数列的极限99398学习教案

1、数列数列(shli)的极限的极限99398第一页，共30页。例例如如(lr)其中其中(qzhng)的每个数称为数列的项的每个数称为数列的项,nx为为通项通项(一般项一般项).nx数列数列(1)记为记为第1页/共30页第二页，共30页。注：注：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数列是整标函数数).(nfxn 第2页/共30页第三页，共30页。R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA引例引例(yn l)1 1

2、、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽第3页/共30页第四页，共30页。我国古代(gdi)魏末晋初的杰出数学家.他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小,割之又割割之又割 , 以至于不可以至于不可(bk)割割 ,则与圆合体则与圆合体(h t)而无所失矣而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :第4页/共30页第五页，共30页。数列数列(shli)的极限的极限问题问题(wnt):当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某是否无限接近于某一确定的数值一确定的数值?nxn通过观察通过观察:问题问题

3、(wnt):“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.第5页/共30页第六页，共30页。第6页/共30页第七页，共30页。定义定义: 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), 总存在总存在(cnzi), 使得使得(sh de)当当时，时， 均有均有 axn成立成立则称则称是是 的极限的极限(jxin),收敛于收敛于 ，或或记作记作 ).( naxn 或或如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.x1x2x1 Nx3x几何解释几何解释: a aa第7页/共30页第八页，共30页。例如例如(lr

4、)：)(1 n趋势趋势(qsh)不定不定收收 敛敛发发 散散第8页/共30页第九页，共30页。数列极限数列极限(jxin)的定义未给出求极限的定义未给出求极限(jxin)的方法的方法.例例1证证所以所以(suy),注：注：第9页/共30页第十页，共30页。例例2证证所以所以(suy),说明说明(shumng):常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.关键关键(gunjin):对应任意给定对应任意给定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 第10页/共30页第十一页，共30页。例例3证证, 0 任给任给,时时则当则当Nn 第11页/共30页第十二页，共30页。收敛收敛

5、(shulin)数列的性数列的性质质1.1.收敛数列收敛数列(shli)(shli)的极的极限唯一限唯一. .证证: : 用反证法用反证法.假设假设(jish)且且取取故存在故存在 N1 , 使当使当 n N1 时时, 从而从而故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 从而从而则当则当 n N 时时, 矛盾矛盾! 因此因此 数列数列是发散的是发散的. . 第12页/共30页第十三页，共30页。2. 2. 收敛收敛(shulin)(shulin)数数列一定有界列一定有界. .证证: 设设取取则则当当时时, 有有从而从而(cng r)有有取取 则有则有由此证明收敛由此证明收敛(shuli

6、n)数列必有界数列必有界. 反之不成立，反之不成立，即即 ：有界数列未必收敛。：有界数列未必收敛。注：注：无界数列必定发散。（逆否命题）无界数列必定发散。（逆否命题）第13页/共30页第十四页，共30页。数列数列(shli)有界有界例如例如(lr),有界有界无无界界x1x2x2 Nx1 Nx3x几何几何(j h)解释解释: 2 a aa第14页/共30页第十五页，共30页。若若且且时时, , 有有证证:对对 a 0 ,取取ax2a2a推论推论(tuln):若数列若数列(shli)从某项起从某项起(用反证法证明用反证法证明)第15页/共30页第十六页，共30页。思考思考题题第16页/共30页第十

7、七页，共30页。思考题解答思考题解答(jid)(jid)不能保证不能保证(bozhng).(bozhng).例例xxf1)( 有有01)( xxf第17页/共30页第十八页，共30页。由此性质由此性质(xngzh)(xngzh)可知可知 , ,若数列有两个子数列收敛若数列有两个子数列收敛(shulin)(shulin)于于不同的极不同的极限限 或有一个子数列发散或有一个子数列发散, ,例如，例如， 发散发散 ! !则原数列一定发散则原数列一定发散 . .注注: : 第18页/共30页第十九页，共30页。*证证: 设数列设数列(shli)是数列是数列(shli)的任一子数列的任一子数列 .若若则

8、则,N 当当 Nn 时时, 有有现取正整数现取正整数 K , 使使于是当于是当时时, 有有从而有从而有由此证明由此证明 *机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第19页/共30页第二十页，共30页。收敛收敛(shulin)数列的数列的性质性质1.1.收敛收敛(shulin)(shulin)数列数列的极限唯一的极限唯一. .2.2.收敛收敛(shulin)(shulin)数列数列一定有界一定有界. .3.3.收敛数列具有收敛数列具有保号性保号性. .4.4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . .第20页/共30页第二十一页，共30页。1

9、.夹逼准则夹逼准则(zhnz)第21页/共30页第二十二页，共30页。上两式同时上两式同时(tngsh)成成立立,证证第22页/共30页第二十三页，共30页。例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解由夹逼定理由夹逼定理(dngl)得得第23页/共30页第二十四页，共30页。x1x2x3x1 nxnx2.单调单调(dndio)有界准则有界准则几何几何(j h)解释解释:AM准则准则(zhnz) (zhnz) 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .第24页/共30页第二十五页，共30页。例例2 2证证(舍去舍去)不妨不妨(bfng)设为设为第25页/共30页第二十六页，共30页。数列数列(shli):(shli):研究其变化规律研究其变化规律; ;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义极限思想、精确定义(dngy)(dngy)、几何、几何意义意义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.极限存在准则：极限存在准则：夹逼准则；单调有界准则夹逼准则；单调有界准则第26页/共30页第二十七页，共30