卵形曲线计算

1、高等级公路卵形曲线的计算方法周烨摘要在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。关键词卵形曲线复曲线匝道桥高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。其中线坐标解算方法有如下几种： 测绘信息网1补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R

2、15;LA，假设R1R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长ls，求缓和曲线的总长L。lLls(1)l就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由YH点补长l至o点，以o点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y轴方向建立坐标系（图1）。缓和曲线公式（推导过程略）如下： 测绘信息网(2)(3)图1利用x、y值可以求得oYH弦与x轴的夹角：3。1为YH点的切线方位角，则ox的方位：1±。o点的坐标可由几何关系求得为（x0，y0）。缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsin±ycos(5)2曲率推算 测绘信息网缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径R1

3、变为第二段曲率半径R2（假设R1R2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y轴的坐标系（图2），设P点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为l，该点附近的微分弧长为dl，缓和曲线偏角为，则有dx=dlcos(7)dy=dlsin(8)图2由于 测绘信息网将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)YyYHxsin±ycos(12)为曲线YH点切线方位。3其它 测绘信息网连接两反曲线或在立交桥匝道上为使墩位美观，常采用缓和曲

4、线连接（图3）。其解算方法以YH点作为起点，以其切线为x轴建立坐标系，不考虑第一种情况中所讲的缓和曲线加长，而直接用式（2）、（3）进行计算，然后统一坐标。图3圆曲线坐标计算在此不再赘述。全站仪广泛地应用到路桥施工中，外业施工放样可在仪器匹配的支持下自动完成。复曲线内业计算、复核线路坐标则成为繁琐问题。4实例 测绘信息网已知R1为5000m，R2为90m，YH点切线方位1为3275659，YH点里程为3279，坐标为（61205.283，101834.119），HY点里程为416.28，坐标为：（61140.068，101892.317）。由已知数据可得：由式（2）、（3）计算填至附表第3、4

5、栏内，由式（4）、（5）公式计算填入第5、6栏内。里程延长至原点距离（m) x(m)y(m)xyK03600057957652398261185452101859215K03279090877761473461205283101834119作者简介：周烨，男，1996年毕业于辽宁工程技术大学测量工程专业，现任铁道部十九局二处助理工程师，先后参加过太峪隧道、南京长江二桥、宁台温高速公路等工程的施工建设。 作者单位：（铁道部十九局） 测绘信息网曲线任意里程中边桩坐标正反算(CASIO fx-4800P计算器)程序一、程序功能     &#

6、160;  本程序由一个主程序(TYQXjs)和两个子程正算子程序(SUB1)、反算子程序(SUB2)序构成，可以根据曲线段直线、圆曲线、缓和曲线（完整或非完整型）的线元要素（起点坐标、起点里程、起点切线方位角、线元长度、起点曲率半径、止点曲率半径）及里程边距或坐标，对该曲线段范围内任意里程中边桩坐标进行正反算。另外也可以将本程序中核心算法部分的两个子程序移植到其它相关的程序中，用于对曲线任意里程中边桩坐标进行正反算。本程序也可以在CASIO fx-4500P计算器及 CASIO fx-4850P计算器上运行。二、源程序1.主程序(TYQXjs

7、)"1.SZ => XY"："2.XY => SZ"：N：U"X0"：V"Y0"：O"S0"：G"F0"：H"LS"：P"R0"：R"RN"：Q：C=1÷P：D=(P-R)÷(2HPR)：E=180÷：N=1=>Goto 1：>Goto 2Lbl 1：SZ：SZ：W=Abs(S-O)：Prog&

8、#160;"SUB1"：X"XS"=XY"YS"=YGoto 1Lbl 2：XY：XY：I=X：J=Y：Prog "SUB2"：S"S"=O+WZ"Z"=ZGoto 22. 正算子程序(SUB1)A=0.1739274226：B=0.3260725774：K=0.0694318442：L=0.3300094782：F=1-L：M=1-K：X=U+W(Acos(G+QEKW(C+KWD)+Bcos(G+QELW(C+LWD)+B

9、cos(G+QEFW(C+FWD)+Acos(G+QEMW(C+MWD)：Y=V+W(Asin(G+QEKW(C+KWD)+Bsin(G+QELW(C+LWD)+Bsin(G+QEFW(C+FWD)+Asin(G+QEMW(C+MWD)：F=G+QEW(C+WD)+90：X=X+ZcosF：Y=Y+ZsinF3. 反算子程序(SUB2)T=G-90：W=Abs(Y-V)cosT-(X-U)sinT)：Z=0：Lbl 0：Prog "SUB1"：L=T+QEW(C+WD)：Z=(J-Y)cosL-(I-X)sinL：AbsZ<1E-6=&g

10、t;Goto1：>W=W+Z：Goto 0Lbl 1：Z=0：Prog "SUB1"：Z=(J-Y)÷sinF三、使用说明1、规定        (1) 以道路中线的前进方向（即里程增大的方向）区分左右；当线元往左偏时，Q=-1；当线元往右偏时，Q=1；当线元为直线时，Q=0。        (2) 当所求点位于中线时，Z=0；当位于中线左铡时，Z取负

11、值；当位于中线中线右侧时，Z取正值。        (3) 当线元为直线时，其起点、止点的曲率半径为无穷大，以10的45次代替。        (4) 当线元为圆曲线时，无论其起点、止点与什么线元相接，其曲率半径均等于圆弧的半径。         (5) 当线元为完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率半径为无穷大，以1

12、0的45次代替；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。止点与直线相接时，曲率半径为无穷大，以10的45次代替；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。         (6) 当线元为非完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率半径等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。止点与直线相接时，曲率半径等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。2、输入与显示说明       输入部分：

13、0;     1. SZ => XY      2. XY = > SZ       N ?  选择计算方式，输入1表示进行由里程、边距计算坐标 ；输入2表示由坐标反算           

14、;   里程和边距。     X0 ？线元起点的X坐标      Y0 ？线元起点的Y坐标      S0 ？线元起点里程     F0 ？线元起点切线方位角     LS ？线元长度     R0&

15、#160;？线元起点曲率半径     RN ？线元止点曲率半径     Q ？  线 元左右偏标志(左偏Q=-1，右偏Q=1，直线段Q=0）      S ？ 正算时所求点的里程      Z ？正算时所求点距中线的边距(左侧取负，值右侧取正值，在中线上取零)   &#

16、160;  X ？反算时所求点的X坐标      Y ？反算时所求点的Y坐标       显示部分：       XS=×××    正算时，计算得出的所求点的X坐标       YS=×××

17、;    正算时，计算得出的所求点的Y坐标       S=×××    反算时，计算得出的所求点的里程       Z=×××    反算时，计算得出的所求点的边距四、算例        某匝道的由

18、五段线元（直线+完整缓和曲线+圆曲线+非完整缓和曲线+直线）组成，各段线元的要素（起点里程S0、起点坐标X0 Y0、起点切线方位角F0、线元长度LS、起点曲率半径R0、止点曲率半径RN、线 元左右偏标志Q）如下：S0   X0       Y0                   F0&#

19、160;           LS R0 RN     Q500.000    19942.837    28343.561     125 16 31.00    269.256    &

20、#160;1E45 1E45      0769.256    19787.340    28563.378     125 16 31.00      37.492     1E45 221.75     -

21、1806.748    19766.566    28594.574     120 25 54.07     112.779    221.75 221.75     -1919.527    19736.072    

22、;28701.893       91 17 30.63       80.285    221.75 9579.228   -1999.812    19744.038    28781.659       

23、80 40 50.00     100.000    1E45 1E45       0         1、正算          （注意：略去计算方式及线元要素输入，请自行根据所求点所在的线元输入线元要素） 

24、;           S=700  Z=-5    计算得  XS=19831.41785   YS=28509.72590            S=700  Z=0     计算得&#

25、160; XS=19827.33592   YS=28506.83837            S=700  Z= 5    计算得  XS=19823.25398   YS=28503.95084          &

26、#160; S=780  Z=-5    计算得  XS=19785.25749   YS=28575.02270            S=780  Z=0     计算得  XS=19781.15561   YS=28572.16358

27、            S=780  Z= 5    计算得  XS=19777.05373   YS=28569.30446                   

28、60;   S=870  Z=-5    计算得  XS=19747.53609   YS=28654.13091            S=870  Z=0     计算得  XS=19742.68648   YS=2

29、8652.91379            S=870  Z= 5    计算得  XS=19737.83688   YS=28651.69668                  

30、; S=940  Z=-5.123    计算得  XS=19741. 59118  YS=28722.05802            S=940  Z=0            计算得  XS=1

31、9736.47687   YS=28722.35642            S=940  Z= 3.009    计算得  XS=19733.47298   YS=28722.53168            

32、;       2、 反算             X=19831.418   Y=28509.726   计算得  S=699.9999974  Z= -5 .00018164       

33、0;     X=19827.336   Y=28506.838   计算得  S=699.9996493  Z= 0.000145136             X=19823.25398   Y=28503.95084    计算得&#

34、160; S=699.9999985  Z= 5.000003137           X=19785.25749   Y=28575.02270  计算得  S=780.0000035  Z= -5 .000001663         

35、0; X=19781.15561   Y=28572.16358   计算得  S=780.0000025  Z=- 0.000002979           X=19777.05373   Y=28569.30446   计算得  S=780.0000016  Z=

36、 4.99999578                     X=19747.536   Y=28654.131   计算得  S=870.0001137  Z= -4.99941049       

37、;    X=19742.686   Y=28652.914   计算得  S=870.0003175  Z=- 0.00041814           X=19737.837   Y=28651.697   计算得  S=870.0002748 

38、 Z= 4.999808656          X=19741.5912   Y=28722.0580   计算得  S=939.9999786  Z= -5.123024937          X=19736.4769   Y=287

39、22.3564   计算得  S=939.9999862  Z=- 0.000027710          X=19733.4730   Y=28722.5317   计算得  S=940.0000238  Z= 3.00898694另一个程序功能及原理1.功能说明：本程序由一个主程序(TYQXjs)和四个

40、子程正算子程序(SUB1)、反算子程序(SUB2)等构成，可以根据曲线段直线、圆曲线、缓和曲线（完整或非完整型）的线元要素（起点坐标、起点里程、起点切线方位角、线元长度、起点曲率半径、止点曲率半径）及里程边距或坐标，对该曲线段范围内任意里程中边桩坐标进行正反算。本修改版程序既可实现正算全线贯通，亦可实现反算全线贯通。本程序也可以在CASIO fx-4800P计算器运行。2计算原理：利用Gauss-Legendre 5点通用公式正算线路中边桩坐标、线外测点至曲线元起点和终点的垂距的符号是否相异（即Dca×Dcb<0=>该测点在其线元内）进行判断并利用该线

41、元要素反算中桩里程、支距，最后计算出放样数据。二、源程序1.主程序(TYQXjs)Lbl 0：Defm 50:"1.SZ => XY，2.XY => SZ"：N： N=1=>Goto 1：>Goto 2Lbl 1：SZ：SZSZ18=>J=1：Prog “DAT1”：Goto 3SZ26=>J=2：Prog “DAT1”：Goto 3SZ34=>J=3：Prog “DAT1”：Goto

42、 3SZ42=>J=4：Prog “DAT1”：Goto 3             SZ8（N+1）+2=>J=n：Prog “DAT1”：Goto 3Lbl 3：W=Abs(S-O)：Prog "SUB1"："XS=":X=X"YS=":Y=Y”FWI=”: F=F-M :FDMSGoto 4

43、Lbl 2：XY：XY：Z4=X：Z5 =Y：N=0Lbl  A：Isz N：A=Z8N+3-M：B=Z8（N+1）+3-M：Prog "ZX1" ：Z6×Z7<0=>J=N：Prog DAT1" ：Goto BA=Z8N+3+M：B=Z8（N+1）+3+M：Prog "ZX1" ：Z6×Z7<0=>J=N：Prog DAT1" ：Goto B

44、：> Goto ALbl  B：Prog "SUB2"："S=":S=O+W"Z=":Z=ZGoto 2Lbl 4:J=0:I=Pol(X-Z1，Y-Z2):F=J:F<0=>F=F+360  ”DIST=”:  I”FW=”:FDMS Goto 12. 正算子程序(SUB1)A=0.1184634425:B=0.2393143352:N=0.2844444444:K=0.046

45、9100770:L=0.2307653449:Z3=0.5:X=U+W(Acos(G+QEKW(C+KWD)+Bcos(G+QELW(C+LWD)+Ncos(G+QEZ3W(C+Z3WD)+Bcos(G+QE(1-L)W(C+(1-L)WD)+Acos(G+QE(1-K)W(C+(1-K)WD): Y=V+W(Asin(G+QEKW(C+KWD)+Bsin(G+QELW(C+LWD)+Nsin(G+QEZ3W(C+Z3WD)+Bsin (G+QE(1-L)W(C+(1-L)WD)+Asin (G+QE(1-K)W(C+(1-K)WD)：M”ANG=”: 

46、F=G+QEW(C+WD)+M：X=X+ZcosF：Y=Y+ZsinF 3. 反算子程序(SUB2)M”ANG=”:T=G-M：W=Abs(Y-V)cosT-(X-U)sinT)：Z=0：Lbl 0：Prog "SUB1"：L=T+QEW(C+WD)：Z=(Z5-Y)cosL-(Z4-X)sinL：AbsZ<1E-6=>Goto1：>W=W+Z：Goto 0Lbl 1：Z=0：Prog "SUB1"：Z=(Z5-Y)÷sinF4. 垂距计算子程序(ZX1)Z

47、6=(Z5-Z8N+1)COS A-(Z4-Z8N)SIN AZ7=(Z5-Z8(N+1)+1)COS B-(Z4-Z8(N+1)SIN B5.曲线元要素数据库：DAT1Lbl1:J=1=>U=Z8:V=Z9:O=Z10:G=Z11:H=Z12:P=Z13:R=Z14:Q=Z15J=2=>U=Z16:V=Z17:O=Z18:G=Z19:H=Z20:P=Z21:R=Z22:Q=Z23J=3=> U=Z24:V=Z25:O=Z26:G=Z27:H=Z28:P=Z29:R=Z30:Q=Z31J=4=> U=Z32:V

48、=Z33:O=Z34:G=Z35:H=Z36:P=Z37:R=Z38:Q=Z39                       J=N=> U=Z8N:V=Z8N+1:O=Z8N+2:G=Z8N+3:H=Z8N+4:P=Z8N+5:R=Z8N+6:Q=Z8N+7(注：如有多个曲线元要素继续添加入数据库DAT1中)Lbl 2 ：U&qu

49、ot;X0"：V"Y0"：O"S0"：G"F0"：H"LS"：P"R0"：R"RN"：Q：C=1÷P：D=(P-R)÷(2HPR)：E=180÷三、使用说明1、规定        (1) 以道路中线的前进方向（即里程增大的方向）区分左右；当线元往左偏时，Q=-1；当线元往右偏时，Q=1；当线元为直线时，Q=0。   &

50、#160;    (2) 当所求点位于中线时，Z=0；当位于中线左铡时，Z取负值；当位于中线中线右侧时，Z取正值。        (3) 当线元为直线时，其起点、止点的曲率半径为无穷大，以10的45次代替。        (4) 当线元为圆曲线时，无论其起点、止点与什么线元相接，其曲率半径均等于圆弧的半径。     &

51、#160;   (5) 当线元为完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率半径为无穷大，以10的45次代替；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。止点与直线相接时，曲率半径为无穷大，以10的45次代替；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。         (6) 当线元为非完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率半径等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。止点与直线相接时，曲率半径等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线

52、的半径。(7)曲线元要素数据库（DAT1）可根据线型不同分为各个线元段输入到DAT1中，即分为直线段、缓和曲线、圆曲线等。(8)正算时可仅输入里程Lp和边距Dp及右交角ANG全线计算，反算时通过输入测点的X、Y坐标和右交角ANG后计算器自动判断该点所属曲线元并利用该线元的曲线要素执行反算中桩里程Lp及支距Dp。2、输入与显示说明（一）、 输入部分：      1. SZ => XY      2. XY =&#

53、160;> SZ     1、  N ?  选择计算方式，输入1表示进行由里程、边距计算坐标 ；输入2表示由坐标反算              里程和边距。     2、X0 ？线元起点的X坐标      3、Y0

54、 ？线元起点的Y坐标      4、S0 ？线元起点里程     5、F0 ？线元起点切线方位角     6、LS ？线元长度     7、R0 ？线元起点曲率半径     8、RN ？线元止点曲率半径     9、Q 

55、？  线 元左右偏标志(左偏Q=-1，右偏Q=1，直线段Q=0)     10、S ？ 正算时所求点的里程     11、Z ？正算时所求点距中线的边距(左侧取负，值右侧取正值，在中线上取零)   12、ANG？正算边桩时左右边桩连线与线路中线的右交角   13、J？曲线元数据库曲线段判断系数（J=1、2.n）     14、X

56、 ？反算时所求点的X坐标     15、Y ？反算时所求点的Y坐标16、M?斜交右角17、Z1-测站点X坐标18、Z2- 测站点Y坐标 19、A、B、N是Gauss-Legendre求积公式中的插值系数20、K 、L、Z3 是Gauss-Legendre求积公式中的求积节点21、N=1时：Z8、Z9、Z10、Z11、Z12、Z13、Z14、Z15分别是各曲线元的X、Y坐标、起始里程S0、初始方位角F0、线元长度Ls、起点半径R0、终点半径Rn、曲线偏向系数Q   &

57、#160;      N=n时：Z8N、Z8N+1、Z8N+2、Z8N+3、Z8N+4、Z8N+5、Z8N+6、Z8N+7分别是各22、曲线元的X、Y坐标、起始里程S0、初始方位角F0、线元长度Ls、起点半径R0、终点半径Rn、曲线偏向系数Q23、正算中的Z18、Z26、Z34、Z42Z8（N+1）+2分别为各线元中的终点里程24、主程序中的“Defm 50”应视具体线元的数量，适当增加扩展变量。25、本次修改版不考虑CASIO fx-4500PA，因其容量太小，扩展变量实在太少而不能胜任。（二）、显示部分：

58、60;      XS=×××    正算时，计算得出的所求点的X坐标       YS=×××    正算时，计算得出的所求点的Y坐标       S=×××    反算时，计算得出的所求

59、点的里程       Z=×××    反算时，计算得出的所求点的边距 四、算例        某匝道的由五段线元（直线+完整缓和曲线+圆曲线+非完整缓和曲线+直线）组成，各段线元的要素（起点里程S0、起点坐标X0 Y0、起点切线方位角F0、线元长度LS、起点曲率半径R0、止点曲率半径RN、线 元左右偏标志Q）如下：   

60、60;S0             X0               Y0                  F0  &

61、#160;             LS          R0      RN            Q500.000    19942.837&#

62、160;   28343.561     125 16 31.00    269.256     1E45    1E45           0769.256    19787.340   

63、; 28563.378     125 16 31.00      37.492     1E45    221.75        -1806.748    19766.566    28594.574

64、60;    120 25 54.07     112.779    221.75  221.75       -1919.527    19736.072    28701.893      91 17

65、60;30.63      80.285     221.75  9579.228    -1999.812    19744.038    28781.659      80 40 50.00     100.000&

66、#160;    1E45     1E45           0         1、正算          （注意：略去计算方式及线元要素输入，请自行根据所求点所在的线元输入线元要素） 

67、0;          S=700  Z=-5    计算得  XS=19831.41785   YS=28509.72590            S=700  Z=0     计算得 &

68、#160;XS=19827.33592   YS=28506.83837            S=700  Z= 5    计算得  XS=19823.25398   YS=28503.95084           

69、 S=780  Z=-5    计算得  XS=19785.25749   YS=28575.02270            S=780  Z=0     计算得  XS=19781.15561   YS=28572.16358 

70、;           S=780  Z= 5    计算得  XS=19777.05373   YS=28569.30446                    &#

71、160;  S=870  Z=-5    计算得  XS=19747.53609   YS=28654.13091            S=870  Z=0     计算得  XS=19742.68648   YS=28652.

72、91379            S=870  Z= 5    计算得  XS=19737.83688   YS=28651.69668                  

73、0;S=940  Z=-5.123    计算得  XS=19741. 59118  YS=28722.05802            S=940  Z=0            计算得  XS=19736.47687   YS=28722.35642            S=940  Z= 3.009    计算得  XS=19733.47298   YS=28722.53168