大学物理-第三章-137030032 (2)

1、一、理想气体状态方程一、理想气体状态方程1. 理想气体理想气体:密度不太高、压强不太大、温度不太密度不太高、压强不太大、温度不太低的实验范围内，且遵守低的实验范围内，且遵守玻意耳、盖吕萨克和查玻意耳、盖吕萨克和查理定律理定律三条定律的气体三条定律的气体2. 理想气体状态方程理想气体状态方程:RTMPVR=8.314J/molK 适用条件适用条件: 理想气体理想气体处于处于平衡态平衡态T单位为单位为k气体压强和温度气体压强和温度由大量分子组成的热力学系统从微观研究时，必须用统计方法由大量分子组成的热力学系统从微观研究时，必须用统计方法 .设设 为第为第 格中粒子数格中粒子数 iNiNNiNi l

2、im1iiiiNN归一化条件归一化条件 iiNN粒子总数粒子总数气体压强为：气体压强为：P2xvnmn单位体积内分子数单位体积内分子数-分子数密分子数密度度KnvnmP 32312 221vmK 引入分子引入分子平均平动动能平均平动动能：理想气体压强公式理想气体压强公式五、平均平动动能与温度五、平均平动动能与温度分子数密度（分子数密度（n）：单位体积内的分子数）：单位体积内的分子数目目. 2、温度本质和统计意义、温度本质和统计意义PTNR023KJNRk/1038. 1230令kTt23玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数温度公式温度公式微观量微观量宏观量宏观量气体的温度是气体分子气体的温度是气体分子平均

3、平动动能的量度平均平动动能的量度，描述，描述大量分子热运动剧烈程度的物理量大量分子热运动剧烈程度的物理量（2）将温度公式）将温度公式代入压强公式得：代入压强公式得：nkTkT23n32P 2、气体分子方均根速率、气体分子方均根速率uRTmkTv332kTvmK23212由平均平由平均平动动能动动能气体分子平均平动动能只与温度有关气体分子平均平动动能只与温度有关、道尔顿、道尔顿分压分压定律定律多种互不发生反应的气体在一容器中混合，达平衡态，则混合气体压强为多种互不发生反应的气体在一容器中混合，达平衡态，则混合气体压强为n1V3232)(323202121321PPnnnnnnPkkkk二、能量按

4、自由度均分定理二、能量按自由度均分定理kTvmt2321222z2y2xv31vvv kTvmvmvmzyx21212121222在热平衡条件下，物质分子的每一个自由度都具有相同在热平衡条件下，物质分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，都是的平均动能，都是 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理kT21t 平动自由度，平动自由度，r 转动自由度，转动自由度，s 振动自由度振动自由度, 则分子的则分子的平均平动动能平均平动动能 ，平均转动动能为，平均转动动能为 , 平平均振动动能为均振动动能为 kTtkt2kTrkr2kTsks2kTsrtk)(21 kTsrtpk)2(21 分子平均总分子

5、平均总动能动能:分子平均总分子平均总能量能量:ktik2 kT25 kT26 对于单原子分子对于单原子分子: t = 3 ,r = s = 0 ,则则对于刚性双原子分子：对于刚性双原子分子：t = 3, r = 2, s =,则则对于刚性多原子分子：对于刚性多原子分子：t = 3 , r = 3, s=,则则对于刚性分子对于刚性分子: 忽略振动忽略振动， s = 0 ,则则kT23 质量质量理想气体内能理想气体内能RTiME2u 内能仅与温度有关内能仅与温度有关温度改变量为温度改变量为T，则内能改变量为，则内能改变量为TRiME 2uRTi)kTi(NEA22 1mol 理想气体内能理想气体内

6、能理想气体内能理想气体内能 = 动能和原子间振动势能总和动能和原子间振动势能总和三、理想气体内能三、理想气体内能一贮有氮气容器以一贮有氮气容器以v0=200ms-1运动，若突然停止。试运动，若突然停止。试求容器中氮气温度和速率的平方平均值的变化求容器中氮气温度和速率的平方平均值的变化补例补例一容器内蓄有氧气，其压强为一容器内蓄有氧气，其压强为P =1.013105Pa，温度为温度为27，求，求: (1) 单位体积内的分子数；单位体积内的分子数；(2) 氧气氧气的密度；的密度；(3) 氧气分子的质量；氧气分子的质量；(4) 分子的平均平动动分子的平均平动动能；能；(5) 分子的平均总动能。分子的

7、平均总动能。解：氧气分子视为刚性双原子分子，解：氧气分子视为刚性双原子分子，i = 5325235/1045. 23001038. 110013. 1) 1 (mkTPnnkTP个335/30. 130031. 8103210013. 1uu)2(mkgRTPVMRTMPVkgNmA261031. 5u)3( J.kT)(kt2110216234 J.kT)(k20100351255 注意：注意： “分子的分子的” 微观量微观量 k “气体的气体的” 宏观量宏观量 Rf(v)满足满足归一化条件归一化条件: 21vvdv)v(fNN 1dv)v(f0 0vvdvv 一、一、 速率分布函数速率分布

8、函数NdN 一定量理想气体处于平衡态，设有一定量理想气体处于平衡态，设有N个分子，速率个分子，速率分布在分布在 vv+dv 区间内的分子数为区间内的分子数为dN，则，则 为为 在此在此区间内的区间内的分子数比率分子数比率。实验证明。实验证明:NdN 与与 v 的一定函数的一定函数 f(v) 成正比；成正比；NdN 与与 v 附近取的区间附近取的区间 dv 大小成正比。大小成正比。dv)v(fNdN NdvdN)v(f 则则 , 称为速率分布函数。称为速率分布函数。 已知已知 f(v) ,则可求任意速率区间内的分子数：则可求任意速率区间内的分子数：麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率1860年，

9、麦克斯韦导出年，麦克斯韦导出 f(v) 的表达式的表达式2223224ve)kTm()v(fkTmv 麦克斯韦麦克斯韦气体分子速率气体分子速率分布定律分布定律T-温度温度 m-气体分子质量气体分子质量 k-玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数由此，得分布在由此，得分布在vv+dv内的分子数比率：内的分子数比率：dvve)kTm(NdNkTmv2223224 二、麦克斯韦气体分子速率分布定律二、麦克斯韦气体分子速率分布定律1. 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布2. 麦克斯韦速率分布函数的几何意义麦克斯韦速率分布函数的几何意义vv+dvv)(vf0N出现在出现在vv+dv区间区间内的分子数比率内的分子数比率d

10、N面积面积= v1v2出现在出现在 v1 v2 区间内区间内的分子数比率的分子数比率dvvfNNvv 21)(大部分分子的速率大部分分子的速率分布在中等区域分布在中等区域气体分子的气体分子的速率分布曲线下面积速率分布曲线下面积100 NNdNdvvf)(最概然速率：与最概然速率：与 f(v) 极大值对应的速率极大值对应的速率vpvO 对于相同速率区间而言，分布在对于相同速率区间而言，分布在 vp 所在的那个区所在的那个区间内的分子数比率最大。或者说间内的分子数比率最大。或者说某一分子的速率取某一分子的速率取 Vp 所在区间的值的几率最大。所在区间的值的几率最大。1. 最概然速率最概然速率pv与

11、分布函数与分布函数 f(v) 的极大值相对应的速率的极大值相对应的速率极值条件极值条件0 pvvdvvdf)(uRTuRTmkTvp41. 1222. 平均速率平均速率v大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值三、分子速率的三种统计平均值三、分子速率的三种统计平均值 设在设在vv+dv 内有内有dN个分子，这些分子的速率视为相个分子，这些分子的速率视为相同，则同，则 0dv)v(vfNdNvNvdNvuRTuRTmkTv60.1883. 方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 0222dv)v(fvNdNvvmkTv32 uRTuRTm

12、kTvvrms73. 1332 023212 dvevv504832 dvevvpvvrmsv都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比Tmuf(v)vpvv2v一定温度时，一定温度时，rmspvvv 温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速率大的分子数越多.温度升高，分布曲线中的最可几温度升高，分布曲线中的最可几速率速率vp增大，但归一化条件要求增大，但归一化条件要求曲曲线下总面积不变线下总面积不变，因此分布曲线，因此分布曲线变平坦，高度降低。变平坦，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2321TTT 讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦

13、克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv 例例 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均根速时，氢气和氧气分子的方均根速率率 .rmsvC2713Hmolkg100 . 22 u13Omolkg10322 u11molKJ31. 8 RK300 TuRT

14、3rms v13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2） 例例 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd 例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和

15、氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .vv )( fuRT2pv)O()H(22uu)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2puuvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o 设分子速度大小为设分子速度大小为v，B到到C所需的时间为所需的时间为 t，只有，只有满足满足vt= l、t=t=关系的分子才能到达关系的分子才能到达C C的狭缝射到的狭缝射到显示屏上。显示屏上。四、分子速率的实验测定四、分子速率的实验测定实验装置实验装置测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显

16、示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵 改变改变（或（或l l、）可使速度大小不同的分子通）可使速度大小不同的分子通过过C C，故又称为，故又称为 速度选择器。速度选择器。 在麦克斯韦速度分布律中，考虑了分子速度方向在麦克斯韦速度分布律中，考虑了分子速度方向,则速度分布在则速度分布在 vxvx+dvx ,vyvy+dvy ,vzvz+dvz 内内的分子数比率为：的分子数比率为： zyxkT2vvvm23dvdvdvekT2mNdN2z2y2x 其中其中一、玻尔兹曼能量分布律一、玻尔兹曼能量分布律1. 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律第四节第四节 气体分子能量分布的统计规律气体分子能量分布的统计规律z

17、yxvvvdddddsind2vv, 2004ddsin2.玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 玻尔兹曼对麦克斯韦速度分布律作了推广：玻尔兹曼对麦克斯韦速度分布律作了推广：(1) 分子在保守力场中分子在保守力场中pkEEE 分子数为内的同时坐标在区间dzzzdyyydxxxdvvvdvvvdvvvzzzyyyxxx,(2) 分子的分布不仅按速度区间分子的分布不仅按速度区间 v v+d v 分布，分布，还应按位置空间还应按位置空间 xx+dx, yy+dy, zz+dz 分布。分布。 当系统在保守力场中处于平衡态时，当系统在保守力场中处于平衡态时，速度在速度在 dxdydzdvdvdvekTmndNz

18、yxkTpk 23021223 zyxkTdvdvdvekTmk dxdydzenNdkTp 0玻尔兹曼分子玻尔兹曼分子按能量分布律按能量分布律其中其中 n0 为零势面处的分子数密度为零势面处的分子数密度.将上式对所有可能的速度积分，并考虑归一化条将上式对所有可能的速度积分，并考虑归一化条件：件：dxdydzNdn kTpenn 0dN 分布分布在坐标区间在坐标区间 xx+dx, yy+dy, zz+dz内小体积元内小体积元dxdydz中具有各种速度的分子总数中具有各种速度的分子总数。该区间的分子数密度为：该区间的分子数密度为：这是玻尔兹曼分子数密度按势能的分布律，在任这是玻尔兹曼分子数密度按

19、势能的分布律，在任何保守力场中都成立。它又是一普遍规律，对任何保守力场中都成立。它又是一普遍规律，对任何物质微粒在保守力场中运动的情形都适合。何物质微粒在保守力场中运动的情形都适合。n0势能等于零处的分子数密度势能等于零处的分子数密度由玻尔兹曼分布律证明等温气压公式由玻尔兹曼分布律证明等温气压公式kTmghePP 0式中式中 P0 为为 h=0 处的大气压强，处的大气压强，P 为为h 处的大气压处的大气压强，强，m 是大气分子质量。是大气分子质量。证：证：kTpenn 0mghp kTmghenn 0由方程由方程nkTP ,00kTnP kTmghenn 0kTmghePP 0大气分子数密度和

20、压强随高度增加按指数规大气分子数密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）律减小（高空空气稀薄，气压低）二、等温气压公式二、等温气压公式MRT.MRTmkTv60188 气体分子气体分子平均速率平均速率氮气分子在氮气分子在270C时的平均速率为时的平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率大，气体分子热运动平均速率大，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。 气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其它气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其它分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常

21、曲折。生改变，所走的路程非常曲折。第五节第五节 气体分子碰撞的统计规律气体分子碰撞的统计规律AB 在相同的在相同的 t 时间内，分子由时间内，分子由A到到B的位移比它的路程小得多的位移比它的路程小得多扩散速率扩散速率(位移位移/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间) 分子平均自由程分子平均自由程:气体分子在连续两次碰撞之间平均自由通过的路程。气体分子在连续两次碰撞之间平均自由通过的路程。平均碰撞频率平均碰撞频率:在单位时间内分子与其它分子碰撞的平均次数。在单位时间内分子与其它分子碰撞的平均次数。 大量大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规

22、律。可以求出在一秒钟内一个分子与其他计分布规律。可以求出在一秒钟内一个分子与其他分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。平均自由程平均自由程平均自由程平均自由程的大小是一定的的大小是一定的假定假定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d 的弹性小球的弹性小球只有某一个分子只有某一个分子A以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余分子都静止。vA dddvv在运动方向上，以在运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都为半径的圆柱体内的分子都将与分子将与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内: 分子分子A

23、经过路程为经过路程为v相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为vd2 圆柱体内圆柱体内分子数分子数nvd2 nvdZ2 一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数nvdZ2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvd2Z2 一秒钟内分子一秒钟内分子A经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数与其它分子发生碰撞的平均次数Z平均自由程平均自由程nd21Zv2 平均自由程与分子的平均自由程与分子的有效直径的平方及分有效直径的平方及分子数密度成反比子数密度成反比nkTP PdkT22 当温度恒定时当温度恒定时,平均自平均自由程与气体压强成反比由程与气体压强

24、成反比例例2.4 计算空气分子在计算空气分子在27，压强为，压强为1atm时的平均时的平均自由程和平均碰撞频率。自由程和平均碰撞频率。 取分子的有效直径取分子的有效直径 d = 3. 0 10-10m。已知空气的平均分子量为。已知空气的平均分子量为29 10-10m 。（。（P54)mPdkT721003.12smMRTv/4688191054.4svZ解：解：在标准状态下，几种气体分子的平均自由程在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体气体)(m )(md氢氢 氮氮 氧氧 空气空气7101231 .710599. 0 7106470 .810007 .101030. 2 101010. 3

25、 1010982 .1010103 .补例补例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = 3.10 10-10m。已知空气的平均分子量为。已知空气的平均分子量为29。解：解：已知已知m.d,Pa.atm.P,KT1051010310013101273 PdkT22 m.).(.8510231071810011105314341127310381 空气摩尔质量为空气摩尔质量为29 10-3kg/mols/mMRTv4488 198101510718448 s.vZ 空气分子在标准状态下空气分子

26、在标准状态下的平均速率的平均速率 在许多实际问题中，气体常处于在许多实际问题中，气体常处于非非平衡状态，气平衡状态，气体内各部分的温度或压强体内各部分的温度或压强不不相等，或各气体层之间有相等，或各气体层之间有相对相对运动等，这时气体内将有能量、质量或动量从一运动等，这时气体内将有能量、质量或动量从一部分向另一部分定向迁移，这就是非平衡态下气体的部分向另一部分定向迁移，这就是非平衡态下气体的迁移迁移现象。现象。xyz1v2v1粘滞现象（内摩擦）粘滞现象（内摩擦） 动量从流速大的气动量从流速大的气层向流速小的气层迁移层向流速小的气层迁移的现象。的现象。第六节第六节 气体的输运过程气体的输运过程第

27、六节第六节 气体分子碰撞的统计规律气体分子碰撞的统计规律气体层间的粘滞力气体层间的粘滞力dSdxdfv 气体粘滞现象的气体粘滞现象的微观本质是分子微观本质是分子定向定向运动运动动量的迁移动量的迁移 , 而而这种迁移是通过气体这种迁移是通过气体分子无规热运动来实分子无规热运动来实现的。现的。1v2vxyzvvv xxSAB 为粘度（粘性系数）为粘度（粘性系数）二二 热传导现象热传导现象xxSAB*1T2TQ12TT 设气体各气层间无相对运动设气体各气层间无相对运动 , 且各处气体分子数且各处气体分子数密度均相同密度均相同, 但气体内由于存在温度差而产生热量从温但气体内由于存在温度差而产生热量从温

28、度高的区域向温度低的区域传递的现象叫作热传导现度高的区域向温度低的区域传递的现象叫作热传导现象。象。dSdxdTdtdQ 气体热传导现象的微气体热传导现象的微观本质是分子热运动观本质是分子热运动能量能量的定向迁移的定向迁移, 而这种迁移而这种迁移是通过气体分子无规热运是通过气体分子无规热运动来实现的。动来实现的。 称为热导率称为热导率xxSAB*1n2nN12nn 三三 扩散现象扩散现象 自然界气体的扩散现象是常见的现象自然界气体的扩散现象是常见的现象,气体扩散现气体扩散现象的微观本质是气体分子数密度的定向迁移象的微观本质是气体分子数密度的定向迁移, 而这种而这种迁移是通过气体分子无规热运动来实现的。迁移是通过气体分子无规热运动来实现的。 dSdxdnDdtdNdSdxdDdtdm 为扩散系数为扩散系数D 气体扩散现象的微观气体扩散现象的微观本质是气体本质是气体分子数密度分子数密度的的定向迁移定向迁移, 而这种迁移是而这种迁移是通过气体分子无规热运动通过气体分子无规热运动来实现的来实现的.xxSAB*1n2nN12nn 四四 三