图像处理直方图

1、2021/3/231直方图调整法直方图均衡化 直方图匹配2021/3/232直方图调整法（一）直方图均衡化 Histogram Equalization 直方图:是是灰度级的函数灰度级的函数,描述的是数字图象中的每一灰度级与其出现的频率(该灰度级的象素数目)间的统计关系,用横坐标表示灰度级, 纵坐标表示频数(也可用概率表示)。 直方图:2021/3/2332021/3/2342021/3/2352021/3/2362021/3/2372021/3/2382021/3/2392021/3/23102021/3/23112021/3/2312直方图的性质直方图的性质:不表示图像的空间信息不表示图像

2、的空间信息;任一特定图像都有唯一直方图任一特定图像都有唯一直方图,但反但反之并不成立之并不成立2021/3/2313（a） （b） 图a和图b具有相同的直方图2021/3/23142021/3/23152021/3/23162021/3/23172021/3/23182021/3/2319连续灰度的直方图非均匀分布2021/3/2320连续灰度的直方图均匀分布2021/3/2321直方图均衡化目标2021/3/2322直方图均衡化2021/3/2323 如上面所述如上面所述,一幅给定的图像的灰度级分布在一幅给定的图像的灰度级分布在0 r 1范围内。可以对范围内。可以对0, 1区间内的任一个区间

3、内的任一个 r 值进行如下变换值进行如下变换 (3.3.1) 也就是说也就是说,通过上述变换通过上述变换,每个原始图像的像每个原始图像的像素灰度值素灰度值 r 都对应产生一个都对应产生一个 s 值。值。 sT r( )直方图均衡的基础直方图均衡的基础 2021/3/2324 变换函数变换函数T(r)应满足下列条件应满足下列条件:（1）在）在0r1区间内区间内,T(r)单值单调增加单值单调增加;（2）对于）对于0r1,有有0T(r)1。 这里的第一个条件保证了图像的灰度级从白到这里的第一个条件保证了图像的灰度级从白到黑的次序不变。第二个条件则保证了映射变换后的黑的次序不变。第二个条件则保证了映射

4、变换后的像素灰度值在允许的范围内。满足这两个条件的变像素灰度值在允许的范围内。满足这两个条件的变换函数的一个例子如图换函数的一个例子如图3.16所示。所示。 2021/3/2325图图3.16 3.16 一种灰度变换函数一种灰度变换函数 2021/3/2326从从 s 到到 r 的反变换可用式的反变换可用式(3.3.2)(3.3.2)表示表示 (3.3.2)(3.3.2) 由概率论理论可知由概率论理论可知, ,如果已知随机变量如果已知随机变量 的概率密度为的概率密度为 , ,而随机变量而随机变量 是是 的的函数函数, ,即即 ， 的概率密度为的概率密度为 ，所，所以可以由以可以由 求出求出 。

5、)(1sTrp rr( ) T( )psS( )p rr( )psS( )2021/3/2327 因为因为 是单调增加的是单调增加的, ,由数学分析可知由数学分析可知, ,它的反函数它的反函数 也是单调函数。在这种情况也是单调函数。在这种情况下下, ,如图所示，如图所示， 且仅当且仅当 时发生，时发生，sT r( )rTs1( )sr2021/3/2328rS 和 的变换函数关系 2021/3/2329所以可以求得随机变量所以可以求得随机变量 的分布函数为的分布函数为 对式对式 两边求导两边求导, ,即可得到随机变量即可得到随机变量 的分布的分布密度函数密度函数 为为 (3.3.3) (3.3

6、.3) rrdxxprPsPsF)()()(psS( )(11)()()()(STrrrSdsdrrpsTdsdrpsp 2021/3/2330 通过变换函数通过变换函数 T(r)可以控制图像灰度级的概可以控制图像灰度级的概率密度函数率密度函数,从而改变图像的灰度层次。这就从而改变图像的灰度层次。这就是直方图修改技术的基础。是直方图修改技术的基础。2021/3/2331 直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法。为基础的直方图修正法。 假定变换函数为假定变换函数为 (3.3.4)(3.3.4) 式中式中 是积分变量是积分变量, ,而而 就

7、就是是 的累积分布函数的累积分布函数(CDF)(CDF)。sT rpdrr( )( )0pdrr0( )r2021/3/2332这里这里,累积分布函数是累积分布函数是 的函数的函数,并且单调地从并且单调地从0增加到增加到1,所以这个变换函数满足关于所以这个变换函数满足关于 *在在0 1内单值单调增加，内单值单调增加， *在在0 1内有内有0 1的两个条件。的两个条件。 rr)(rTr)(rT2021/3/2333对式(3.3.4)中的 求导,则 rdsdrprr( )(3.3.5)(3.3.5) 再把结果代入式再把结果代入式(3.3.3),(3.3.3),则则 2021/3/2334p sp

8、rdrdsp rdsdrp rp rSrr Tsrr Tsrr( )( )( )( )( )( )( )11111 = (3.3.6)2021/3/2335两个重要概念两个重要概念: :1 1）、直方图均衡化处理技术是用累积分布函）、直方图均衡化处理技术是用累积分布函数作变换函数的直方图修正方法数作变换函数的直方图修正方法; ;2 2）、用累积分布函数作为变换函数可产生一）、用累积分布函数作为变换函数可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像。幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像。 2021/3/2336图 4-5 均匀密度变换法 2021/3/2337 例如例如,在图在图45中中,(a)是原始

9、图像的概率密是原始图像的概率密度函数。从图中可知度函数。从图中可知,这幅图像的灰度集中在这幅图像的灰度集中在较暗的区域，这相当于一幅曝光过强的照片。较暗的区域，这相当于一幅曝光过强的照片。(b)和和(c)分别为变换函数和变换后的均匀的概分别为变换函数和变换后的均匀的概率密度函数。率密度函数。 2021/3/2338由图由图(a)(a)可知可知, ,原始图像的概率密度函数为原始图像的概率密度函数为 为其它值 0 10 22)(rrrrpr用累积分布函数原理求变换函数用累积分布函数原理求变换函数 sT rpddrrrrr ( )( )()020222 由此可知变换后的由此可知变换后的 值与值与 值

10、的关系为值的关系为 srsrrT r 22( )2021/3/2339 按照这样的关系变换就可以得到一幅改善了按照这样的关系变换就可以得到一幅改善了质量的新图像。这幅图像的灰度层次将不再是呈质量的新图像。这幅图像的灰度层次将不再是呈现黑暗色调的图像现黑暗色调的图像, ,而是一幅灰度层次较为适中而是一幅灰度层次较为适中的的, ,比原始图像清晰比原始图像清晰, ,明快得多的图像。明快得多的图像。 下面还可以通过简单的推证，证明变换后下面还可以通过简单的推证，证明变换后的灰度级概率密度是均匀分布的。的灰度级概率密度是均匀分布的。 2021/3/2340因为因为 所以所以 sT rrr ( )22rT

11、rs 111( )由于由于 取值在取值在0, 10, 1区间内区间内, ,所以所以 r rsdrdsddsss111112 12021/3/2341这个简单的证明说明在希望的灰度级范围内这个简单的证明说明在希望的灰度级范围内, ,它是均它是均匀密度。匀密度。p sp rdrdsssSrr TS( )( )( ) 12 112 11因此 p rrssr( )() 2221122 1而而 2021/3/23422021/3/23432021/3/2344 图象均衡化处理后,图象的直方图是平直的,即各灰度级具有相同的出现频数,那么由于灰度级具有均匀的概率分布，图象看起来就更清晰了。 2021/3/2

12、345直方图均衡化 要找到一种变换 S=T ( r ) 使直方图变平直,为使变换后的灰度仍保持从黑到白的单一变化顺序,且变换范围与原先一致,以避免整体变亮或变暗。必须规定: （1）在0r1中，T(r)是单调递增函数，且0T(r)1; （2）反变换r=T-1(s),T-1(s)也为单调递增函数，0s1。 rjrj+rsjsj+s直方图均衡化变换公式推导图示2021/3/2347直方图均衡化 考虑到灰度变换不影响象素的位置分布,也不会增减象素数目。所以有 )(1)()(000rTsdsdsspdrrprssrdrrprT0) 12()()(2021/3/2348直方图均衡化 应用到离散灰度级,设一

13、幅图象的象素总数为n,分L个灰度级。 第k个灰度级出现的频数。 第k个灰度级出现的概率 其中0rk1,k=0,1,2,.,L-1 形式为: 算例)22()()(00kjkjjjkknnrprTs2021/3/2349例例例例: :设图象有设图象有6464* *64=409664=4096个象素个象素, ,有有8 8个灰度级个灰度级, ,灰度分布灰度分布如表所示。进行如表所示。进行直直方图均衡化方图均衡化。rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.16

14、0.080.060.030.022021/3/2350步骤步骤: :rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02例例2021/3/23511. 1. 由（由（2-22-2）式计算）式计算s sk k。rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.

15、02sk计算计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00例例2021/3/2352rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02sk计算计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00sk舍入舍入 1/73/75/76/76/71112. 2. 把计算的把计算的s sk k就近安排到就近安排到8 8个个灰度级中。灰度级中。例例2021/3/2353rkr0=0r1=1/7

16、r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02sk计算计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00sk舍入舍入 1/73/75/76/76/7111sk nsk 7901023850985448p(sk) 0.190.250.210.240.113. 3. 重新命名重新命名s sk, k,归并相同灰度级归并相同灰度级的象素数。的象素数。例例2021/3/2354均衡化前后直方图比较例例2021/3/2355 由上面的

17、例子可见由上面的例子可见, ,利用累积分布函数利用累积分布函数作为灰度变换函数作为灰度变换函数, ,经变换后得到的新灰度经变换后得到的新灰度的直方图虽然不很平坦的直方图虽然不很平坦, ,但毕竟比原始图像但毕竟比原始图像的直方图平坦得多，而且其动态范围也大的直方图平坦得多，而且其动态范围也大大地扩展了。因此这种方法对于对比度较大地扩展了。因此这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。弱的图像进行处理是很有效的。 2021/3/2356 因为直方图是近似的概率密度函数因为直方图是近似的概率密度函数, ,所所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。

18、另外坦的结果。另外, ,从上例中可以看出变换后从上例中可以看出变换后的灰度级减少了的灰度级减少了, ,这种现象叫做这种现象叫做“简并简并”现现象。由于简并现象的存在，处理后的灰度级象。由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的。这是像素灰度有限的必然结总是要减少的。这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。只是近似的。 2021/3/2357 产生简并现象的根源是利用变换公式产生简并现象的根源是利用变换公式 求新灰度时求新灰度时, ,所得到的所得到的 往往不是允许的灰度往往不是允许的灰度值值, ,这时就要采用舍入的方法求

19、近似值这时就要采用舍入的方法求近似值, ,以便用与以便用与它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，一些相邻的一些相邻的 值变成了相同的值变成了相同的 值，这就发值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。)(0jrkjkrPssksksk那么为什么会有简并现象呢那么为什么会有简并现象呢? ?2021/3/2358 减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。比如比如, ,通常用通常用8bit8bit来代表一个像素来代表一个像素, ,而现在用而现在用12b

20、it12bit来表示一个像素来表示一个像素, ,这样就可减少简并现象发生的机这样就可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。另外，采用灰度间会，从而减少灰度层次的损失。另外，采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可以减少简并现象。隔放大理论的直方图修正法也可以减少简并现象。这种灰度间隔放大可以按照眼睛的对比度灵敏度特这种灰度间隔放大可以按照眼睛的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放大性和成像系统的动态范围进行放大。 那么如何减少简并现象呢那么如何减少简并现象呢? ?均衡化2021/3/2360直方图均衡化 直方图均衡化实质上是减少图象的灰度级以换取对比度的加大。在均衡过程中,原来的

21、直方图上频数较小的灰度级被归入很少几个或一个灰度级内,故得不到增强。若这些灰度级所构成的图象细节比较重要,则需采用局部区域直方图均衡。 2021/3/23612021/3/2362直方图调整法 （二）直方图匹配 修改一幅图象的直方图,使得它与另一幅图象的直方图匹配或具有一种预先规定的函数形状。 目标:突出我们感兴趣的灰度范围,使图象质量改善。 2021/3/2363连续灰度的直方图原图2021/3/2364连续灰度的直方图规定2021/3/2365直方图匹配 令P(r) 为原始图象的灰度密度函数,P(z)是期望通过匹配的图象灰度密度函数。对P(r) 及P(z) 作直方图均衡变换,通过直方图均衡

22、为桥梁,实现P(r) 与P(z) 变换。2021/3/2366 假设假设 p pr r( (r r ) ) 是原始图像灰度分布的概率密度是原始图像灰度分布的概率密度函数，函数， p pz z( (z z ) ) 是希望得到的图像的概率密度函是希望得到的图像的概率密度函数。如何建立数。如何建立 p pr r( (r r ) ) 和和 p pz z( (z z ) ) 之间的联系是直方之间的联系是直方图规定化处理的关键图规定化处理的关键。pzz( )p rr( )2021/3/2367 所以所以, ,直方图规定化处理的关键思路是寻找一直方图规定化处理的关键思路是寻找一个个 p pr r( (r r

23、 ) ) 和和 p pz z( (z z ) ) 间的中介间的中介, ,在在 p pr r( (r r ) ) , , p pz z( (z z ) )间间搭建一座桥梁，建立搭建一座桥梁，建立 r r 与与 z z 的关系。的关系。 2021/3/2368首先对原始图像进行直方图均衡化处理,即: 假定已经得到了所希望的图像,并且它的概率密度函数是 。对这幅图像也作均衡化处理,即:dpzGuzz)()(0(417)pzz( )dprTsrr)()(0(416)2021/3/2369 因为对于两幅图同样做了均衡化处理,所以 和 具有同样的均匀密度。其中式(417)的逆过程为 p sS( )puu(

24、)(1uGz(418) 2021/3/2370 这样这样, ,如果用从原始图像中得到的均匀如果用从原始图像中得到的均匀灰度级灰度级 来代替逆过程中的来代替逆过程中的 , ,其结果其结果灰度级将是所要求的概率密度函数灰度级将是所要求的概率密度函数 的灰度级。的灰度级。 u)()(11sGuGz) z (pzs2021/3/2371rjzk2021/3/2372直方图匹配 步骤: （1）由 各点灰度由 r映射成s。 （2）由 各点灰度由 z映射成v。 rrdrrprTs010)()(zzdzzpzGv010)()(2021/3/2373直方图匹配 步骤: （3）根据v=G(z), z=G-1(v)

25、 由于v, s有相同的分布,逐一取 v=s,求出与r对应的z=G-1(s)。2021/3/2374直方图匹配离散灰度级情况: 由（1）、（2）计算得两张表,从中选取一对, ,使,并从两张表中查得对应的rj，zk。于是，原始图象中灰度级为的所有象素均映射成灰度级。最终得到所期望的图象。2021/3/23752021/3/2376灰度动态范围较窄观察直方图分布2021/3/2377对比度拉伸灰度动态范围变宽2021/3/2378灰度动态范围变宽观察直方图分布2021/3/23792021/3/2380直方图均衡化灰度动态范围扩展2021/3/2381对比度扩展2021/3/2382直方图均衡化2021/3/23832021/3/23842021/3/23852021/3/23862021/3/23872021/3/2388originalDesired histogramAfterHistogram Matching (Specification)2021/3/2389Example - ApplicationWe wish to check if a ci