三角函数常用结论归纳

1、三角函数常用结论总结1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：(1)终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2k(kZ),注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825的终边相同，

2、且绝对值最小的角的度数是,合.5弧度。(答：25;一)一36(2) 终边与终边共线(k(kZ).(3) 终边与终边关于x轴对称(4) 终边与终边关于y轴对称(5) 终边与终边关于原点对称(6) 终边在x轴上的角可表小为：示为：k,kZ;终边在坐标轴2的终边在终边所在直线上)2k(kZ).2k(kZ).2k(kZ).k,kZ;终边在y轴上的角可表.k.上的角可表小为：,kZ.如的2终边与丁勺终边关于直线yx对称，则:。一答：2k?kZ)4 、与万的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则一是第象限角(答：一、三)25 .弧长公式：|R,扇形面积公式：S1IR：|R2,1弧

3、度(1rad)57.3：.如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。(答：2cm2)6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x,y)是的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r&_y20,那么yxyxrsin,cos一，tan,x0,cot(y0),sec-x0,rrxyxcscy如(1)已知角7、门-)；(2)设13y0。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关的终边经过点P(5,12),则sincos的值为是第三、四象限角，sin2mf,则m的取值范围是4m/3、f、廿|sin|cos(答：(1,);(3)若112sin|c

4、os|0,试判断cot(sin)tan(cos)的符号(答:负)7.三角函数线的特征是:正弦线MP”站在x轴上(起点在x轴上)"、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT”站在点A(1,0)处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若8答：tan贝Usin,cos,tan的大小关系为义域是sin(答：sincos);(2)若tan)；(答：(2k,2k3(3)23为锐角,则,sin函数y.12cosx,tan的大小关系为lg(2sinxJ3)的定(kZ)(1)平方关系:(2)倒数关系:sinsin(3)商数关系:tan2/cos1,

5、1csc=1,cossin一,cotcos22tansecsec=1,tancossin,1cotcot22csc=1,8.特殊角的三角函数值：30045060°0°9001800270°15°750sin12旦2迎2010一1而亚4金近4cos包v2110一066226622222144tan31<30/0/2-v;32+V3cot芯1近30/02+«2-69.同角三角函数的基本关系式：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知鱼的范围和三角函数的取值，尽可能地

6、压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符1H1H号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如(1)函数ysin_叽的值的符号为_(答：大于o)；(2)若02x2,则使coscotvisln351a2a.1a2，1a2生生B>.C、D、(答：B);(6)已知f(cosx)cos3x,1a2aa则f(sin30)的值为(答：1)。k10.三角函数诱导公式(-)的本质是：奇变偶不变对k而百，指k取2奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(

7、1)负角变正角，再写成972k+,02;(2)转化为锐角二角函数。如(1)costan(一)sin2146的值为(答：逅)；(2)已知sin(540)4,则235cos(270)，若为第二象限角，则sin(180)cos(360)43tan(180)(答：5；荷)11、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图3一,一一，一象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,-,2的五点，再用光滑22的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。12、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质：(1)定义域：都是Ro(2)值域：都是1,1,

8、对ysinx,当x2kkZ时，y取最大值21;当x2k£kZ时，y取取小值-1;对ycosx，当x2kkZ时,2xcos2x成立的x的取值范围是(答：0,U43,);(3)已知sinm,cosUm()，则tan=(答：4m5m525tansin3cos.2._一)；(4)已知1,贝1=sinsincos2=12tan1sincos513a(答：y取最大值1,当x2kkZ时，y取最小值1。如(1)若函数:13):(5)已知sin200a、则tan160等于A、,a3一1.一1yabsin(3x一)的取大值为一，取小值为一，则a,b(答：a-,b16222或b1);(2)函数f(x)si

9、nxJ3cosx(x,)的值域是(答：-1,2);(3)若2，则ycos6sin的最大值和最小值分别是、(答:7;5);(4)函数f(x)2cosxsin(x)V3sin28已知f(x)sin(x)依'cos(x)为偶函数，k-(kZ)6(5)单调性：ysinx在2k,2kk2xsinxcosx的3最小值是此时x=(答：2;k(kZ);(5)己知1211sincos-,求tsincos的变化氾围(答：0,-);(6)右22sin22sin22cos,求ysin2sin2的最大、最小值(答：ymax1,ymin222)。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了

10、吗？(3)周期性：ysinx、ycosx的最小正周期都是2;2,f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的取小正周期都是T。如(1)右|xf(x)sin,则f(1)f(2)f(3)f(2003)=(答：0);函数3f(x)cos4x2sinxcosxsin4x的最小正周期为(答：)；(3)设函数f(x)2sin(x),若对25任意xR都有f(x1)f(x)fd)成立，则|Xix2|的最小值为(答：2)(4)奇偶性与对称性：正弦函数ysinx(xR)是奇函数，对称中心是k,0kZ,对称轴是直线xk-kZ;余弦函数ycosx(xR)是偶2函数，对称中心是k2,0kZ,对称轴是直线xkkZ(正

11、(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴5的父点)。如(1)函数ysin2x的奇偶性是(答：偶函数)；(2)已知函数f(x)axbsin3x1(a,b为常数)，且f(5)7,则f(5)(答:-(kZ);(4)的值。(答：5);(3)函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是,2k上单调递增，在、(答：(一一,1)(kZ)、x32k-,2kkZ单调递减；ycosx在2k,2kkZ上单调递22减，在2k,2k2kZ上单调递增。特别提醒,别忘了kZ!13、形如yAsin(x)的函数：1.、(1)几个物理量：A一振幅；f-频率(周期的倒数

12、)；x相位；一初相；(2)函数yAsin(x由图象上的f(x)Asin(x)(A0,则f(x)=(答：f(x)(3)函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由周期确定;特殊点确定，如0,|)的图象如图所示，2152sin(x-);23)图象的画法：“五点法”谈：x,令X3_=0'2,=,2求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。(4)函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系：函数ysinx的图象纵坐标不变，横坐标向左(>0)或向右(<0)平移|个单位得ysinx的图象；函数ysinx图象的纵坐标不变，横坐标

13、变为一，一1原来的一，得到函数ysinx的图象；函数ysinx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图象；函数yAsin(x)图象的横坐标不变，纵坐标向上(k0)或向下(k0),得到yAsinxk的图象。要特别注意，若由ysinx得到ysinx的图象，则向左或向右平移应平移|一|个单位，如(1)函数y2sin(2x)1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？(答：4y2sin(2x)1向上平移1个单位得y2sin(2x)的图象，再向左平移一448个单位得y2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y2sinx的图象，最11后将纵坐标缩小到原来的-即得ysin

14、x的图象)；(2)要得到函数2ycos(x)的图象，只需把函数ysin*的图象向平移个单位(答：242.7左；一)；(3)将函数y2sin(2x一)1图像，按向量a平移后得到的函数图像23关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a;若不唯一，求出模最小的向量(答：存在但不唯一，模最小的向量a(一，1)；(4)若函数6fxcosxsinxx0,2的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是(答：1,72)(5)研究函数yAsin(x)性质的方法：类比于研究ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的x看成ysinx中的x,但在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号

15、，通过诱导公式先将化正。如(1)5函数ysin(2x)的递减区间是,k(kZ)；(2)31212x33ylog1cos(-一)的递减区间是(答：6k,6k一(kZ)；23444(3)设函数f(x)Asin(x)(A0,0,)的图象关于直线x2-对223.152.一称，它的周期是，则A、f(x)的图象过点(0,-)B、"*)在区间,上是2123减函数C、f(x)的图象的一个对称中心是(5-0)D、f(x)的最大值是A(答：12C);(4)对于函数fx2sin2x给出下列结论：图象关于原点成中心3对称；图象关于直线x一成轴对称；图象可由函数y2sin2x的图像向左12平移一个单位得到；图

16、像向左平移一个单位，即得到函数y2cos2x的图像。312其中正确结论是(答：)；(5)已知函数f(x)2sin(x)图象与直线y1的交点中、距离最近两点间的距离为一、那么此函数的周期是3(答：)14、正切函数Vtanx的图象和性质：(1)定义域：x|xk,kZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到2正切函数的定义域了吗？(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；(3)周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对

17、值，其周期性不变，其它不定。如ysin2x,ysinx的周期都是，但ysinx一1，cosx的周期为一，而y12sin(3x)|,y12sin(3x-)2|,y|tanx|的2626周期不变;，一.,.,一.,一.一k(4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0kZ,特别提醒：2正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。(5)单调性：正切函数在开区间一k,kkZ内都是增函数。2 2但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：y-小in(s+©无务对等中心.由产。4st无番对林物：由产A*丈V上阜

18、中心昆一工|=772,二中初归r=772息力廿驰中由r由乎=0或了时森儿曜文,牛渐近需国汨卜丁*对理和传总广蚓4*的重笃片正切名戴图象却相丸JL茄隼两成戈的罩力砧一个周期！15、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sinsincoscossinsin22sincoscoscoscos不sinsincos22costantantan1不tantan2cos2cos1+cos2sin2112sin2tan22tan1tan2(1)下列各式中，值为的是.2sinA、2cos12.2sin一12C、tan22.51tan222.5D、P:tan(AB)0,充分不必要条件(3)已知sin(2_1c

19、os22«,sin15cos15B、1cos302(答：C);(2)命题命题Q:tanAtanB0,则P是Q的A、充要条件B、C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件(答：C);)coscos(3)sin一，那么cos2的值为5"看意”值是(答：4);(5)已知tan110°a,求tan50°的值（用a表示）甲求得的结果是得的结果的正确性你的判断是73,乙求得的结果是1.3a（答：甲、乙都对）1a22a,对甲、乙求16.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，数变换的核心！第二看函数名称之间的

20、关系，通常“切化弦”的结构特点。基本的技巧有：是：一角二名三结角的变换是三角函；第三观察代数式（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、角的变换、两角与其和差角的变换.如已知角与目标角的变换、角与其倍)(),2()(),2-等），如（1）已知tan（2"I-'2,一，tan(5么tan(的值是3.答：一；2已知022cos(2)，sin（2）3,求cos（）的值（答：播）；（3）已知，3为锐角，sinx,cosy,cos()3,则y与x的函数关系为5x(x1)55三角函数名互化（切割化弦），如（1）求值sin50,（1百tan10"）（答：1）;(2)已知sin8s1,tan(1cos2(3)公式变形使用(tantan23，tan1求tan（2）的值（答：-）1+tantan。如（1）已知A、B为锐角,且满足tanAtanBtanAtanB1,贝Ucos(AB)=.（答:季;由V3tanAtanB,sinAcosA1cos2一与2(，|)，化形是一三角形（答：等边）（4）三角函数次数的降升（降幕公式：cos21cos2,sin22开幕公式：1cos22cos2,1cos22sin2）。如（1）若简一cos2为2（答：sin）；