1.3.2 函数的极值与导数1

1、函数的极值与导数函数的极值与导数已知函数已知函数 f( (x)=2)=2x3 3-6-6x2 2+7+7 (1) (1)求求f( (x) )的单调区间的单调区间, ,并画出其图象并画出其图象; ;【复习与思考复习与思考】 (2) (2)函数函数f( (x) )在在x=0=0和和x=2=2处的函数值处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系与这两点附近的函数值有什么关系? ?xyo72-12（，0 0），（2 2，）；（ ，） f(x)= 6x(x - 2)f(x) 0 -+f(x) 0 0解析解析:（1）由由 得增区间：得增区间：由由 得减区间：得减区间：（2）函数函数f (x)在在x=0处的函

2、数值比其附近的函处的函数值比其附近的函数值都大，而在数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的函处的函数值比其附近的函数值都小数值都小. 设函数设函数y= =f( (x) )在在x= =x0 0及其附近有定义，及其附近有定义，(1)(1)如果在如果在x= =x0 0处的函数值比它附近所有各点的处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即函数值都大，即f(x)f(x0),则称则称 f( (x0 0) )是函数是函数y= =f( (x) )的一个的一个极小值极小值. .记作记作: :y极小值极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值, ,x0 0叫做函数的叫做函数的极值点极值点

3、. .yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点. (1) (1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念, ,反映了函数在某一点反映了函数在某一点 附近的大小情况附近的大小情况; ;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值; ; (3) (3)函数的极大函数的极大( (小小) )值可能不止一个值可能不止一个, ,而且而且函数函数的极大值未必大于极小值的极大值未必大于极小值; ;【关

4、于极值概念的几点说明关于极值概念的几点说明】 (4) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。【问题探究问题探究】 函数函数y= =f( (x) )在极值点的导数值为多少在极值点的导数值为多少? ?在极值点附近的导数符号有什么规律在极值点附近的导数符号有什么规律? ?yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf (1) (1)如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x0 0附近的左侧

5、附近的左侧 f /(x0)0 右侧右侧f /(x0)0, 那么那么f(x0)是极大值是极大值【函数的极值与导数的关系函数的极值与导数的关系】 (2) (2)如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x0 0附近的左侧附近的左侧 f /(x0)0, 那么那么f(x0)是极小值是极小值 （1） 求导数求导数 ； （2） 解方程解方程 =0 （3） 通过列表检查通过列表检查 在方程在方程 =0的根的左右两侧的符号，进而确定函的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值数的极值点与极值.【求函数极值的步骤求函数极值的步骤】( )fx( )f x( )fx( )fx例例1 求函数求函数 的极值的极值

6、. 44313 xxy44313 xxy解解:因为因为所以函数的极大值为所以函数的极大值为 ,极小值为极小值为3144,3yxx224.40yxxx令，=2.428,;,.33xyxy=2 =-=-2 =428.33-例题例题例例2 求函数求函数 的极值的极值.1)1(32 xy解解:函数的极小值为函数的极小值为0,极大值为极大值为1.232222(1)1,3(1)26 (1)00,1.0,1.yxyxxx xxxy 或【思考交流思考交流】导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ? 对于可导函数而言对于可导函数而言, ,其极值点一定是其极值点一定是导数为导数为0 0的点的点, ,反之导数为反之导数为0 0的点不一定的点