培优提高训练华师大版九年级数学上册一元二次方程 典型例题解析教师用

1、【培优提高训练】华师大版九年级数学上册 第22章 一元二次方程 典型例题解析一、解答题1.已知关于x的方程a1-x2+2bx+c(1+x2)=0有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。 【答案】证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根。=0，即=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2。以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。 【考点】根的判别式 【解析】【

2、解答】先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到=0，即=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2 ， 根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识。当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根。2.在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540m2 ， 求道路的宽【答案】解：设道路的宽为xm

3、，根据题意得：（32x）（20x）=540，解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去），答：道路的宽是2m 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】根据题意使草坪的面积为540m2和矩形面积公式，得到等式，求出道路的宽的值；注意要符合实际情况.3.如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间PCQ的面积是2 3 cm2？【答案】解：设经过xsPCQ的面积是2 3 cm2 ， 由题意得12 （6x）× 32 x=2 3解得：x1=2，x2=4

4、，答：经过2s或4sPCQ的面积是2 3 cm2 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设经过xsPCQ的面积是23cm2 ， 由三角形的面积=12底×高=12×CP×CP边上的高=23；列方程即可求解。4.已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0（1）当该方程有一个根为1时，确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，确定m的取值范围 【答案】解：（1）把x=1代入mx2+x+1=0，得m+1+1=0，解得m=2；（2）由题意得：=14m0，解得m14 又m0所以m的取值范围是：m14且m0 【考点】一元二次方程的解，根的判别式 【解析】【分析】（

5、1）把x=1代入已知方程，即利用方程的解进行解题；（2）根据根的判别式得到：0，由此列出关于m的不等式，通过解不等式确定m的取值范围5.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元 【答案】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元 根据题意，得（x3）（50010× ）=800，解得x1=7，x2=5售

6、价不能超过进价的200%，x3×200%即x6x=5答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价进价）×销售量，列出方程求解即可6.如图，某小区规划在一个长40米，宽为26米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为144平方米，求道路的宽度 【答案】解：设道路的宽为x米， 由题意得：40×262×26x40x+2x2=144×6化简得：x246x+88

7、=0解得：x=2，x=44当x=44时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去答：道路的宽为2米 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】本题中草坪的总面积=矩形场地的面积三条道路的面积和+三条道路中重叠的两个小正方形的面积，据此可得出关于道路宽度的方程，求出道路的宽度7.如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1 ， x2 ， 那么x1+x2=p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab+ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x

8、=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2-y+k=0x-y=1的两个不相等的实数解问：是否存在实数k，使得y1y2x1x2-x2x1=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）a、b是方程x2+15x+5=0的二根，a+b=15，ab=5，ab+ba=a+b2-2abab=-152-2×55=43，故答案是：43；（2）a+b+c=0，abc=16，a+b=c，ab=16c ， a、b是方程x2+cx+16c=0的解，c2416c0，c243c0，c是正数，c3430，c343 ， c4，正数c的最小值是4（3）存在，当k=2时，y1y2-x1x

9、2-x2x1=2 由x2y+k=0变形得：y=x2+k，由xy=1变形得：y=x1，把y=x1代入y=x2+k，并整理得：x2x+k+1=0，由题意思可知，x1 ， x2是方程x2x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：-12-4k+1>0x1+x2=1x1x2=k+1y1y2=x1-1x2-1y1y2-x1x2-x2x1=x1-1x2-1-x1+x22-2x1x2x1x2=2即：k<-34k2+2k=0解得：k=2 【考点】根的判别式，根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出ab+ba的值（2）根据a+b+c=0

10、，abc=16，得出a+b=c，ab=16c ， a、b是方程x2+cx+16c=0的解，再根据c2416c0，即可求出c的最小值（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2x1x2-x2x1=2，即可求出k的值8.如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m求裁剪后剩下的阴影部分的面积 【答案】解：设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为（x1）m， 根据题意得：x（2x1）=15，解得：x1=3，x2= （不合题意舍去），小正方形的边长为（x1）=31=2，裁剪后剩下

11、的阴影部分的面积=152232=2（m2），答：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程求解即可9.小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的一边AD（垂直围墙的边）究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 【答案】解：设AB的长为x米，矩形的面积为y平方米， y=x = ，0x10，x=10时，y取得最大值，此时AD= 米，即花圃的一边AD（垂直围墙的边）11

12、米时，能使花圃的面积最大 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】根据题意可以列出相应的关系式，化为二次函数的顶点式，从而可以解答本题10.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】解：设每件童装应降价x元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=20，x2=10，当x=20时，20+2x=60（件），当

13、x=10时，20+2x=40（件）， 60>40， x2=10舍去.答：每件童装应降价20元. 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设每件童装应降价x元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解一元二次方程，再由尽快减少库存得到答案.11.如图，四边形ABCD中，ADBC，A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t0）（1）求线段CD的长； （2）

14、t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？ 【答案】（1）解：如图1，作DEBC于E，则四边形ADEB是矩形BE=AD=1，DE=AB=3，EC=BCBE=4，在RtDEC中，DE2+EC2=DC2 ， DC= DE2+CE2 =5厘米；（2）解：点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，BP=t厘米，PC=（5t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（52t）厘米，且0t2.5，作QHBC于点H，DEQH，DEC=QHC，C=C，DECQHC， DEQH = DCQC ，即 3QH = 52t ，QH= 65 t，SPQC= 12 PCQH= 12 （5t）

15、65 t= 35 t2+3t，S四边形ABCD= 12 （AD+BC）AB= 12 （1+5）×3=9，分两种情况讨论：当SPQC：S四边形ABCD=1：3时， 35 t2+3t= 13 ×9，即t25t+5=0，解得t1= 5-52 ，t2= 5+52 （舍去）；SPQC：S四边形ABCD=2：3时， 35 t2+3t= 23 ×9，即t25t+10=0，0，方程无解，当t为 5-52 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分 【考点】一元二次方程的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用 【解析】【分析】（1）作DEBC于E，根据勾股定理即可求解；（

16、2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解二、综合题（共11题；共130分）12.解答 （1）7x（5x+2）=6（5x+2） （2）关于x的一元二次方程x2+3x+m1=0有两个实数根，求m的取值范围 【答案】（1）解：7x（5x+2）=6（5x+2） 7x（5x+2）6（5x+2）=0（5x+2）（7x6）=0，5x+2=0或7x6=0，解得，x1= ，x2= （2）解：于x的一元二次方程x2+3x+m1=0有两个实数根， 324×1×（m1）0，解得，m ，即m的取值范围是m 【考点】解一元二次方程因式分解法，根的判别式 【解析】【分析】（

17、1）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程；（2）由题意可知，0，从而可以求得m的取值范围13.已知关于x的方程 x2-(k+1)x-6=0 . （1）求证：无论k取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为2，试求出k的值和另一根 【答案】（1）证明： b2 4ac= ( k + 1 ) 24×1×( 6) = ( k + 1 ) 2+ 24 24 ， 无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根（2）解：将 x=2 代入方程 x2-(k+1)x-6=0 中，22-2(k+1)-6=0 ，即 k+2=0 ，解得： k=-2 原方程为： x2+x-6

18、=0 ，即 (x-2)(x+3)=0 ，解得： x1=2 ， x2=-3 故k的值为 -2 ，方程的另一根为 -3 【考点】一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】（1）首先算出其根的判别式的值，由偶次方的非负性知判别式的值一定大于0，故 无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据方程的根的概念，将x=2代入原方程，即可求出k的值，将k的值，代入原方程，利用因式分解法即可求出原方程的根，从而得出答案。14.曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房

19、地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售 （1）求平均每次下调的百分率 （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.9折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1x）2=3240 解之得：x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去） 所以，平均每次下调的百分率是10%（2）解：方案优惠=100×3240×（199%）=3240元 方案优惠=100×1.4×1

20、2×2=3360元故选择方案更优惠 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案更优惠15.我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元 （1）求每张门票原定的票价； （2）在展览期间，平均每天可售出个人票2019张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个

21、人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？ 【答案】（1）解：设每张门票的原定的票价是x元， 解得，x=120经检验x=120是原分式方程的解，即每张门票的原定的票价是120元；（2）解：要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低x元， （120x）（2019+ ×40）=241500，解得，x1=5，x2=15，能有效控制游览人数，x=5时，购买的人数较少，可以较好的控制，即要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低5元 【考点】一元二次方程的应用 【解

22、析】【分析】（1）根据题意，可以设每张门票的原定的票价是x元，然后根据按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元即可列出方程，本题得以解决；（2）根据题意，可以列出相应的方程，注意要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则说明在获得这些利润时，游客越少越容易控制16.某商场经营A种品牌的玩具，购进时间的单价是30元，但据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具 （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x40），请用含x的代数式表示该玩具的销售量； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于4

23、4元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ （3）该商场计划将（2）中所得的利润的一部分资金采购一批B种玩具并转手出售，根据市场调查并准备两种方案，方案：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；方案：如果只到月末出售可直接获利30%，但要另支付他库保管费350元，请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？ 【答案】（1）解：根据题意，得：销售单价为x元时，销售量为60010（x40）=100010x（2）解：由题意可得， w=（x30）600（x40）×10化简，得w=10x2+1300x3000

24、0即w与x的函数关系式是：w=10x2+1300x30000=10（x65）2+12250， ，44x55，当x=55时，Wmax=11250（3）解：设取用资金为a元，则： y1=a（1+15%）（1+10%）=1.265a；y2=a（1+30%）350=1.3a350；当y1=y2时，即1.265a=1.3a350，解得a=1000，此时获利相同；当y1y2时，即1.265a1.3a350，解得a1000，此时获利多；当y1y2时，即1.265a1.3a350，解得1000a11250，此时获利多 【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用 【解析】【分析】（1）根据销售量由原销量因价格上

25、涨而减少的销量可得；（2）根据利润=销售量×每件的利润，即可解决问题，根据题意确定自变的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题；（3）设取用资金为a元，先表示出两种方案的获取利润表达式，再分类讨论可得17.某租赁公司拥有汽车100辆据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元 （1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少

26、元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？ 【答案】（1）解：因为月租金4600元，未租出6辆车，租出94辆车； 月收益：94×（4600500）6×100=384800（元），即38.48万元（2）解：设上涨x个100元，由题意得 （4000+100x500）（100x）100x=404000整理得：x264x+540=0解得：x1=54，x2=10，因为规定每辆车月租金不能超过7200元，所以取x=10，4000+10×100=5000答：月租金定为5000元 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）由月租金比全部租出多4600

27、4000=600元，得出未租出6辆车，租出94辆车，进一步算得租赁公司的月收益即可；（2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元列出方程解答即可18.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动 （1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm 【答案】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2 ， 则PB=（163x）cm

28、，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得 （163x+2x）×6=33，解之得x=5（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm， 作QEAB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，PA=3t，CQ=BE=2t，PE=ABAPBE=|165t|，由勾股定理，得（165t）2+62=102 ， 解得t1=4.8，t2=1.6答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm

29、2 ， 则PB=（163x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程： 12 （163x+2x）×6=33，解方程可得解；（2）作QEAB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解19.如图S22，在RtABC中，C90°，AC20 cm ， BC15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示RtCPQ的面积S； （2）当t3秒时，这时

30、，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，S425SABC? 【答案】（1）解：S20t4t2（2）解：当t3时，CP204×38(cm)，CQ2×36(cm)，PQ10(cm)（3）解：列方程20t4t2××15×20，解得t2或t3.t为2秒或3秒时SSABC. 【考点】一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【分析】(1)根据题意可得，CQ=2t，CP=20-4t,所以RtCPQ的面积S=12CQ·CP=12×2t×（20-4t）=20t4t2；（2）当t3秒时，CQ=2t=2&

31、#215;36，CP=20-4t=20-4×3=8,所以根据勾股定理可得，PQ10；（3）根据题意列方程得，20t4t2425×15×20，解方程得，t2或t3.即t为2秒或3秒时S425SABC.20.已知：如图所示，在ABC中，B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PBQ中PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，当P，

32、Q出发几秒时，PBQ有最大面积? 【答案】（1）解：设t秒后，PBQ的面积等于4cm2 ， 则列方程为：（5-t）×2t× 12 =4，解得t1=1，t2=4（舍），答：1秒后，PBQ的面积等于4cm2. （2）解：设x秒后，PBQ中PQ的长度等于5cm，列方程为：（5-x）2+（2x）2=52 ， 解得x1=0（舍），x2=2，答：2秒后，PBQ中PQ的长度等于5cm。（3）解：设面积为Scm2 ， 时间为t，则S=（5-t）×2t× 12 =-t2+5t，当t=2.5时，面积最大. 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）设t秒后

33、，PBQ的面积等于4cm2 ， 根据题意PA=t ,BP=5-t ,BQ=2t ,根据三角形的面积公式及三角形的面积等于4，列出方程，求解并检验即可；（2）设x秒后，PBQ中PQ的长度等于5cm，根据题意PA=x ,BP=5-tx,BQ=2x ,根据勾股定理得出方程，求解并检验即可；（3）设面积为Scm2 ， 时间为t，根据三角形的面积公式得出S与t的函数解析式，从而得出次函数是S与t的二次函数，然后利用顶点坐标公式得出当t=2.5时，面积最大.21.为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y2x80.设这种产品每天的销售利润为w元 （1）求w与x之间的函数关系式； （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门