上海2019年中考数学压轴题专项训练含答案

1、上海市2019年中考数学压轴题专项训练含答案1.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0,1）、B（4,3）两点.（1）求抛物线的解析式；(2求tan/ABO的值;（3）过点B作BC_Lx轴，垂足为点C,点M是抛物线上一点，直线MN平行于y轴交直线AB于点N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.1.解：(1)将A(0,-1)、B(4,-3)分别代入y=x2+bx+cc=7,（1分）（1分）（1分）得i,164bc-3,一9解，得b=一，c=-12所以抛物线的解析式为y=x2-9x-1

2、2(2)过点B作BC_Lx轴，垂足为C,过点A作AH-LOB,垂足为点H(1分）4 在RtAAOH中，OA=1,sinZAOH=sinNOBC=,(1分)5.4322.AH=OAsinZAOH=一,.OH=,BH=OB-OH=,(1分)555AH4222在RtAABH中，tan/ABO=_+一=(1分)BH55111(3)直线AB的解析式为y=x-1,(1分)2291设点M的坐标为(m,m-一m-1),点N坐标为(m,-m-1)22FC291一2I那么MN=(m-m-1)-(-m-1)=m-4m;(1分)22M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，MN=BC=3解方程m2-4m=3得m=2&

3、#177;V7；(1分)解方程一m2+4m=3得m=1或m=3；11分)7735所以符合题意的点N有4个(2-77,-2),(2+近,-2),(1,),(3,)22221分)2.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在RtAABC中，ZACB=90°,经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于/ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E.（1）如图1,当点E与点B重合时，若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半彳5的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;(2)如图2,当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD

4、;2.解：(1)过点C作CF1AB,垂足为点F.1分）.AED=90,ABC=XBD,.zABC=/CBD=45ACB=90,ABC=45,AE=4,.CF=2,BC=2<2,1分）又.£BD=ZABC=45,CD!l,.CD=2,1分）.CD=CF=2,圆C与直线AB相切.（1分）（2）证明：延长AC交直线l于点G.（1分）.ACB=90,ABC=/GBC,.zBAC=ZBGC.AB=GB.（1分）AC=GC.（1分）.AE儿CD±,.AE/CD.CDGC1.=AEGA2'1分）OCG/l,CHCF5BEEF6设CH=5x,则BE=6x,AB=10x.在Rt

5、AABE中，AE=JaB2-BE2=8x.由（2）知AE=2CD=8,，8x=8,得x=1.CH=5,BE=6,AB=10.CG/l,HGAH1BEAB2,.HG=3.CG=CH+HG=8.易证四边形CDEG是矩形，DE=CG=8.分)1.BD=DE-BE=2.(II)如图2,当点E在DB上时:同理可得CH=5,BE=6,HG=3.1分）.DE=CG=CH-HG=2.BD=DE+BE=8.（1分）综上所述,BD的长为2或8.（1分）.AE=2CD.(3) (I)如图1,当点E在DB延长线上时:过点C作CG/l交AB于点H,交AE于点G,则/CBD=.ABC=/CBD,./ABC=ZHCB.CH

6、=BH.ACB=90,.ABC+ZBAC=ZHCB+ZHCA=90.EAC=ZHCA.CH=AH=BH.3.已知点A(2,2)和点B(4,n)在抛物线y=ax2(a刈)上.(1)求a的值及点B的坐标；(2)点P在y轴上，且4ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；(3)将抛物线y=ax2(aR)向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A',点B的对应点为B',若四边形ABB'A'为正方形，求此时抛物线的表达式.广爷【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移.【分析】(1)把点A(2,2)代入y=ax2,得到a,再把点B代入抛物线解析式即可解决问

7、题.(2)求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题.(3)先求出点A'坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题.【解答】解：(1)把点A(2,2)代入y=ax2,得到a=-,，抛物线为y=x2,.x=4时，y=8,，点B坐标(Y,8),a=-,加坐标(Y,3).f4k+b=-8nfk=l(2)设直线AB为y=kx+b,则有J,解得.,l宓铅1gy直线AB为y=x4,，过点B垂直AB的直线为y=x12,与y轴交于点P(0,T2),过点A垂直AB的直线为y=x,与y轴交于点P'0,0),点P在y轴上，且

8、那BP是以AB为直角边的三角形时.点P坐标为(0,0),或(0,12).(3)如图四边形ABB'A'是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A'小轴的垂线得到点E、F.直线AB解析式为y=x12,.BF,那AE都是等腰直角三角形，.AB=AA'=62+6沁我,.AE=AE=6,点A'坐标为6,8),点A到点A'是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，抛物线y=x2的顶点(0,0),向右平移6个单位，向下平移6个单位得到(6,6),，此时抛物线为y=-x6)26.4.已知，AB=5,tanBM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上(点C

9、在点D的左侧)，点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD,AB=AE,ZCAD=/BAE.(1)当点C与点B重合时(如图1),联结ED,求ED的长;(2)当EA/BM时(如图2),求四边形AEBD的面积；(3)联结CE,当4ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离.【考点】三角形综合题.【分析】(1)如图1中，延长BA交DE于F,作AH_LBD于H,先证明BFJDE,EF=DF,ktip再利用ABHsdbF,#=：rz,求出DF即可解决问题.UrdL(2)先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形adbe=BD?AH,计算即可.(3)由题意AC+E,EC+C,只有EA=EC,利用四

10、点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题.【解答】解：(1)如图1中，延长BA交DE于F,作AHJBD于H.在RTAABH中，zAHB=90°:AL.sin/ABH=:=,AE-AH=3,BH=VaB2AH5=4，".AB=AD,AH1BD,.BH=DH=4,在那BE和祥BD中，fAE=AD啜/AD,IAB二AB；ABDABE,.BE=BD,ZJBE="BD,.BFIDE,EF=DF,ABH=/DBF,HB=ZBFD,金BHsQBF,怔AE24DF.耍.DE=2DF=.5(2)如图2中，作AH1BD于H.AC=AD,AB=AE,ZCAD=

11、ZBAE,AEB=ZABE=ZACD="DC,.AE/BD,.AEB+ZEBD=180°,.£BD+"DC=180°,.EB/AD,.AE/BD,四边形ADBE是平行四边形，.BD=AE=AB=5,AH=3,1 S平行四边形adbe=BD?AH=15.(3)由题意AC+E,EC+C,只有EA=EC.如图3中，.ACD=ZAEB(已证),A、C、B、E四点共圆,.AE=EC=AB,2 |=L，'=，AEC=ZABC,.AE/BD,由（2）可知四边形ADBE是平行四边形,.AE=BD=AB=5,.AH=3,BH=4,.DH=BDBH=1,.

12、AC=AD,AHJCD,.CH=HD=1,.BC=BDCD=3.5.如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C,与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.(1)求这个二次函数的解析式；(2)联结AC,求/BAC的正切值；(3)点P为直线AB上一点，若ACP为直角三角形，求点P的坐标.10【分析】(1)先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1,这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；(2)如图，先抛物线解析式配成顶点式得到0(1,

13、0),再利用两点间的距离公式计算出BC2=2,AB2=18,AC2=20,然后利用勾股定理的逆定理可证明AB0为直角三角形，/ACB=90。，于是利用正切的定义计算tanZBAC的值；(3)分类讨论：当/APC=90°时，有(2)得点P在B点处，此时P点坐标为(0,1);当/ACP=90°时，利用(2)中结论得tan/PAC=1=,贝UPC=-AC,设P(t,t+1),然后利用两点间的距离公式得到方程t2+(t+11)2=吉20,再解方程求出t即可得到时P点坐标.【解答】解：(1)把A(3,4)代入y=x+m得3+m=4,解得m=1直线AB的解析式为y=x+1,.当x=0时

14、，y=x+1=1,.B(0,1),JC=1口把B(0,1),A(3,4)代入y=x2+bx+c得，心皿心斛得，一,I9+3b+c=4(c=l，抛物线解析式为y=x22x+1;(2)如图，.y=x22x+1=(x1)2,.C(1,0),.BC2=12+12=2,AB2=32+(41)2=18,AC2=(31)2+42=20,而2+18=20,.BC2+AB2=AC2,11zABC为直角三角形，/ACB=90.tanZBAC=BCfV?-1AB访3,(3)当/APC=90°时，点P在B点处，此时P点坐标为(0,1);当/ACP=90°时，anZPAC=£,.PC=j-

15、：；AC,设P(t,t+1),.t2+(t+11)2=20,解得ti=YLt2=(舍去)，此时P点坐标为(金亚立口+1)：；：；：；【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形.，_,_4_，一一一6.如图，？ABCD中，AB=8,AD=10,sinA=,E、F分别是边AB、BC上动点(点E不与A、B重合)，且/EDF=ZDAB,DF延长线交射线AB于G.(1)若DE1AB时，求DE的长度；(2)设AE=x,BG=y,求y关于x的函数解析式

16、，并写出函数的定义域；(3)当4BGF为等腰三角形时，求AE的长度.12【分析】(1)DE必B时，根据sinA=?即可解决问题.AD(2)如图2中，作DM1AB于M,根据DG2=DM2+MG2=AGEG,列出等式即可解决问题.(3)分三种情形BF=BG,FB=FG,GB=GF,根据BF/AD,得出比例式，列方程即可解决.【解答】解：(1)如图1中,.DE1AB,.sinA=.AD=10,.DE=8.(2)如图2中,ii：£鼠BG图2作DM必B于M,由(1)可知DM=8,AM=6,MG=ABAM=86=2,.DG2=DM2+MG2,13.zDGE=ZDGA,/GDE=4dDGEszAGD,.DG_EG二=:'.DG2=AGEG,.DM2+MG2=AGEG,.82+(2+y)2=(8+y)(8+yx),4+8k，c-=0,(0vxv8)(3)当BF=FG时，BF/AD,.BFBG-工.AD=AG=10,_rr4+8乂_- y=2,即.=2,解得x=2,JrUr'- AE=2.当FB=FG时，BF/AD,BFFG- 5_D