对函数的相关概念及性质分析

1、金太阳新课标资源网 对函数的相关概念及性质分析导读:绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x|y|=x就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。3.1导数,是微积分中的重要基础概念。关键词:函数,概念,性质首先是初等函数相关问题分析:1.绝对值函数的概念及性质绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x|y|=x就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换

2、,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性例如f(x)=a|x|+b是定义域:即x的取值集合,为全体实数;值域:不小于b的全体实数单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;>>增;<<增;<<减;1.2绝对值函数图象规律:|f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。2.取整函数的概念与性质2.1取整函数是:设xR

3、,用x或int(x)表示不超过x的最大整数,并用"x"表示x的非负纯小数,则y=x称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x=x+x,其中x0,+)称为小数部分函数。2.2取整函数的性质:a对任意xR,均有x-1<xx<x+1.b对任意xR,函数y=x的值域为0,1).c取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2R,若x1x2,则x1x2.d若nZ,xR,则有x+n=n+x,n+x=x.后一式子表明y=x是一个以1为周期的函数.e若x,yR,则x+yx+yx+y+1.f若nN+,xR,则nxnx.g若nN+,xR+,

4、则在区间1,x内,恰好有x/n个整数是n的倍数.h设p为质数,nN+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=n/p+n/p2+3.导数的概念与性质3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。3.2求导数的方法(1)求函

5、数y=f(x)在x0处导数的步骤:求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0);求平均变化率;取极限,得导数.(2)几种常见函数的导数公式:C'=0(C为常数函数);(xn)'=nx(n-1)(nQ);(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx;(ex)'=ex;(ax)'=axlna(ln为自然对数);(Inx)'=1/x(ln为自然对数;(logax)'=(xlna)(-1),(a>0且a不等于1).补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。(3)导数的四

6、则运算法则:(u±v)'=u'±v'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/v2.(4)复合函数的导数复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数-称为链式法则。4.高等函数的概念以及含义问题4.1一元微分1)一元微分是设函数y=f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0+x在此区间内。如果函数的增量y=f(x0+x)?f(x0)可表示为y=Ax+o(x)(其中A是不依赖于x的常数),而o(x0)是比x高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的

7、,且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分,记作dy,即dy=Ax。通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,记作dx,即dx=x。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f(X)dX。例如:d(sinX)=

8、cosXdX。2)其几何意义为:设x是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量,y是曲线在点M对应x在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应x在纵坐标上的增量。当|x|很小时,|y-dy|比|y|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。4.2多元微分1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。2)多元微分的运算法则dy=f'(x)dxd(u+v)=du+dvd(u-v)=du-dvd(uv)=du·v+dv·ud(u/v)=(du·v-dv·u)/v23)微分表d(x3/3)=x2dxd(-1/x)=1/x2dxd(lnx)=1/xdxd(-cosx)=sinxdxd(e(x2)/2)=xe(x2)dx高等函数中还有值定理与