唯一(wi y)最优解最优解(例例1.11例例1.12)2.有多重解有多重解(例例1.13)3.有无有无(yu w)界解界解(例例1.14)4.无可行解无可行解(例例1.15)1、2情形为有最优解情形为有最优解3、4情形为无最优解情形为无最优解第49页/共115页第四十九页，共115页。1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点作图的关

48、键有三点 (1)可行解区域要画正确可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行目标函数的直线怎样平行(pngxng)移动移动作业作业(zuy)：教材：教材P63 T1，2，3 下一节：线性规划的有关下一节：线性规划的有关(yugun)概念及基本定理概念及基本定理第50页/共115页第五十页，共115页。1.4 线性规划线性规划(xin xn u hu)的有关概念的有关概念Basic Concepts of LP第51页/共115页第五十一页，共115页。1. 线性规划常用的概念：凸集、凸组合、极点（凸点线性规划常用的概念：凸集、凸

49、组合、极点（凸点）、可行）、可行(kxng)解、基本解、基本解、基本解、基本 可行可行(kxng)解解、最优解、基本最优解、基、可行、最优解、基本最优解、基、可行(kxng)基、最优基、最优基基2.线性规划的三个基本线性规划的三个基本(jbn)定理。定理。第52页/共115页第五十二页，共115页。凸集凸集(Convex set)设设K是是n维空间的一个点集，对任意维空间的一个点集，对任意(rny)两点两点 时，则称时，则称K为凸集。为凸集。,)2()1(KXX、) 10()1 ()2()1(KXXX当 就是以就是以X（1）、X（2）为端点的线段方程，点为端点的线段方程，点X的位置由的位置由的

50、值确定，当的值确定，当=0时，时，X=X（2），当，当=1时时X=X（1）)2()1()1 (XXX凸组合凸组合(Convex combination) 设设 是是Rn 中的点若存在中的点若存在 使得使得 成立，成立， 则称则称X为为 的凸组合。的凸组合。)()2()1(,KXXXX及，且，021iK11KiiiKiiXX1)()2()1(,KXXX第53页/共115页第五十三页，共115页。极点极点(Extreme point) 设设K是凸集，是凸集， ，若，若X不能用不能用K中两个不同的中两个不同的 点点 的凸组合的凸组合(zh)表示为表示为KX )2()1(, XX )10()1()2(

51、)1( XXX则称则称X是是K的一个的一个(y )极点或顶点。极点或顶点。 X X是凸集是凸集K K的极点是指的极点是指X X不可不可能是能是K K中某一线段的内点，中某一线段的内点，只能只能(zh nn(zh nn) )是是K K中某中某一线段的端点。一线段的端点。 1Q2QO3Q4Q第54页/共115页第五十四页，共115页。 设线性规划的标准型设线性规划的标准型 min Z=CX （1.1） AX=b （1.2） X 0 （1.3）式中式中A 是是mn矩阵，矩阵，mn并且并且r（A）=m，显然，显然A中至少中至少(zhsho)有一个有一个mm子矩阵子矩阵B，使得，使得r（B）=m。基基

52、(basis)A中中mm子矩阵子矩阵B并且有并且有r（B）=m，则称，则称B是线性规划的一个基（或基矩阵是线性规划的一个基（或基矩阵basis matrix ）。当）。当m=n时，基矩阵唯一，当时，基矩阵唯一，当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过mnC第55页/共115页第五十五页，共115页。【例【例1.14】线性规划】线性规划(xin xn u hu) 32124maxxxxZ12341235 531062 2 0,1,5jxxxxxxxxxj 求所有求所有(suyu)基矩阵。基矩阵。 【解】约束方程的系数【解】约束方程的系数(xsh)矩阵为矩阵为

53、25矩阵矩阵 10261001115A,610151B,010152B,110053B26114B10019B,12017B,02118B,16016B,06115B容易看出容易看出r(A)=2，2阶子矩阵有阶子矩阵有C52=10个，其中第个，其中第1列与第列与第3列构成的列构成的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即个，即第56页/共115页第五十六页，共115页。由线性代数知，基矩阵由线性代数知，基矩阵(j zhn)B必为非奇异矩阵必为非奇异矩阵(j zhn)并且并且|B|0。当矩阵。当矩阵(j zhn)B的行列式等于零（即的行列式等于零（即|B|=0）时就不是

54、基）时就不是基 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应(duyng)的列向量称为基向量的列向量称为基向量(basis vector)，其余列向量称为非基向量，其余列向量称为非基向量 基向量基向量(xingling)对应的变量称为基变量对应的变量称为基变量(basis variable)，非基向量，非基向量(xingling)对应的变量称为非基变量对应的变量称为非基变量 在上例中在上例中B2的基向量是的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，x1、x4是基变量，是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变量

55、、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。是非基变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。010152B10261001115A第57页/共115页第五十七页，共115页。可行可行(kxng)解解(feasible solution) 满足式（满足式（1.2）及（）及（1.3）的解）的解x=（x1,x2，xn)T 称为可行称为可行(kxng)解解 。基本基本(jbn)可行解可行解(basis feasible solution) 若基本若基本(jbn)解是可行解则称为是基本解是可行解则称为是基本(jbn)可行解（也称基可行

56、解）。可行解（也称基可行解）。 例如例如(lr)， 与与X=(0，0，0，3，2)都是例都是例1 的可行解。的可行解。 TX) 1 ,27,21, 0 , 0( 基本解基本解(basis solution) 对某一确定的基对某一确定的基B，令非基变量等于零，利用式（，令非基变量等于零，利用式（1.） 解出基变量，则这组解称为基解出基变量，则这组解称为基的基本解。的基本解。 最优解最优解(optimal solution) 满足式满足式 （1 .1）的可行解称为最优解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解）的可行解称为最优解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如

57、可行解 是例是例2的最优解。的最优解。TX)8 ,0,0,0,53(非可行解非可行解(Infeasible solution) 无界解无界解 (unbound solution)第58页/共115页第五十八页，共115页。显然，只要基本解中的基变量的解满足式（显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.）的非负要求）的非负要求(yoqi)，那么这个基本解就是基本可行解。，那么这个基本解就是基本可行解。 在例在例1.13中，对来说，中，对来说，x1,x2是基变量是基变量(binling)，x3,x4，x5是非基变量是非基变量(binling)，令，令x3=x4=x5=0，则式（，则式（1.）为）为

58、2610352121xxxx,610151B对对B2来说，来说，x1,x4,为基变量，令非变量为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式为零，由式（1.2）得到）得到 ，x4=4，511x因因|B1|，由克莱姆法则，由克莱姆法则(fz)知，知，x1、x2有唯一解有唯一解x12/5,x2=1则则 基本解为基本解为TX)0 , 0 , 0 , 1 ,52()1(第59页/共115页第五十九页，共115页。由于由于 是基本解，从而它是基本可行解，在是基本解，从而它是基本可行解，在 中中x10i表表1-4(1)XBx1x2x3x4bx3211040 x4130130j3400 (2)x3x2j (3

59、)x1 x2 j 基变量基变量(binling)110001/301/3105/31- -1/3405/30- -4/330103/5- -1/51801- -1/5 2/5400- -1- -1将将3化为化为1乘以乘以1/3后得到后得到(d do)3018第70页/共115页第七十页，共115页。最优解最优解X=(18，4，0，0)T，最优值，最优值Z=70O20301040(3,4)X(3)=(18,4)最优解最优解X=(18,4)最优值最优值Z=7040221 xx305 . 121xx0,30340243max432142132121xxxxxxxxxxxxZX(1)=(0,0)201

60、0 x2x1300, 0305 . 1402212121xxxxxxX(2)=(0,10)第71页/共115页第七十一页，共115页。单纯形法全过程的计算，可以单纯形法全过程的计算，可以(ky)用列表的方法计算更为简洁，这种表格称为单纯形表（表用列表的方法计算更为简洁，这种表格称为单纯形表（表1.4）。）。计算计算(j sun)步骤：步骤：1.求初始基可行求初始基可行(kxng)解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零；解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零； 2.判断：判断： （a）若）若j（j，n）得到最解；）得到最解； （b）某个）某个k0且且aik