《秦九韶算法与进位制》导学案

1、秦九韶算法与进位制秦九韶算法与进位制 导 学 固 思. . . 1.理解进位制的概念,能进行进位制间的转化.2.掌握秦九韶算法的计算过程,并了解它提高效率的实质. 导 学 固 思. . . 我们在数学运算中,一般都是“逢十进一”,这种记数方法称为“十进位制”.事实上,还有其他进位制,比如在时间的表示中,60秒为1分,60分为1小时,这种逢“六十进一”的记数方法称为“六十进位制”.而在计算机语言中,都采用“逢二进一”的“二进位制”.各种进位制之间是可以互相转换的,比如我们常用的十进位制中的6,在二进位制中是110,在三进位制中为20,在六进位制中为10.类似地,你能把十进位制中的235分别用二进

2、位制、三进位制及六进位制表示吗?导 学 固 思. . . 秦九韶算法 问题1 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改写成下列形式:f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=anx+an-1.然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0.这样,把n次多项式的求值问题转化成求

3、n个一次多项式的值的问题,上述方法成为秦九韶算法. 导 学 固 思. . . 秦九韶算法是多项式求值的算法,秦九韶算法的特点:(1)化高次多项式求值为一次多项式求值;(2)减少了运算次数,提高了效率;(3)步骤重复执行,容易用计算机实现.利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外逐次计算,由于后项计算用到前项的结果,故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存在时,可将这些项的系数看成0,即把这些项看作0 xn.导 学 固 思. . . 问题2进位制(我们在数学运算中,一般都是“逢十进一”,这种记数方法称为“十进位制”.事实上,还有其他进位制,比

4、如在时间的表示中,60秒为1分,60分为1小时,这种逢“六十进一”的记数方法称为“六十进位制”.而在计算机语言中,都采用“逢二进一”的“二进位制”.各种进位制之间是可以互相转换的,比如我们常用的十进位制中的6,在二进位制中是110,在三进位制中为20,在六进位制中为10.类似地,你能把十进位制中的235分别用二进位制、三进位制及六进位制表示吗?导 学 固 思. . . 不同进位制的表示一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制可以表示为:anan-1a1a0(k)(0ank,0an-1,a1,a0k),也可以表示成不同位上的数字与基数的幂的 的形式.而表示各种进位制数一般在数字右下

5、角加注来表示,如111001(2)表示 数,34(5)表示 数. 问题3乘积之和二进制五进制不同进位制之间如何转换?十进制数与k进制的转化:利用除基数k 的方法可以实现十进制数与k进制数之间的相互转换. k进制数与m进制数之间的转化:一般将k进制数转化 为 ,然后再转化为m进制数. 问题问题4 4取余十进制数导 学 固 思. . . 二进制数算式1010 (2) +10 (2)的值是().A.1011(2)B.1100(2)C.1101(2)D.1000(2)1 B【解析】1010(2)+10(2)=(123+022+121+020)+(121+020)=12=1100(2),故选B.导 学

6、固 思. . . 已知一个k进制的数132与十进制的数30相等,那么k等于().A.7或4B.-7C.4 D.都不对”C 2 【解析】132(k)=1k2+3k+2=k2+3k+2,k2+3k+2=30,即k2+3k-28=0,解得k=4或k=-7(舍去).导 学 固 思. . . 3七进制数中各个数位上的数字只能是 中的一个. 【解析】“满几进一”就是几进制.因为是七进制,所以满七进一,根本不可能出现7或比7大的数字,所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个.4已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6,试用秦九韶算法求f(10)的值.【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成

7、如下形式:f(x)=x3-2x2-5x+6=(x2-2x-5)x+6=(x-2)x-5)x+6.我们把x=10代入函数式,得f(10)=(10-2)10-5)10+6=756.0、1、2、3、4、5、6导 学 固 思. . . 用秦九韶算法求多项式f(x)=1+0.2x+0.03x2+0.4x3+5x4当x=1.1时的值.【解析】f(x)=1+0.2x+0.03x2+0.4x3+5x4=(5x+0.4)x+0.03)x+0.2)x+1,当x=1.1时,有v0=a4=5,v1=v0 x+a3=5.9,v2=v1x+a2=6.52,v3=v2x+a1=7.372,v4=v3x+a0=9.1092,

8、当x=1.1时,多项式的值为9.1092.导 学 固 思. . . 将十进制的数化为k进制把十进制数168化为八进制数.168=250(8)导 学 固 思. . . k进制之间的转化把五进制数33(5)化为二进制数. 【解析】33(5)=35+350=15+3=18.18=10010(2),33(5)=10010(2).导 学 固 思. . . 求多项式f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1在x=-2时的值.【解析】f=(x+5)x+10)x+10)x+5)x+1,而x=-2,所以有v0=1;v1=v0 x+a4=1+5=3;v2=v1x+a3=3+10=4;v3=v2x+a

9、2=4+10=2;v4=v3x+a1=2+5=1;v5=v4x+a0=1+1=-1.f=-1.导 学 固 思. . . 由389化为的四进制数的末位为().A.3B.2C.1D.0【解析】以4作除数,相应的除法算式为389=12011(4),故选C.C导 学 固 思. . . 把2101211(3)化为八进制的数.【解析】2101211(3)=236+135+133+232+131+130=1458+243+27+18+3+1=1750(10).1750=8218+6,218=827+2,27=83+3,1750=8218+6=8(827+2)+6=88(83+3)+2+6=8(382+38+

10、2)+6=383+382+28+6=3326(8).2101211(3)=3326(8).导 学 固 思. . . 1.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2当x=4的值时,先算的是().A.44=16B.74=28C.444=64D.74+6=34【解析】因为f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0,所以用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2当x=4的值时,先算的是74+6=34.D导 学 固 思. . . 2.与二进制数110(2)对应的十进制数是().A.110 B.4C.5D.6【解析】110(2)=122+121+0=6.D导 学 固 思. . . 3.用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5+3x3+4x2+x-2当x=2时的值为.【解析】f(x)=(2x+0)x+3)x+4)x+1)x-2,v0=2,v1=22+0=4,v2=42+3=11,v3=112+4=26,v4=262+1=53,v5=532-2=104,f(2)=104.104导 学 固 思. . . 4.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+