ch1-控制系统的状态空间描述-1至2节

1、1、状态变量和状态变量模型、状态变量和状态变量模型2、状态空间表达式的建立、状态空间表达式的建立3、传递函数矩阵、传递函数矩阵4、状态空间表达式的线性变换、状态空间表达式的线性变换 第一章第一章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述第一节第一节 动态系统的状态变量动态系统的状态变量和状态变量模型和状态变量模型动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。q ：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，状态可以理解为系统记忆，t=tot=to时刻的初始状态能记忆

2、系统在时刻的初始状态能记忆系统在 ttot=tot=to时输入时输入的时间函数，那么，系统在的时间函数，那么，系统在t=tot=to的任何瞬间的行为就完全确的任何瞬间的行为就完全确定了。定了。：意味着这组变量是互相独立的。：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。：以状态变量以状态变量 为坐标轴所构成的为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻维空间。在某一特定时刻 ，状态向量，状态向量 是状态空间的一个点。是状态空间的一个点。)(),.,(),(21txtxtxnt)(tX X：以以

3、 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移， 在在状态空间绘出的一条轨迹。状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttX XX X ：把把 这几个状态变量看成是向量这几个状态变量看成是向量 的分量，则的分量，则 称为状态向量。记作：称为状态向量。记作：)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX(t)X(t)或：或：)().,(),()(21txtxtxtnT X X：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反反映系统中状态变量和输入变

4、量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：niuuuxxxfxrnii,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数；是输入变量个数； 是线性或是线性或非线性函数。非线性函数。ifrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax 22112211222212122221212121211112121111,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA系系表征各状态变量间的关表征各状态变量间的

5、关系统矩阵系统矩阵维维,nn ,212222111211 nrnnrrbbbbbbbbbB作用作用表征输入对每个变量的表征输入对每个变量的输入矩阵输入矩阵维维,rn uBxAxrnnn 状态向量状态向量维维1,21 nTnxxxx 输入向量输入向量维维1,21 ruuuuTr：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：果关系。方程形式如下：mjuuuxxxgyrnjj,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n

6、是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数，是输入变量个数，mm是输出变量是输出变量个数，个数， 是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。igrmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 22112211222212122221212121211112121111,212222111211 mnmmnncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变输输出出矩矩阵阵维维nm ,212222111211 mrmmrrdddddddddD0,通常通常传递关系传递关系表征输入对输出的直接表征

7、输入对输出的直接直接转移矩阵直接转移矩阵又称为又称为前馈矩阵前馈矩阵维维Drm uDxCyrmnm 输出向量输出向量维维1,21 mTmyyyy(2)(2)状态空间表达式非唯一性状态空间表达式非唯一性, ,这是和传递函数明显区别的地方。这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,DA,B,C,D非唯一。非唯一。(1)(1)为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。代表一个动力学系统。 ),(DCBA：将状态方程和输出方程联立，将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：就构成动态方程或状态空间表达

8、式。一般形式如下： DuCxyBuAxx ：A、B、C、D矩阵含义同上。矩阵含义同上。(3) (3) 定常系统：定常系统： A,B,C,DA,B,C,D各元素与时间无关；各元素与时间无关； 时变系统：时变系统： A,B,C,DA,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；中的各元素一部分或全部是时间的函数； 定常系统定常系统 ； 时变系统时变系统(5)(5)系统输出与状态的区别：系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。系统状态：描述系统内部行为的信

9、息，物理上不一定可观测。 ),(DCBA )(),(),(),(tDtCtBtA(4)(4)非线性非线性系统状态空间表达式：系统状态空间表达式： 和和 是是x x与与u u的某类非的某类非线性函数。可以用线性系统来近似线性函数。可以用线性系统来近似ifig 系统动态方程的模拟结构图系统动态方程的模拟结构图 ：B B C CA AD DU UX XX XY Y DUDUCXCXY YBUBUAXAXX X ik 注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器积分器比例器比例器加法器加法器第第二二节节 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1

10、、由系统物理机理建立动态方程、由系统物理机理建立动态方程2、由微分方程建立动态方程、由微分方程建立动态方程3、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）4、由结构图建立动态方程、由结构图建立动态方程建立状态空间表达式的前提建立状态空间表达式的前提系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）准型和约当标准型）1 1、RLCRLC电网络系统。电网络系统。2 2、机械运动系统。、机械运动系统。电路如图电路如图1 1所示。请建

11、立该电路以电压所示。请建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入为输入量，量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。图图1 1L2uAu1u2+ +_ _+ +_ _i1i2R2R1L11) 1) 选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，为状态变量，且两者是独立的。且两者是独立的。2 2）根据克希荷夫电压定律，列写）根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiL

12、uAdtdidtdi 右回路右回路左回路左回路 整理得：整理得：21211212121112122212121111111uRiRiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLRdtdi 3 3）状态空间表达式为：）状态空间表达式为：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR R-C-L R-C-L 网络如图网络如图2 2所示。所示。e(t)-e(t)-输入变输入变量，量， - -输出变量。试求其状态空间描述输出变量。试求其状态空间描述 )(2tuR1.)1.)确定状态变量确定状态变量 两个储能元件两个储能元件C C和和

13、L L，故选，故选 和和 为状态变量，组为状态变量，组成状态向量成状态向量 x= x= licuculi)(teR1LucuR2R2ciciL图图2 22.)根据克希荷夫电压定律，列写根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：个回路的微分方程： 左回路左回路右回路右回路)()(12tedtdiLiiRdtdiLiRuLLCLcC将将 代入上式，消去中间变量代入上式，消去中间变量 ，并整理得：，并整理得：cidtducicc )()()()()()(1)()(121221212112121121teLRRRiLRRRRuLRRRdtditeCRRiCRRRuCRRdtduLCLLCC )()

14、()(1)()()()(121221212121121121teLRRRCRRiuLRRRRLRRRCRRRCRRiuLCLC 所以状所以状态方程态方程为：为：右电路图可知右电路图可知: :)(2122121212222teRRRiRRRRuRRRdtduCRiRuLCCCR )(21221212122teRRRiuRRRRRRRuLCR 所以输所以输出方程出方程为：为： 212212121221221212121121121,)()(1,)()()()(1RRRDRRRRRRRCLRRRCRRBLRRRRLRRRCRRRCRRA所以系所以系统各矩统各矩阵为：阵为：试列出在外力试列出在外力f作

15、作用下，以质量用下，以质量 的位移的位移 为输出的为输出的动态方程。动态方程。21,MM21, yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,vyxvyxyxyx 11yk11yM 11yB )(122yyB 22yM )(122yyk f1M2M质量块受力图如下：质量块受力图如下：则有：则有：)()(122122111111yyByykykyByM 及：及：fyykyyByM )()(12212222 将所选的状态变量将所选的状态变量2241132211,vyxvyxyxyx 代入上

16、式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得： 2211xyxy输出方程：输出方程： fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：状态方程：写成矩阵形式：写成矩阵形式：fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX 222221212121121211000010000100 432100100001xxxxy线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaynnnnnnn01) 1(1)(01) 1(1)( 在经典控制理论中在经典控制理论中, ,控制系统的时域模型为

17、：控制系统的时域模型为：: :选取适当的状态变量选取适当的状态变量, ,并由并由 定出相应的系数矩阵定出相应的系数矩阵A A、B B、C C、D.D.), 1 , 0(),1(njbniaji DuCxyBuAxx 1 1、微分方程中不包含输入函数的导数项、微分方程中不包含输入函数的导数项2 2、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项微分方程形式微分方程形式: buyayayaynnnn 1)1(1)(，化为状态变量，化为状态变量 的一阶微的一阶微分方程组分方程组.nxxx,21 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定则系统行为被完全确定 故选择故选择 为系

18、统的一组状态变量。为系统的一组状态变量。输出及输出及其各阶导数其各阶导数)1(, nyyyy )(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的输输入入及及 )1(21nnyxyxyx 令令:1223(1)11121nnnnnnnnxyxxyxxyxxya xaxa xb u 状态方程为状态方程为: 输出方程为输出方程为:1122110100010nnnnxxxxuxaaaxb xy001 状态变量是状态变量是输出输出y及及y的各阶导数的各阶导数 系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方特点：主对角线上方1个元素为个元素为1，最下面一行为，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为微分方程系

19、数的负值，其它元素全为0，友矩阵或相伴矩阵友矩阵或相伴矩阵。（注意：不要和逆阵中的伴随阵混淆）（注意：不要和逆阵中的伴随阵混淆） 2xuy1xnxnx 1 nx0bna 1 1na1a2 na 设系统输入设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342 若选若选 ，可导出系数矩阵，可导出系数矩阵A，B，Cyxyxyx 321, 243100010A 001 C 500B 53 2x1uy1x 3x42 3x 微分方程形式：微分方程形式： 使导出的一阶微分方程组右边不出现使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。的导数项。 如果仍按

20、照微分方程中不包含输入函数的导数项的方法，如果仍按照微分方程中不包含输入函数的导数项的方法，将将输出及输出的各阶导数选为状态变量输出及输出的各阶导数选为状态变量，则得到的状态，则得到的状态方程的模拟结构图如下，方程的模拟结构图如下，( )(1)( )(1)110110(1)nnnnnnnyaya ya yb ububub u将该图进行等效变换，就是说，将该图进行等效变换，就是说，输入输入u的的n阶导数经阶导数经n个积个积分器后，以分器后，以u的倍数形式，进入系统。的倍数形式，进入系统。则状态方程中就可则状态方程中就可以避免出现以避免出现u的导数项。的导数项。1na10211322111(2)n

21、nnnnnxyuxxuxxuxxuxxu可以这样选择状态变量可以这样选择状态变量:式中系数式中系数 是待定系数是待定系数.n ,10121232111(3)nnnnnnxxuxxuxxuxxu整理整理(2)式得式得:n ,.,210思路思路:由式由式(2)可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的形的形式，并代入式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中 ，根据，根据u及其各阶及其各阶导数的系数相等的原则求解：导数的系数相等的原则求解：10102102103210(1)(1)(2)0121(4)nnnnnnyxuyxuxuuyxuuxuuuyxuuuu由式由式

22、(2)可以得到下式可以得到下式：1(5)nnnxxu又又由式由式(4)和式和式(5)求得：求得：uuuuuxuuuuxynnnnnnnnnnnn 12)1(1)(0112)1(1)(0)(6)将式将式(4)和式和式(6)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则可得到： n ,10111 20 1111 20 101110221 120011221 1000(7)nnnnnnnnnnnnnnnnnxa xaxa xxa xaxa xbbabaabaaaa 为便于记忆，为便于记忆，将上式写成：将

23、上式写成：即可即可求得状态空间表达式为：求得状态空间表达式为：uxaaaxnn 11101000010 uxy0001 A仍然是友矩阵仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了 系统输出输入微分方程如下，求其状态空间表达式。系统输出输入微分方程如下，求其状态空间表达式。640,160, 0, 0640,192,180123012 bbbbaaa系数系数: 2240160186401600000112203011212022130 aaabaababb按按(8)式求得：式求得：uuyyyy64016064019218 写出状态空

24、间表达式写出状态空间表达式:uxxxxxx 2240160018192640100010321321 321001xxxy 这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。 ：一般将微分方程转换为传递函数，由传递：一般将微分方程转换为传递函数，由传递 函数来实现。函数来实现。状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：传递函数的实现方式：传递函数的实现方式： 1 1）直接分解）直接分解 2 2）串联分解）串联分解 3 3）并联分解）并联分解)()()(sUpspzsUsY 思路：思路：首先首先整理上式得：整理上式得：pszssUsYsG )()()(1 1、 pz y xp

25、 x u式式(1)模拟模拟结构图：结构图：)(1)(sUpssX 令令)()()()(sUsXpzsY 则：则：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述： uxpzyupxx)(1)()(sUpspzsX 令令式式(2)模拟模拟结构图：结构图：pz y xp x u：再次表明了状态空间描述的非唯一性再次表明了状态空间描述的非唯一性)()()(sUsXsY uxyupzpxx)(对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：(2)则：则：psksUsYsG )()()( ky

26、xp x u式式(3)模拟模拟结构图：结构图：)(1)(sUpssX 令令)()(skXsY 则：则： kxyupxx 对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：(3)()(sUpsksX 令令 kyxp x u式式(4)模拟结构图：模拟结构图：无零点与有零点的不同，无零点与有零点的不同，D0。 以上变换等同于传递函数的有效变换。以上变换等同于传递函数的有效变换。)()(sXsY 则：则： xykupxx 对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：(4)nmmmnnpsp

27、spszspszsabsUsYsG 11)()()(1111)、1）对传递函数进行因式分解；）对传递函数进行因式分解；2）画模拟结构图，并选择状态变量画模拟结构图，并选择状态变量(可省略可省略)； （使用（使用预备知识讲述的两种子系统，并从右至左对每预备知识讲述的两种子系统，并从右至左对每个子系统选择状态变量个子系统选择状态变量x1、x2、x3、。）3）直接得到状态空间表达式。）直接得到状态空间表达式。 求以下传递函数的状态空间表达式。求以下传递函数的状态空间表达式。25462)()()(23 sssssUsYsG1、首先进行因式分解，得到：、首先进行因式分解，得到：)2(1)1(1)1(32

28、)2)(1)(1(32)()()( sssssssssUsYsG2、画模拟结构图：、画模拟结构图：y 3x2 3x 2x1 2x 1x1 1x u221( )( )Y sU s2Y1Y21( )( )Y sY s2( )( )Y sY s3、写出动态方程：、写出动态方程： 321321321001220100210012xxxyuxxxxxx根据根据3个子系统分配的位置不同，可以写出不同的动态方程个子系统分配的位置不同，可以写出不同的动态方程nnnkkkkkkknkkknnnnbpscpscpscpscpscpscpspspspsbsbsbsbsUsYsG 22111112112110111)

29、()()()()()()()()(不失一般性，不失一般性，讨论此系统：讨论此系统：也有一个也有一个k重极点：重极点：nkkppp ,211p 既有互异极点：既有互异极点： 整理得整理得)1()()()()()(1111sUbsUpscsUpscsYnnkiiikjjkj )2(), 2, 1()(1)(nkkisUpssXii )3(), 2, 1(nkkiuxpxiii 令令拉氏反变换得：拉氏反变换得：系数系数 为待定系数，其中为待定系数，其中 ，采用，采用计算：计算：icni,.2 , 1 kjjpsjpssGdsdjLimCkj)( )()!1(1,.,2, 11111 时时，当当)(l

30、im,.,2, 1ipsipssGcnkkii 时时，当当令令)4(),.,2, 1()()(1)(11kjsUpssXjkj )1,.,2, 1()()(1)(11 kjsUpssXjkj则：则：)5()()(1)()1,.,2, 1(1)()(111 kjsUpssXkjpssXsXjjj联立上两式得：联立上两式得：)6()()1, 2, 1(111 kjuxpxkjxxpxjjjjj拉氏反变换得：拉氏反变换得：)7(),.,2 , 1()()()(nisUbsXcsYniii 联立联立(1)、(2)、(4)得：得：ubxxxcccyuxxxxxxppppppxxxxxxnnnnkkknkknkkk 2121212121111212111110000001001由由(3