2020年新高考数题型详解：第二章圆锥曲线与方程章末测试(教师版)人教选修

1、高考数学选修系列题型详解第二章、单选题（每题 5分，共60分）圆锥曲线与方程章末测试提升突破战胜高考1 . （2018 河南高二单元测试）双曲线2x2 y- 1的焦点到渐近线的距离为（ 3A.1B3【答案】BC.3D.42【解析】双曲线 X2 -匕=1的焦点F （2,0）, 一条渐近线的方程为 y= J3 x, 3.由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为= J3,故选：B.2. （2018 广东广州市第二中学高二单元测试）以椭圆242y491的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（2A. 252y24B.242L 1252C.25242D.242 X 1 25【解析】椭圆2X242y4

2、91的焦点在y轴上且a=7, b 2，6,ca2 b22.椭圆x242y491的焦点为（0,5） , （0, -5）,顶点为（0,7）,(0, 7)，双曲线的顶点（0,5) , (0, 5)，焦点(0,7) , (0, - 7)_22 a= 5, c= 7, b= 2 6Q，双曲线方程是 y 1故选：C. 25 243. （2018 全国高二单元测试）抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（）A. 1B. 1C. D.28416【答案】A21【解析】由题意得，抛物线方程的标准形式为 X2 -y, 4一 11 1 一所以2 P , p ,所以焦点到准线的距离是一故选A.4884. （2018 河南

3、高二单元测试）已知点 M( 3,0)、N(3,0)、B（1,0），动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切的两直线相交于点P ,则点P的轨迹方程为（A. X221(x 1)8B. x21(x1)2C. x21(x 0)8D. X22y101(x 1)且 |PA|=|PD|,【解析】由题意画图如下 可见 |MA|=|MB|=4,|ND|=|NB|=2,那么 |PM|一|PN|= (|PA|+|MA|)(|PD|+|ND| ) =|MA| 一|ND|=4 2=2< |MN|,所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外） 又 2a=2,c=3,则 a=1,b2=9 1=8,2所以点P的轨迹方

4、程为x2 1 （x>1）.8是（）,则该椭圆的离心率A.L_52d.AJ2【解析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c,2b,2a,.椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，4b2=2a?2c,b2=a?cb2=a2- c2=a?c,两边同除以a2得：e2+e- 1=0,解得,e= 一J (舍负),2故选：B.26. (2018 河南局二单兀测试)过抛物线y =8x的焦点，作倾斜角为45。的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.64【答案】B【解析】抛物线方程为y2=8x,2p=8,=2, 抛物线的焦点是 F (2,0).直线的倾斜角为 45° ,直

5、线斜率为k=tan45 ° =1可得直线方程为：y=1x ( x-2),即y=x - 2.设直线交抛物线于点 A (xi,yi) ,B (x2,y2),“y x 2,口 2联解 2，消去y得x - 12x+4=0,y2 8xXi+X2=12,根据抛物线的定义，可得 |AF|=x 1+ =X1+2,|BF|=x 2+ =X2+2,. |AB|=x i+X2+4=12+4=16,即直线被抛物线截得的弦长为16.故选：B.227. (2019 陕西高二期中(理)已知椭圆C: 上 1,点A(1,1)，则点A与椭圆C的位置关系是().95A.点A在椭圆C上B.点A在椭圆C内C.点A在椭圆C外D

6、.无法判断【答案】B【解析】当x 1时，代入椭圆得到2.1032 102 103故点A（1,1）在椭圆内故选：B8. (2019上海高三期末）直线ykxm与双曲线2 y_ b2（a 0, b 0）的交点个数最多为（）A.1个B.2个C.3个D.4个b2b29.y2x2akx2 y b2m2 2b x1a2(kx22, 2m) a b(b2a2k2)x2 2a2kmx222, 2a m a b 02. 2a k2. 2a k0时：方程有一个解或者无解。0时：二次方程最多有两个解,即交点最多两个故答案选B（2019 河南高三期中（文）双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1、F2,虚轴的一

7、个端点为A,若AF1F2是顶角为120o的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（a 6八.2B. .2D. 2AF2 ,由题意可知，F1AF2120o,AF1O30o,【解析】如下图所示，易知AR由图形可得OA b, OF1c,在 Rt AFO中，tanAFOOAOF1c 儡，即 c2 3b2 3c2 3a2, 3a22c2,1- a 2因此，双曲线的离心率为故选：A.10. （2019 江苏扬州中学高二月考）若抛物线22y2 2Px p 0的准线是椭圆1的一条准线，则3P PA.12B.16【答案】C【解析】a 2 3p, b2 p , c2 2pa23p椭圆的右准线方程是 x 一 -,c 2p

8、抛物线的准线方程是 x R ,2Q两个曲线的准线方程相同，C.18D.243p ，解得p 2p18.故选C.11. （2019 湖北襄阳四中高三月考（文）过双曲线2 x 2 a2 y b21（a 0,b 0）的左、右焦点分别作两条渐近12a,则该双曲线的渐近线方程为线的平行线，所作的这4条直线所围成的四边形的周长为B. y 3xD. y2xA. y xC. y 2x【答案】Cbc【解析】过右焦点与渐近线平行的一条直线方程为bx ay -bc 0,令x 0, y-bc,a这四条直线所围成的四边形周长为12a,3ab所以渐近线方程为y亚x ,故选C.12. （2019 陕西高三月考（理）椭圆与双曲

9、线共焦点 Fi,F2,它们的交点P对两公共焦点Fi, F2张的角为A.F1PF2 一.椭圆与双曲线的离心率分别为3e,金，则（）34e214e21B. 24ei34efC.4e12 4e213【答案】B2D. 4e14e2【解析】设椭圆的长半轴为 a1，双曲线的实半轴为a2 a1a2,半焦距为c,设PF1 J PF2 r2,F1F2 2c,椭圆与双曲线的离心率分别为e , e2_ .2Q F1PF2 一，由余弦定理可得，F1F23-222222cr1 r2 2r1r2 cos，即 4c r13在椭圆中，由定义得2a PFj IPF2I 122 PF1PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF

10、2,即2212 ，2222,化简可得4cr1 r23rr2,即4c24a1312,等式两边同除4c2,得1 * 31rL，即翌2 口 1 c2 4c24c e在双曲线中，由定义得2a2PF1PF212,化简可得4c22r 221 22 ,即 4c4a212,等式两边同除4c2,得11/1 e2L 1113联立得1 301 ,即334,e12e22e1e2224e14e?故选：B、填空题（每题 5分，共20分）13. （2018 全国高二单元测试）直线l:x-y+1=022和椭圆 1相交于A,B两点，则弦AB =【解析】设A为，必，B X2, y2 ,联立x2X4y 12y30，化为7x218x

11、 8 0,XiX287, X1X2AB1 k2x1 x24x1x228247724故答案为：24714. （2018 全国高三单元测试（理）若双曲线1的离心率为 J3,则实数m【解析】a2 1,b222 C m,e 2 a2,2a b2a3, m2.渐近线方程是ymx 2x.15. （2019 陕西高二期中（理）若椭圆2 X252y161上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是2【解析】252工1,则|PFi16PF2 2a 10, PF16,则 PF24故答案为:24 1ab b20的左、右焦点E、F2作两条互相216. （2019 江苏扬州中学高二月考）分别过椭圆 冬a

12、垂直的直线1八12,它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是【解析】根据条件可知l1 l以F1F2为直径的圆与椭圆没有交点，即b c2即a2c 2c2 c2ac送即0 e电a 22故填:0, 2 .2三、解答题(第17题10分，其余12分，共70分)17. (2019 青冈县第一中学校高二月考(理)已知椭圆的中心在原点,焦点F贬Q，且经过点0,近(1)求椭圆的方程；(2)求左右顶点坐标及离心率22【答案】(1)土 L 1 ；(2)左右顶点为42Ai( 2,0), A2(2,0) , e2【解析】(1)由题意，设椭圆的标准方程为 当a2i 1(abb 0),因为椭圆的焦点 F五,0 ,

13、所以cJ2,又由椭圆经过点0,灰，可得b &,所以a2 b2 c24,2所以椭圆的标准方程为 x42y 1.2(2)由(1)可得椭圆的标准方程为1 ,可得a2,b.2,所以椭圆的左右顶点的坐标为A (c 22,0), A2(2,0)，离心率为e - 四 a 218. (2019 青冈县第一中学校高二月考(文)已知椭圆的中心在原点，焦点F J5,0，且经过点0,金(1)求椭圆的方程；(2)求左右顶点坐标及离心率(3)若椭圆上有一点 P,另一焦点F1，求 FPF1的面积的最大值。22【答案】亍1；2，0 ； e +；（3）春2.【解析】（1）因为椭圆的焦点为F 了,0且过0,在，所以c &

14、quot;一所以a2b 2b2 c2 4,b2 2,所以22椭圆方程为：土匕1;422（2）因为椭圆方程为41 ,所以a 2,所以左右顶点坐标为2.0一，1Li 一，因为 SVFPF12 FF1I |yp O2'p|,因为 yp厄鬼,所以SvFpFax也42 2,此日P位于短轴端点处19. （2019 内蒙古高二月考）已知平面内的动点P到两定点M 2,0 , N 1,0的距离之比为2:1.（1）求P点的轨迹方程（2）过点M且斜率为1的直线l与P点的轨迹交于不同两点 A、B,。为坐标原点，求VOAB的面积.24【答案】(1) (x 2)2 y 4 (2) -5【解析】(1)设 P(x,y

15、),则由题设知 |PM| 2PN|,即 J(x 2)2 y2 2j(x 1)2 y2,化简得，(x 2)2 y2 4.故P点的轨迹方程为（x 2）2 y2 4.、1（2）易知直线l方程为y 一 （x2d r 12),即一 x y 1 0 , 21 14L则 |AB| 2 r2 d2h又原点O到直线l的距离为25,则圆心（2,0）到直线l的距离为-1 1 1 所以VOAB的面积为S | AB | h 2142425552220. (2019 上海曹杨二中高二期中)已知双曲线C：3 -yy 1过点2,3，两条渐近线的夹角为60。，直a2 b2线l交双曲线于A B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)

16、若l过原点，P为双曲线上异于 A、B的一点，且直线PA PB的斜率kpA、kpB均存在，求证：kpA kpB为定值；(3)若l过双曲线的右焦点 F1，是否存在x轴上的点M m,0，使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有uur uurMA MB0成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2【答案】(1) x2 匕1; (2)证明见解析(3)存在M 1,0满足题意，详见解析 32(1)由题意，双曲线C :斗a2yr 1过点2,3 ,两条渐近线的夹角为60。， b242可得a ba9b21_b ，解得a 1,b J3,所以双曲线的方程为3(2)设A(Xo, yO),由双曲线的对称性，可得B(

17、Xo, Yo),22设 P(x,y)，则 kPA kPBy2-y2xXo22因为 y<23x2 3,y23x23,所以kPAkBy2y23,XXo即kPA kPB为定值3.(3)由(1)得点 Fi(2,0)当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x 2), A(Xi, y) Bd, ya).将直线y k(x 2)与双曲线的方程联立，消去y可得(k2 3)x2 4kx 4k2 3 0,所以x1x24k2k2 3,x1x24k2 3k2 3假设双曲线上存在定点M，使得MA MB 0恒成立,设M (m,0),uur则MAuurMB (x1 m)(x2m) k(xi 2) k(xi 2)(k22

18、21)x1x2 (2km)(x x2) m4k2(m24m 5)k2 3(m2 1)k2 30,即(m2 4m 5)k23(m2 1)0对任意k23恒成立,2m所以 2m4m 50，解得m1,当点M( 1,0)时，MA MB恒成立，当直线l的斜率不存在时，由A(2,3), B(2,3)知点M( 1,0)使彳导MA MB也恒成立，又因为点(1,0)是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在点M( 1,0)，使得MAuu-rMB 0 成乂.21. (2019 福建高考模拟(理)双曲线2211的左右顶点分别为 A, A2,动直线l垂直 的实43轴，且交 于不同的两点 M ,N ,直线AN与直线A2M的交

19、点为P .(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点H (1,0)作C的两条互相垂直的弦 DE , FG ,证明：过两弦 DE , FG中点的直线恒过定点22【答案】(1)乙 匕 1(x2); (2)证明见解析43【解析】(1)因为A 2,0 ,A2 2,022设 P x,y , M x0,y0 ,则 N x0, y° ,且x- 2 1 ,43因为动直线l交双曲线于不同的两点M ,N ,所以x02且 x 2,V。因为直线A2M的方程为V x 2,x02y0-直线AN的方程为y-x 2,Xo 22得y2 y0 x2 4X 4把代入上式得y2.,一 x24,化简得一422所以点p的轨迹c的方

20、程为 上 L i x43(2)依题意得直线DE与直线FG斜率均存在且不为 0,1设直线DE的方程为x my 1 m 0 ,则直线FG的方程为x y 1, mx my 1,22联立 22 得 3m2 4 y2 6my 9 0,3x2 4y2 1236m2 36 3m2 4,2.144 m 10 ,设 D x1，y1，E x2, y26m% y2 c 2 j X x2 m % y23m 483m2 4所以DE的中点4 3m2,23m2 4 3m2 4同理FG的中点4m23m2,24m2 3 4m2 3所以直线RS的斜率为kRs3m3m223m2 4 4m2 344 m23m2 4 4m2 37m4 m2 13m所以直线r2方程为y 3m7m42x24 m2 1 3m 47m 4整理得丫 4 m2 1 x 744所以直线RS恒过定点 一,0 ，即过两弦DE,FG中点的直线恒过定点一,02 x22. (2019 天津南开中学局考模拟 (理)已知椭圆C : -y a77* 1 a b 0的左顶点