静电学习题课

1、静电学习题课静电学习题课电通量电力线高斯定理积分形式01disSESq内高斯定理求几种对称分布的电场环路定理d0Er电势和电势差等势面 电场和电势的关系EU dbababaVVVEr04qVr点电荷电势电势的叠加原理11014nniAAiiiiqVVr0d4qVr静电场中的导体电容(1)导体的静电平衡条件(2)静电平衡的导体上的电荷分布(3)静电屏蔽(1)孤立导体(2)电容器CQ VabCQ V静电场中的电介质(1)电介质的极化(2)电极化强度(3)电位移矢量(4)介质中的高斯定理0dsSDSq内dsSPSq 内enP nP 00rDEPEE 静电场中的能量22111222QWCVQVC12e

2、wE D思考题：一立方体导体壳，六个面之间彼此绝缘，其中一个面的电势思考题：一立方体导体壳，六个面之间彼此绝缘，其中一个面的电势 为为U，其余五个面接地，试问：立方体中心的电势为多少？，其余五个面接地，试问：立方体中心的电势为多少？u=U/6立方体中不可能有电力线通过，为什么？立方体中不可能有电力线通过，为什么？反证法：假如立方体中有电力线通过，根据静电场是有源场，反证法：假如立方体中有电力线通过，根据静电场是有源场，电力线只能从正电荷开始，负电荷结束，而立方体中无电荷电力线只能从正电荷开始，负电荷结束，而立方体中无电荷分布，电荷只能分布在面上，如果立方体中有电力线通过，必分布，电荷只能分布在

3、面上，如果立方体中有电力线通过，必然从一个面开始，到达另一个面。根据电场性质，电势沿电力然从一个面开始，到达另一个面。根据电场性质，电势沿电力线方向降低，和已知条件矛盾，因此立方体中无电力线，整个线方向降低，和已知条件矛盾，因此立方体中无电力线，整个立方体为等势体，电势为立方体为等势体，电势为U。以上的情况相当于六个本题给出情况的叠加，又根据电势满足以上的情况相当于六个本题给出情况的叠加，又根据电势满足标量叠加，因此最终的结果为标量叠加，因此最终的结果为解：首先假定六个面的电势均为解：首先假定六个面的电势均为U 1. 电量电量 Q ( Q0 ) 均匀分布在长为均匀分布在长为 L 的细棒上，在细

4、棒的延长线上的细棒上，在细棒的延长线上距细棒中心距细棒中心 O 距离为距离为 a 的点的点 p 处放一带电量处放一带电量 q (q0) 的点电荷，求带电的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力。细棒对该点电荷的静电力。解答提示解答提示+aOL+QpqX以棒中心以棒中心 O 为坐标原点取为坐标原点取 X 轴。轴。在棒上距原点在棒上距原点 x 取微元取微元 dx, dx 所带电量为所带电量为 dq=Q/L dx,该微元对点电荷该微元对点电荷 q 的电场力为的电场力为20)(41xadxLQqdF细棒对电荷细棒对电荷 q 的电场力为的电场力为2202220)1(4)(41LLLLxaLQqxadxLQ

5、qdFF)4(220LaQqF2. 一平行板电容器，极板面积为一平行板电容器，极板面积为S, 相距为相距为d。若。若B板接地，且保持板接地，且保持A板的电势板的电势 UA=U0不变。如图，把一面积相同的带有电荷为不变。如图，把一面积相同的带有电荷为Q的导体薄板的导体薄板C平行地插入平行地插入 两板中间，求导体薄板两板中间，求导体薄板C的电势。的电势。解答提示解答提示设设C板的上下两个面分别带电板的上下两个面分别带电12,q q则则12qqQ根据电势差定义根据电势差定义220022cqddUES101022cqddUUES三式联立，解得三式联立，解得0024cUQdUS02cUU 如果不是从中间

6、插入，结果又如何？如果不是从中间插入，结果又如何？ 3. 如图所示，三块平行金属板如图所示，三块平行金属板 A, B, 和和 C，面积都是面积都是 20cm2 ，A 和和 B相距相距 4.0mm ,A 和和 C 相距相距 2.0mm , B 和和 C 两板都接地。如果使两板都接地。如果使 A 板带正电，板带正电，电量为电量为 3.010-7 C, 忽略边缘效应，试求：忽略边缘效应，试求： （1）金属板）金属板 B 和和 C 上的感应电量；上的感应电量； （2）A 板相对地的电势。板相对地的电势。 解答提示解答提示ACBqq1-q1q2-q2d2d1E2E1SdqdEUSdqdEUACAB022

7、2201111,) 1 (由由) 1 (21, ,12212211ddqqdqdqUUACAB得电量守恒电量守恒)2(100 . 3721qqq解（解（1），（），（2） 得得)(100 . 2),(100 . 17271CqCq（2）A 板对地的电势为板对地的电势为)(103 . 2402222VSdqdEUUACAB如图球形电容器，导体球如图球形电容器，导体球R1 ，同心导体球壳内外半径：，同心导体球壳内外半径：R3、R4，两介质层的介界面半径为两介质层的介界面半径为R2，己知内球带电为，己知内球带电为Q，外球不带电，外球不带电，求：求：(1) 各区域电场强度；各区域电场强度；(2) 两导

8、体球之间的电位差；两导体球之间的电位差； (3) 球形电容器的电容。球形电容器的电容。解：解：(1) ：01E：222114DQEr:332224DQEr:04E:552004DQErR4R1R2R312(3)UQC 231223ddRRRRUErE r(2)2321113212123()()4QRRRR RRR R R 12123232111324()()R R RR RRR RR 5. 如图所示，一平行板电容器的极板面积为如图所示，一平行板电容器的极板面积为 S ，间距为间距为 d ，两极板两极板间有厚度各为间有厚度各为 d1 与与 d2 的电介质，其电容率分别为的电介质，其电容率分别为

9、1=0r1 , 2=0r2 .试求：当两个金属极板上的面电荷密度分别为试求：当两个金属极板上的面电荷密度分别为 时，两层介质中的电位移时，两层介质中的电位移 D 和两层介质间分界面上的束缚面电荷密度和两层介质间分界面上的束缚面电荷密度, 以及该电容器的电容以及该电容器的电容 C 。解答提示解答提示12d1d2d1122（1）电位移）电位移D（2）介质）介质1中的电场强度中的电场强度)11 (,1101101rrE介质介质2中的电场强度中的电场强度22202021,(1)rrE 介质分界面处的束缚电荷密度为介质分界面处的束缚电荷密度为1212121211(1)(1)rrrrrr （3）由）由UQ

10、C 2201102211dddEdEUrr代入上式，得代入上式，得0121221120102rrrrrrSSCdddd 6. 两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为0 的等量异号电荷，这时两板间电压的等量异号电荷，这时两板间电压 U0=300V。保持两板上电量不变，将保持两板上电量不变，将板间一半空间充以相对电容率板间一半空间充以相对电容率 r =5 的电介质，求：的电介质，求： （1）金属板间有电介质部分和无电介质部分的）金属板间有电介质部分和无电介质部分的 E,D 和板上自由电荷密度和板上自由电荷密度； （2）金

11、属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷密度多大？金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷密度多大？解答提示解答提示0-0S3000Udr1212E1D1E2D2U(1) 有介质部分的场强有介质部分的场强E1 ，与无介质部分的场强与无介质部分的场强E2 相等：相等：dUEdUEr022011,) 1 (5, 5,2121rr由电量守恒由电量守恒) 2(2,22021021SSS解（解（1），（），（2），得），得020131,35电位移电位移;3,35022011DD电场强度电场强度0002213 EE（2）插入电介质前电压）插入电介质前电压)(3000000VddEU插入电介质后电压插

12、入电介质后电压)(1003002VddEU电介质中电场强度电介质中电场强度01011rE电介质表面极化电荷面密度为电介质表面极化电荷面密度为00134)511 (35)11 (r 7. 带电量带电量 q、半径为半径为 R1 的导体球的导体球 A 外有一内、外半径各为外有一内、外半径各为 R2 和和 R3 的同心导体球壳的同心导体球壳 B ，求：求： （1）外球壳的电荷分布及电势；）外球壳的电荷分布及电势； （2）将外球壳接地又重新绝缘，再求外球壳的电荷分布及电势；）将外球壳接地又重新绝缘，再求外球壳的电荷分布及电势； （3）然后将内球）然后将内球 A 接地，接地，B 球带电荷，球带电荷， B

13、球电势将如何变化？球电势将如何变化？解答提示解答提示AR1+qR2R3-q+qB（1）B 球壳：内表面电荷球壳：内表面电荷 -q , 外表面电荷外表面电荷 +q 。 外球壳电势：（球外球壳电势：（球 B 的电势）的电势）32003d44Rq rqUrR（2）外壳接地再重新绝缘，（撤掉地线）：）外壳接地再重新绝缘，（撤掉地线）： 球壳内表面电荷仍为球壳内表面电荷仍为 -q , 外表面电荷为零。外表面电荷为零。 球壳外面电场处处为零，故外球壳电势为零，即球壳外面电场处处为零，故外球壳电势为零，即0BU（3）内球接地后，其电势为零，设其带电）内球接地后，其电势为零，设其带电 e ，则球壳内表面带电则

14、球壳内表面带电 (-e),外表面带电（外表面带电（-q+e）。）。 依据均匀带电球面电势公式，电势叠加原理，以及内球电势为零，依据均匀带电球面电势公式，电势叠加原理，以及内球电势为零，列出方程，以求解内球带电列出方程，以求解内球带电 e：04)(4)(4302010RqeReRe解得解得31322121RRRRRRqRRe球壳球壳 B 内表面带电内表面带电32213121RRRRRRqRRe外内表面带电外内表面带电qRRRRRRqRRqe31322121球壳球壳 B 的电势的电势304RqeUB（代入（代入 e ）。）。 8. 设上题中内球设上题中内球 A 带电带电 q1， 外球壳外球壳 B

15、带电带电 q2, 求：求： （1）图中）图中 1,2,3,4 各区域的各区域的 E,U 分布。分布。 （2）若将球与球壳用导线连接，情况如何？）若将球与球壳用导线连接，情况如何？ （3）若将外球壳接地，情况如何？）若将外球壳接地，情况如何？ R1R2R31234解答提示解答提示（1）三球面分别带电）三球面分别带电 q1, -q1, 及及 q1+q2 . 场强分布场强分布:1区区01E2区区3区区4区区20124rqE03E202144rqqE电势分布：电势分布：,44)(430212011011RqqRqRqU,44)(43021201012RqqRqrqU,430213RqqU,40214rqqU（2）将球与球壳用导线连一下：球壳内表面与球）将球与球壳用导线连一下：球壳内表面与球 A 电荷为零，电荷为零， 球壳外表面电荷仍为球壳外表面电荷仍为 q1 +