人教版高数选修2-2第4讲：函数的极值与导数(教师版)

1、导数与函数的极值121、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件卜(a) = 02、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值一、导数与函数的极值：1.观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t) =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题(1)当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t )在t=a处的导数是多少呢？(2)在点t=a附近的图象有什么特点？(3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳：函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近，当t，一，、，一、，o0;当t a时，函数h(t)单调递减

2、，h(t)0,即当t在a的附近从小到大经过 a时，h(t)先 正后负，且h (t屐续变化，于是h/(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质 呢？二、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：(1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系(2)函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少？(3)在a.b点附近，y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢 2、极值的定义我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(

3、x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点极大值与极小值称为极值类型一：函数的单调性与导数：x3 - 4x 4x)=f1 3例1、求函数f (x)= x34x + 4的极值312斛：f (x)= x -4x+4 . . f (x )=x-4=(x-2)(x+2) 3令 f (x )=0,解得 x=2,或 x=-2.下面分两种情况讨论： 当 f (x )0,即 x2,或 xv-2 时；(2)当 f (x )0,右边f (x)0,那么f(x o)是极大值:(2)如果在x0附近的左边f (x)0,那么f(x 0)是极小值练习：1.求下列函数的极值.(1) y=x27x+6 (2) y=x327x(1

4、)解：y =(x27x+6) =2x7令y =0,解得x=.2当 x=7时,2当x变化时，y , y的变化情况如下表.xf-,-)I 2)7万(2 , y一0+y25极小值三4r25y有极小值，且 y极、值= 4(2)解:y =(x327x) =3x227=3(x+3)( x 3) 令 y =0,解得 xi=-3, x2=3.当x变化时，y , y的变化情况如下表.x(-0, -3)-3(-3,3)3(3*)F y+0一0+y极大值54极小值-54当x=3时，y有极大值，且 y极大值=54.当x=3时，y有极小彳K,且y极小值=54.考点一求含字母参数的函数的极值考例1. (06安徽卷)设函数

5、f (x )= x3+bx2+cx(x亡R),已知g(x) = f (x) - f(x)是奇函数。(i)求b、c的值。(n)求g(x)的单调区间与极值。思路分析：先求出f(x),再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：(I) f (x )=x3+bx2+cx,f(x )=3x2+2bx+c。从而g(x) = f (x) - f (x) =x3 +bx2 +cx -(3x2 +2bx + c) = x3 +(b -3)x2 +(c 2b)x c 是一个奇函数，所以g(0) =0得c = 0,由奇函数定义得 b=3;(n )由(1)知 g (x) =

6、x3 -6x ,从而 g (x) =3x2 6 ,令 g (x) Wx 2 6 =0,解得 x= 土& , 由 g (x) =3x2 -6 0,解得 x 近x -近,g (x) = 3x2 -6 0,解得一行 x 0,取足够小的负数时有 f(x)0,所以曲线y = f(x) 与x轴至少有一个交点结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值 +a0即a w (1 , +8)时，它的极大值也大于 0,因此曲线丫 = *)与*轴仅有一个交点，它在(00, 1)上。3.-5、. .当a = (一,去)U(1 , +8)时，曲线y = f(x)与x轴仅有一个交点。考点二求函数的最值考例2.已知a为实数，

7、f (x) =(x2 4)(x a)(1)若f (-1) =0 ,求f (x)在2, 2上的最大值和最小值；(2)若f (x)在(一巴 一2和2 , +8)上都是递增的，求 a的取值范围.思路分析：(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。(2)当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有f (x)之0 ,从而得到关于a的不等式。解：(I )由原式得 f (x) = x3 -ax2 -4x+4a,1- f (x) = 3x2 -2ax -4.1. .212由 f (1)=0 得2= ，此时有 f(x)=(x 4)(x )，f(x) = 3x - x - 4.224由 f (一 1)

8、= 0 得 x = _ 或 x= _ 1 ,3当x在二,2变化时，f (x), f (x)的变化如下表x(-2,-1)-14 (-1,-)3434(3,2)F(x)+0-0+F(x)递增一一9 极大值一 2递减极小值5027递增Vf(x)极小=f(4)=50, f(x)极大=f(1)=9，又 f(2)=0, f (2)=0, 3272一，一 9 一. 50所以f(x)在2,2上的最大值为3,最小值为_50. 227(2)解法一 ：f (x) =3x2 2ax 4的图象为开口向上且过点(0, -4)的抛物线，由条件得f (-2) 0, f (2) 0, 即(faW02a2.8 -4a - 0.所

9、以a的取值范围为2,2.2a? -a2 12斛法一：令 f (x) = 0 即 3x - 2ax - 4 = 0,由求根公式得：x12 =(x1 2时，f x) 0,从而 x1 2, x 2 2,2即J * a +12 Ma 6解不等式组得：2waw2.a2 12 M6 -a.，a的取值范围是2,2.锦囊妙计：(1)极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论。(2 )在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令 f(x)之0(或f(x) E0)恒成立，解出参数的取值范围， 然后检验参数的取值能否使 f(x)恒等于0, 若能恒等于0,则参数

10、的这个值应舍去， 若f (x)不恒为0,则由f (x)之0(或f (x) 0) , xw (a,b) 恒成立解出的参数的取值范围确定。举一反三：1. (06浙江卷)f(x)=x3 3x2+2在区间11,1】上的最大值是()A. -2B. 0C. 2D. 4解：f (x) =3x2 _6x =3x(x 2),令 f (x) =0 可得 x=0 或 2 (2舍去)，当1勺0,当0x时，f (x) 0，函数 f(x)= (x -2ax) e(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；(2)设f(x)在-1 , 1上是单调函数，求 a的取值范围.2x解：(I)对函数 f(x)求导数得 f (

11、x) = (x +2x2ax2a)e2_ x .2令 f (x) = 0，得x +2(1 - a) x -2a e =0从而 x +2(1 a) x 2a =022解得 x1 = a -1 - va , 1, x2 = a -1 , a 1当x变化时，f (x)、f (x)的变化如下表x(-o0, x1)x1(x1,x2)x2(乂2尸)f(x)+0一0+f(x)递增极大值递减极小值递增f (x)在x = x1处取得极大值，在 x=x2处取得极小值。当a 0时，x11, x2 2 0, f (x)在(x，x2 )上为减函数，在(乂2,收)上为增函数而当 x 0 ,当 x=0 时，f (x) =

12、0所以当x=a-1+da2+1时,f(x)取得最小值(II )当a0时，f (x)在L1,1上为单调函数的充要条件是x2 1即a 1十Ja2+1 1 ,解得a -43于是f (x)在-1 , 1上为单调函数的充要条件是a -4即a的取值范围是-,依) 4考点三利用导数解决函数的综合问题考例3. (06年深圳市模拟)已知函数f (x) =x+b的图象与函数g(x) =x2+3x + 2的图象相切，记 F(x) = f (x)g(x).(I)求实数b的值及函数F (x)的极值；(n)若关于x的方程F(x) =k恰有三个不等的实数根，求实数 k的取值范围.思路分析：首先由f(x) =x+b是g(x)

13、 =x2 +3x+2的切线，利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性，极值的关系作出函数 y = F(x)与 y = k的图像，利用数形结合的思想求解.解：(1)依题意，令 f(x) = g(x),彳#1 =2x + 3，故x =1.函数f(x)的图象与函数 g(x)的图象的切点为 (1,0).,将切点坐标代入函数f(x) = x + b可得2b=1 .或：依题意得万程f(x) = g(x),即x+2x + 2-b=0有唯一实数解，故2 =22 4(2 b) = 0 ,即 b = 1 , F (x) = (x + 1)(x2 + 3x+ 2) = x3 + 4x2 + 5x + 2 ,5、

14、,5故 F (x) =3x2 +8x2 +5 = 3(x+1)(x + ),令 f (x) = 0，解得 x = 1,或 x =.33列表如下xs一|)5(-I,-1)-1(-1,收)F(x)+0-0+F(x)递增一一4极大值一27递减极小值0递增54从上表可知F (x)在x =-处取得极大值一,在x = 1处取得极小值 327AY(n)由(I)可知函数y = F(x)大致图象如下图所示.作函数y = k的图象，当y = F (x)的图象与函数y=F(x)y=k的图象有三个交点时，关于x的方程F(x) =k恰有三个不53-1y=kO427等的实数根.结合图形可知:4、k (0).27锦囊妙计：

15、读题，审题，发现”f (x) =x +b是 g(x)=x2 +3x+2的切线”是解题的关键，数形结合的思想在该题中再一次得到运用想方法.综合考察了学生的计算.本题综合了导数，单调性，极值，方程的解等知识与数形结合的思 ,推理，阅读理解的数学能力.举一反三：(中山市模拟.)已知函数f (x) =x3ax2+bx + c的图象为曲线 E.(I )若曲线E上存在点P,使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a, b的关系；(n )说明函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值，并求此时 a,b的值；(m)在满足(2)的条件下，f (x) 0gpa2 3b .(2)若函数f (x)可以在x =-1和x

16、=3时取得极值，则f (x) =3x2 2ax+b =0有两个解x = T和x = 3,且满足a223b.易得 a =3 ,b - -9.(3)由(2),得 f(x)=x3 3x2 9x+c.根据题意， ox3 -3x2 -9x( *三2,6)恒成立.函数g(x) =x3 3x2 9x( x2,6)在x=1时有极大值5 (用求导的方法)，且在端点x =6处的值为54.，函数 g(x)=x3 3x2 9x (xw ，6)的最大值为 54.所以c 54.误区警示：例.设函数 f (x) =_1x3 +2ax2 -3ax + 1 ,其中 0 a 1. 3(1)求函数f(x)的极值；(2)若当xqa+

17、1, a+2时，恒有| f (x)| Ea ,试确定实数a的取值范围.常见错误：(1)忽略0a0 , 1- 3a a .列表如下：x(-0, a)a(a, 3a)3a(3a, +)f (x)一0+0一f(x)极小值极大值4 1f (x)极小值=f (a) = a3 +1 ； f(x)极大值=f (3a) =1 3(2)f (x) = -x2 -4ax -3a2 = 一(x -2a)2 +a2 , 0 a 1 , 2a a +1.即 f (x)在a+1, a+2上单调递减，即当 xWa+1, a+2时.f (a+1)之 f(x)之 f (a+2) 从而：2a _1 _ f (x) _4a -4.

18、f (x)| a恒成立，故4 -4a a4J2a -1 a - a 1.0 a 151.函数f(x)的定义域为R,导函数f (x)的图象如图所示，则函数 f(x)()A .无极大值点、有四个极小值点B.有一个极大值点、两个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D .有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为Xi、x2、x3、x4,当X0 , f(x)为增函数,当 x1Vxx2 时，f (x)0, f(x)为减函数,则x= Xi为极大值点，同理，X= X3为极大值点，X= X2, X=X4为极小值点.点评有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是 f(X

19、)的图象还是f (X)的图象，若给 的是f(X)的图象，应先找出f(X)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (X)的图象，应先找出f (X) 的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解.2. (2014 屯溪一中期中)设 f(X) = X3 + aX2+bX+1 的导数 f (x)满足 f (1)= 2a, f (2) = b, 其中常数a、bC R.(1)求曲线y=f(X)在点(1, f(1)处的切线方程；(2)设g(X)=f (X)e X,求函数g(X)的极值.解析. f(X)=X3+aX2+bX+ 1, . f (x)= 3X2+2aX+ b,. f (1)=2a,3

20、 + 2a+b = 2a,. f (2) = -b,12+4a+b=-b,3 . 一,a= - 5, b= 3,f(X)=X3-2X2-3X+ 1, f (x) = 3x2-3x-3,5-f(1)=-2, f (1) = -3,5切线万程为 y-(-2) = - 3(x- 1),即 6x+2y1 = 0.(2) -. g(x)=(3x2-3x- 3)e x, . g (x)= (6x3)e x+(3x23x 3) (-e x), g (x) = - 3x(x-3)e x,.当 0x0,当 x3 时，g (x)0,当 x0 时，g (x)0, g(x)在( 8, 0)上单调递减，在(0,3)上单

21、调递增，在(3, +8)上单调递减，所以 g 极j (x)= g(0) = - 3, g 极大(x) = g(3) = 15e I1 2 .,3. (2014山东省荷洋市期中)已知函数f(x)=2x +alnx.(1)若a=1,求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a=1,求证：在区间1, +8)上，函数f(x)的图象在函数g(x) =2x3的图象的下方.3解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0, +8),当 a=1 时，f (x)=x=(X+ ,已知函数f(x)在点xo处连续，下列命题中，正确的是 ()A.导数为零的点一定是极值点1)X X令 f (x)=0 得 x=1

22、或 x=1(舍去)，当xC (0,1)时，f (x)0 ,因此函数f(x)在(1 , + 8)上单调递增，则x= 1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x= 1处取得极小值为f(1)=2.(2)证明：设 F(x) = f(x) g(x) = 1x基础巩固 1 B.如果在点x0附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,右侧f (x)1 时，F (x)0,故f(x)在区间1 , + )上单调递减，_1又 F(1)= 70, 6，在区间1, 十)上，F(x)0恒成立,即f(x)0, b0,且函数f（x） =4x3 ax22bx+2在x= 1处有极值，则ab的最大值等于（）A. 2B. 3C. 6D.

23、 9答案D解析f （x）=12x2 2ax2b = 0 的一根为 x= 1,即 122a 2b= 0.，a+b=6,abw （a2也）2 = 9,当且仅当 a=b = 3 时=号成立.5.已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y= 3x x3的极大值点坐标为（b, c）,则ad等于（）A. 2B. 1C. - 1D. 2答案A解析,-a、b、c、d成等比数列，ad=bc,又(b, c)为函数y=3xx3的极大值点，c= 3b- b3,且 0=33b2,b= 1,b=- 1,. . $ 或,ad = 2.匕=2,lc=-2.x 1= e* .当x1时，f (x)0 ,，f(x)为减函数， ab

24、f(b).二、填空题7 . (2014福建安溪一中、养正中学联考)曲线y = x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 .答案4x-y-3=0解析y |x=1=(3lnx+ 4)1 = 4, 切线方程为 y-1=4(x-1),即 4xy3= 0.8 .(2014河北冀州中学期中)若函数f(x)=x+ asinx在R上递增，则实数a的取值范围为 .答案1,1解析f (x)=1+acosx,由条件知f (x)0在R上恒成立，1+ acosx 0, a=0时显然成立；a0时，1W cosx 恒成立，.-1,，aW1,，0aw 1； a 1,即一1Wa0,综上知一1 w a w 1.9 .设x=

25、 1与x= 2是函数f(x)= alnx+bx2+x的两个极值点，则常数 a=.,2答案3 .a解析f (x) = a+ 2bx+1, xa+2b+1 = 0,由题意得储_,a3.、2+4+=.三、解答题10.已知 f(x)= ax3+bx2+cx(aw 0)在 x= + 时取得极值，且 f(1) = 1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x= 1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由.解析(1)由 f (1) = f (1) = 0,得 3a+2b+c= 0,3a-2b + c= 0.又 f(1) = - 1,a+ b+ c=- 1.13 a= 2，b = 0, c= 2(2)f(x

26、) = 1x3 2x,f z (x) = 2x2-|= 2(x1)(x+1).当 x1 时，f (x)0;当一1x1 时，f (x)0,二.函数f(x)在(一8, 1)和(1 , + OO)上是增函数，在(一1,1)上为减函数. 当x=- 1时，函数取得极大值f( 1)=1；当x=1时，函数取得极小值 f(1)=- 1.点评若函数f(x)在X0处取得极值，则一定有f (X0)=0,因此我们可根据极值得到两个方程, 再由f(1)=- 1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数.能力拓展提升、选择题11. (2014山东省德州市期中)已知函数f(x) = ex(sinx cosx), xC

27、(0,2013 g )则函数f(x)的极大值之和为()C.e2% 1e2012 7te2 - 1B.Tt /2012 Tte，一e12-1-eTt ,1006 Tte 1-e21t1 eD.Tt ,1006 Tte(1e1 e答案B解析f (x) = 2exsinx,令 f (x)= 0 得 sinx= 0,，x= k兀 kCZ,当 2卜兀交0, f(x)单调递增,当(2k1) Ttx2k兀时,f (x)0, f(x)单调递减,当 x=(2k+1)兀时,f(x)取到极大值，; x (0,2013 %,) . 0(2k+ 1)兀 20132. 0w k0,，a6.二、填空题14 .已知函数 y=

28、 x3+ ax2 + bx+ 27在x= 1处有极大值，在x= 3处有极小值，则, b =.答案3 9解析V, =3x2+2ax+b,方程y =0有根1及3,由韦达定理应有-1+3=-2a3 a= - 3, 0；当 xC (-2, ln2)时，f (x)0 得 0x1 ,f(x)在(o, 2)和(i, +8)上单调递增，在(2，i)上单调递减，i，f(x)的极大值点x=2，极小值点x= 1.(2)当 a=4 时，f(x)+x2=0,即 lnx+2x2-4x= 0,设 g(x) = lnx+ 2x2 4x,贝U.2g(x)= ：+ 4x-4=-2xx则g(x)在(0, + 8)上单调递增，又 g(1) = - 20 ,所以g(x)在(1 , +8)上有唯一实数根.17. (2014 温州八校联考)已知函数 f(x