四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1+i)z=1−i，则z的共轭复数为(

)A.−i B.i C.2−i D.2+i2.已知平面向量a=(−1,1)，b=(1,m)，若a/​/b，则A.−2 B.0 C.1 D.23.设a，b∈R，则“ab<1”是“0<a<1b”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P是C上一点，且△OPF的面积为1.则|PF|=(

)A.1 B.2 C.2 D.5.某家电公司生产了A，B两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示．分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是(

)

A.A型号空调月销售量的极差比B型号空调月销售量的极差大

B.A型号空调月平均销售量比B型号空调月平均销售量大

C.A型号空调月销售量的上四分位数比B型号空调销售量的上四分位数大

D.A型号空调月销售量的方差比B型号空调月销售量的方差小6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA⊥CB，AB=CC1A.82π3 B.32π3 7.已知tanαsinα=3，则tan2A.3 B.3 C.9 D.8.已知P是椭圆16x2+25y2=1600上的一点，且在x轴上方，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，直线A.17 B.37 C.11二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知定义在R上的函数f(x)=3x,x>a,f(x+3),x≤a,且f(−1)=9A.a的值可以为−1

B.a的值可以为2

C.若f(a)=81，则a=1

D.若m>n，且f(m)=f(n)，则m的最大值为a+310.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A是△ABC的最小内角，且tanA为整数，若sinA+asinB=A.A=π4

B.b=2

C.若B<C，且tanB为整数，则tanB=2

D.若△ABC11.已知集合P⊆N ​∗，对于P中的任意两个元素a，b，都有ab−16|a−b|≤0，则集合P的元素个数可以为(

)A.4个 B.7个 C.9个 D.10个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a413.在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问题，已知他答对甲、乙、丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立．若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为________．14.在坐标平面xOy中，已知过点M(a,b)恰能作曲线y=lnx2的2条切线，则由所有点M四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知等比数列{an}满足a1=2，且4(1)求数列{a(2)求an+16.(本小题15分)已知函数f(x)=x2+4lnx−ax−m(实数a，m为常数)(1)求实数a的值，并求f(x)的极小值；(2)当x∈[1,2]时，设T(m)为|f(x)|的最大值，求T(m)的最小值．17.(本小题15分)如图1，等腰梯形ABCD中，AB//CD，CD=AB+2，E，F分别为AB，CD的中点，且EF=6，将梯形AEFD沿EF翻折至梯形A1EFD1，使得平面A1(1)证明：A1，B，C，D(2)求BE的长；(3)在D1C上取一点P，使得平面EFP⊥平面A1BCD118.(本小题17分)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点为A，B，且|AB|=2，双曲线C的一条渐进线的斜率为2，过点R(2,0)的直线(1)求双曲线C的方程；(2)若双曲线C上存在点T，且OT=2(3)过点R(2,0)的直线l2双曲线C于P，Q两点，直线l1的斜率为k112<k1<1，直线19.(本小题17分)如图所示的平面直角坐标系中，是一个模拟某旅游地区的(n+1)×(n+1)格点图，共有(n+1)2个格点．阴影区域S1与S2分别是该城市两大著名景区，阴影部分内的格点代表景区内的景点．游客在格点之间必须乘坐观光车，从格点(1)当n=3时，求一辆观光车从A点到B点会经过格点(2,1)的路线总数；(2)已知一个由m个+1和m个−1构成的含有2m项的序列：a1，a2，…，a2m，满足任意前k项和i=1k(ⅰ)当n=4时，某游客游览了7个景点，求他游览的路线总数；(ⅱ)设某游客游览了两个景区各至少1个景点的路线总数为Q(n)，求证：当n≥5时，168×195n−5参考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.C

8.C

9.ACD

10.AB

11.AB

12.−8

13.0.42

14.{(a,b)|a=0或b=ln15.解：(1)设数列公比为q，

由4a3，2a4，a5成等差数列得：4a4=4a3+a5，

∴4a3q=4a3+a3q216.解：(1)f′(x)=2x+4x−a，令f′(x)=0，

∵函数f(x)在x=1处取得极值．

∴f′(1)=0，则a=6，

f′(x)=2x+4x−6=2(x−1)(x−2)x，

令f′(x)=0，可得x=1，或x=2，

x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增;

x∈(1,2)，f′(x)<0，f(x)单调递减;

x∈(2,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴f(x)的极小值为f(2)=4ln2−8−m;

(2)由(1)可知f(x)在[1,2]上单调递减，

∴f(1)=−5−m，f(2)=4ln2−8−m，17.解：(1)梯形ABCD中DA，CB，EF不平行，延长D1A1，CB，EF，

记D1A1∩FE=M，CB∩FE=N，

∵∠A1D1F=∠BCF，D1F=CF，∠D1FM=∠CFN，

∴△MFD1≌△NFC，则FM=FN，即M，N重合，

∴D1A1∩CB=M，

所以A1，B，D1，C四点共面;

(2)∵平面A1EFD⊥平面BEFC，面A1EFD1∩面BEFC=EF，D1F⊥EF，D1F⊂面A1EFD1，

∴D1F⊥面BEFC，又CF⊂面BEFC，则D1F⊥CF，

易知FE，FC，FD1两两垂直，不妨以F为坐标原点，

以FE，FC，FD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．

不妨设A1E=BE=a，则E(6,0,0)，A1(6,0,a)，B(6,a,0)，C(0,a+1,0)，D1(0,0,a+1)，

则FB=(6,a,0)，A1C=(−6,a+1,−a)，

由BF⊥A1C可知，FB⋅A1C=−6+a(a+1)=0，可解a=2，

∴A1E=BE=2;

(3)∵平面EFP⊥面A1BCD1，记面EFP∩面A1BCD1=l，

在平面EFP内过点E作直线m⊥l，∴D1C⊥m，

又∵EF⊥面D1FC18.解：(1)|AB|=2，则2a=2即a=1，

又ba=2，解得b=2，

∴双曲线C的方程为x2−y22=1．

(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则由OT=28(OM+ON)，

可得：T(2(x1+x2)8,2(y1+y2)8)，

又点T在双曲线C上，则2(2(x1+x2)8)2−(2(y1+y2)8)2=2，

化简整理得：2x12+4x1x2+2x22−y12−y22−2y1y2=64，

又M(x1,y1)，N(x2,y2)均在双曲线C上，则2x12−y12=2，2x22−y22=2，

代入上式整理得：2x1x2−y1y2=30⋯⋯ ①，

易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，

设直线l1方程为x=ty+2，则19.解：(1)当n=3时，巴士从(0,0)行驶到(2,1)时，共有C32=3种行驶路线;从(2,1)行驶到(3,3)时，共有C32=3种行驶路线;

因此经过(2,1)的行驶路线共有3×3=9种;

(2) (i)除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点．

∴巴士第一步必然到达(1,0)或(0,1)格点，且必然从(4,3)或(3,4)到达终点.在这个过程中既不会穿过AB对角线，也不会到达对角线上的格点.考虑对称性，不妨先计算从格点(1,0)到达格点(4,3)，且不经过(1,0)与(4,3)连线上方格点的路线总数．

假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个−1的序列a1，a2，⋯，a6.行驶路线不经过(1,0)与(4,3)连线上方格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即i=1kai≥0.

根据题意，满足条件的路线总数应为C63−C62=5种．

从而从格点(0,1)到达格点(3,4)，且不经过(0,1)与(3,4)连线上方格点的路线总数也为5种.因此游客游览了7个景点的路线总数为10种．

(ii)要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB．

不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为R(n)，假设向右行驶记为1，向上行