2017年高中数学联赛一二试及详解高清版

1、2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1 1 .设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x3)f(x4)1.又当0 x7时，f(x)10g2(9x),则f(100)的值为.22 2 .若实数x,y满足x2cosy1,贝Uxcosy的取值范围是. .22一xy3 3 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为：1,F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位910于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为.4 4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1,1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5 5 .正三棱锥PABC中，AB1,AP2,过AB的平面将其体积平分，则棱

2、PC与平面所成角的余弦值为.6 6 .在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)x,y1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为55的概率为.7 7 .在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若A一,ABC的面积为J3,则AMAN的最3小值为.8 8 .设两个严格递增的正整数数列an,bn满足：a10b102017,对任意正整数n,有an2an1an，bn12bn,则a1n的所有可能值为.二、解答题、一.，、，2/一一1、一一一匚9 9 .设k,m为实数，不等式xkxm1对所有xa,b成立.证明：ba2V2. .x2X3、1010 .设x1,x2,x3是非负头数，满

3、足x1x2x31,求(x13x25x3)(x1)的取小值和取大值352_21111.设复数Zi,Z2满足Re(Zi)0,Re(Z2)0,且Re(z1)Re(z2)2(其中Re(z)表示复数z的实部)(1)求Re(z1z2)的最小值；(2)求z12z224z2的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在ABC中，ABAC,I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1,以I为圆心，旧为半径作圆2,过点B,I的圆3与i, ,2分别交于点P,Q（不同于点 B B）. .设IP与BQ交于点R. .证明：BRCR二.设数列an定义为a11,an1ann,ann,ann,ann,n1,2,.求

4、满足arr32017的正整数r的个数.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值四.设m,n均是大于1的整数，mn,a1,a2,an是n个不超过m的互不相同的正整数，且a1,a2,an互素.2.证明：对任息头数x,均存在一个i(1n),使得,乂|-|x|,这里|y|表示实数y到与它最近的整数的距离.若相邻连个小方格的颜色不2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.1.解：由条件知，/(工+14)=f(jc)所以工+7)A-1001=/(-100+Hx?)=I 隼2.2.答案工：-L0+1.犍：由于”1-26

5、gh,F-L3故苫曰 61I1由 UQ4_可知，*C 快 I-v-_-Y-lr：.因此当x=时，-JI14a匚侬 有最小值 1(这时 r可以取二)： 当 V6时 fg&r有最大值方 (这时J可以取齐),由于:(K+-1 三二宜二某建h6+口,从而 KC05J 的取值范国是-L/+1.3.3.解：易知加 3,0),901).设 2 的坐标是(3m 双 M 中口见状0.g,则535“川“$团二；TWhin，I 二 1，.久 uE=(yfioeusf/Igin#)=0+/).2arrunv1.当-小皿后时，四边形 U产而枳的最大值为处1024.答案！75.修士考虑平稳数嬴.若b=04则口=1

6、匚丘0/卜有 2 个平稳数.若h=L则 nWH,%dO.L2有 2x3=6 个平稳数.其中丁若之 W6 工 2,则明共独一 1,比占+13 有 7x3x3=63 个平稳数.若 8=9,则&cw祗9,有 2K2=4 个平稳数.综上可知 平稳数的个数是 2 十 6+63+4=75.答案*-Id解:设 X 与/U 的中点分别为陌 M.则易证平而廿就是平而门.由中线长公式知、人4二/vl/vlj j 2KMfC枚棱尸 c与平面口所或免的余弦值为 HL106.6.5.4答案:-.解:易知 K 中有 q 个点，放在 K 中 Rfi 机取出三个点的方式数为 C；=14 种.将K中的点按右图标记为其中

7、有8对点之间的距底为妻由对称性，考虑取其,出两点的情况，则剩下的一个点有 7 种取法，这样有 7K8=56 个三点细（不计号组中三点的次序 1对每个 4（?=1，21，印，犬中恰有4W4T两点与之距更为后（这里下标按模 g 理蜂人因而恰有V4,4T，4TH=1、2,盼这&个三点组被计了两次.从而满足条件的三点蛆个数为畀-&=48,进而所求概率为竺=土8477.7.又易知直域尸 U 在平面 n 上的射影是直线MK.而CH=I,KC=-,所以rR42U)一一 （,所以KM=力/一答案：320.解】由条件可知：外,附，向均为正整数 且匕力=51M，故九41.2.3.反复运用包的递推关

8、系知u口+门+4一1%匚I2ti-u立1一-8。_+5”（IM.r7n1!、3%+迎=21/一】34-34H21叩因此2肛三心=5123三2（m（xi34）,W13Z2I-M-8Ih故有/一/MMBX2A-26/（IIHX1?JL另一方面，注意到4,有55/344+21%512%故qI）Y 言小517当方一I时，分别化为/一？&frmM34）,口一r无解.枭当42时，分别化为%=521。04+修与二得到唯一的正整数%一1降此时叫一一工。.当八一R时*工,分别化为7Sniod?4）.u,： 得到唯一的正整数55%一10,比时力+4-1工综上所述，勺+也的所有可能值为1工20.9.9.,.

9、4力 由十一2K知.笑生可惬什.力-24手卜4,故力一2VL用分10.10.鳏：由柯西不等 M5+3覆+5巧W：+6哼）之（石百=（苟+%4-x3r=I当天=I,W=0.与=0时不等式等号成立，故欲求的最小值为L因为（*+3+5七）|工.5+孑）=*-3+5/心巧一手+/）（工.+3甚*5JCJ+5工54k201。,W 一式二 Re（zf）=2.因此=艮以石+/i）（三+y：i）=天/-为外=加+2 城+/一见/帆”|+2）一抄 R2.又当马时，Re（再为）=2.这表明,的最小值为 2.5 分（2）时 Jt=L2,将 4 对应到平面直角坐标系立方中的点以（%必），记是片关于才的对称点，则外理均

10、位于双曲线 C:-#=2 的右支上.设耳 E 分别是匚的左、右焦点，易知 6（-2。%管 Q,o）.根据双曲线的定义，有怛勾二|PFj+2 把,年典二|次|+2 比进而得,+2|十月+2 卜区一司=归+2|+历+2-卜一司=团|+|明-|叫=4 丐+|曲|+|明-旧用“日15 分等号成立当且仅当居位于线段月月上（例如，当%=畛=。+力时，月恰是户 g 的中点工“综上可知，B+2|+。2-鼻一目的最小值为 40.20 分2017年全国高中数学联赛A卷二试答案证明：孟接旭，/CiIQ.PB,吟由于点0在脚匚上.故由二/0,所以上由。二Z7(W.乂A.LP.0四点共酬.所以dQB=上，PB,节注IB

11、Q=IPB.放ZRP-Z&R从而市上依4.2Mr.IIIBIP,IR18注意到且为2U班的内心.他俯=/一所以干是3/匚/33/RC,ttZ/C=Z/Cf.2又点尸件圆厂L的孤此上.故，8斤=1851乙1.因此Z=W 耐H*Z/ffC=21RP+ZKP=上RPC?bo*-fo(r+|ZJ-jIK(T一：乙4jt&BRICR.*io分解:由数列的定义可如=1.小=2.W设对某个整数F之丁行我们证明对=1上,r-1*有&,.=2r+f*tr+2/-Lar(=r-fr,由定义*ur=(ir+r=r+r=2rr+1.：=a,tJ-(r+l=2r-tr+l)=r-1r+2t+l口

12、1r.，心=可J一(r+27+1)=2r+f-(r+21+l)=F-F-r+2/+2即结论对r4l也成立.由政学归纳法如，对所有f=L2-l成立.特别当/二F-I时.有0JL!=1r从而d31=。-工+=Jr-1,若将所有满足=的正展数r从小到大记为小人.则由上面的结论可知r=l,r：=2.20分1山此可知,二 l,；H一】,“/H从m?玷仃XI+1由于=3期，二二公在12产”中满足%=F的数r4Udfa共有201g个.为不公飞30分由可初.对每个走MLN“2017,+1一工一2中恰行 T 满足彳州匚人i4.由于/+1=+1与均为奇数.而在之I.+L.产”中.奇数均满足4人偶数均满足与其中的得

13、数比奇效少I个.因此满足外，工3押门的正整数l的个数为|(37-2018-1)=3ai2019.40分解：记分隔边的条数为首先.将方格纸按如图分成二个区域.分别染成一种颜色.粗线匕均为分隔边*此时共有56条分隔边.即4=56.下面证明356.将方格纸的行从上至下依次记为4,应,.4尸列从左至右依次记内瓦.冬,小行4中方格出现的撅色数记为用送） 列绛中方格出现的爆色个数记为加81.三种颜色分别记为Gg.对一种颜色勺,设打）是含有勺色方格的行数与列数之和.记JL若4行含有弓色方格.加4勺）小否则.类似地定 M 况6r,勺L于是一（加4耳）=）力（仪4，弓）+凤&勺）#1Hljvl=E（5（

14、A.c）+用邑*/）=慨）.IIfT由于染色的方格有，33工=363个.设含有口色方格的行有&个，列有b个.则口色的方格一定在这门行和力列的交叉方格中,因此江之363,从而（c/=。+方A2fab22-36338.故，1.2.3.*20分由于在行4中有M41种颜色的方格，因此至少有E4J-I条分隔边同理在列当中.至少有打（约）一1条分隔边.于是F之内-D+5-1）ff=li=lJ3=（n（4）+n（fif-66r=l3=，内（r.）-66.-i30分下而分两种情形讨论.情形1二仃一行或一列全部方格同色.不妨设有一行全为q色,从而方格纸的33列中均含有片色的方格.由尸。色方格有363个，

15、故至少有”行中;VTT.色方格.于是由.及即得上川G)+WJ)+打SJ-66之44+39+39-66=56.10分40分情形2:没有一行也没有一列的全部方格同色.则对任意13433,均有以4)22.MS)A2.从而由知L之Z(，.4J+fi(2)-66之33x4-66=6656.综上所述.分隔边条板的最小值等于56.50分证明，苜先证明以卜两个结论.结论I:存在整数*满足q/必+%=1t并且IqK/w.Ii4门.由于(4%*q)=1由裴蜀定理,存在整效&,勺，,q,满足+c4+-*G4hI*下而证明,通过调整,存定一组6gc满足，且绝对值均不超过明记$(64-)=2624%)=Z1。倬0,句0.那么存在&m1*于是qq