第六章 流体运动微分方程

1、1 6 流体流动微分方程 基本内容基本内容：l掌握连续性方程及其推导掌握连续性方程及其推导l熟悉熟悉Navier-Stokes方程方程l了解了解Euler方程方程 2 优点在于对定常流动，当已知控制面上流在于对定常流动，当已知控制面上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和平均动的有关信息后，就能求出总力的分量和平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详细情速度，而不必深究控制体内各处流动的详细情况，给一些工程问题的求解带来方便。况，给一些工程问题的求解带来方便。 缺点不能得到控制体内各处流动的细节，不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。而这对深入研究流体运动是非常重

2、要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。3 流体流动微分方程包括流体流动微分方程包括:l连续性方程连续性方程l运动方程运动方程 连续性方程连续性方程是流体是流体质量守恒质量守恒的数学描述。的数学描述。 运动方程运动方程是流体是流体动量守恒动量守恒的数学描述。的数学描述。二者都是基于流场中的点建立的微分方程。二者都是基于流场中的点建立的微分方程。46.1 6.1 连续性方程连续性方程zyxvzdzzvvzz)(vydyyvvyy)(vxdxx)v(vxx 连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。现取微元体如图。现取微元体如图。5dxdyvdxdzvdydzv

3、zyx输出微元体的质量流量为输出微元体的质量流量为：dxdydzzvvdxdzdyyvvdydzdxxvvzzyyxx)()()(输入微元体的质量流量输入微元体的质量流量：zyxvzdzzvvzz)(vydyyvvyy)(vxdxx)v(vxx6则输出与输入之差为则输出与输入之差为：dxdydzzvyvxvzyx)()()(微元体内质量变化率为微元体内质量变化率为：dxdydzt7根据质量守恒原理有根据质量守恒原理有：0)()()(tzvyvxvzyx或或0)(tv该式即为直角坐标系下的该式即为直角坐标系下的连续性方程连续性方程。该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。该方程适用于层流和湍流

4、、牛顿和非牛顿流体。8 对对不可压缩流体不可压缩流体，=常数，有常数，有/t=0，则，则连续性方程为连续性方程为0v不可压缩流体的连续性方程形式简单，应用广不可压缩流体的连续性方程形式简单，应用广泛。泛。 0)(tv9在直角坐标系中可表示为在直角坐标系中可表示为0zvyvxvzyx对平面流动对平面流动0yvxvyx( (柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) )10例题例题：不可压缩流体的二维平面流动，：不可压缩流体的二维平面流动，y方向方向的速度分量为的速度分量为xyyvy2试求试求x方向的速度分量，假定方向的速度分量，假定x=0时，时，vx=0。11解：不可

5、压缩流体的平面运动满足连续性方程解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程0yvxvyx由已知条件得由已知条件得012yxvx积分得积分得)()21 (yfxyvxvy=y2-y-x12根据边界条件根据边界条件x=0时时vx=0代入上式得代入上式得)(0)21 (0yfy故有故有0)(yf所以所以xyxxyvx2)21 (13例题例题：不可压缩流体的速度分布为：不可压缩流体的速度分布为 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。所满足的条件。不计重力影响。14解：由连续方程可知解

6、：由连续方程可知0yvxu则有则有0 DA又由于流动无旋，则有又由于流动无旋，则有xvyu则有则有0CBu=Ax+By, v=Cx+Dy, w=015练习：练习：有一个三维不可压流场，已知其有一个三维不可压流场，已知其x向和向和y向的分向的分速度为速度为)(322zxyzxyvzyxvyx求其求其z向的分速度的表达式。当向的分速度的表达式。当x=0，z=0时，时，vz=2y。2y2zv2zzx答案：166.26.2不可压缩粘性流体运动微分方程不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法行六面体流体

7、微团，作用在流体微元上的各法向应力和切向应力如图所示。向应力和切向应力如图所示。17zyxxx xy xzyy yx yz zyzz zxfxfzfy xy xy+xdx xz xz+xdxxxxx+xdx zy zy+zdz zx zx+zdzzzzz+zdzdzdydx yx yx+ydy yz yz+ydyyyyy+ydy18 对流体微团应用牛顿第二定律，则沿对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴轴方向的运动微分方程为方向的运动微分方程为DtDvdxdydzdxdydzzdxdydzdxdyydzdxdydzdxxdydzdxdydzfxzxzxzxyxyxyxxxxxxxx)()()(1

8、9化简后得化简后得DtDv)zyx(1fxzxyxxxx同理得同理得DtDv)yxz(1fDtDv)xzy(1fzyzxzzzzyxyzyyyy以应力表示的运动方程20将切应力和法向应力的关系式将切应力和法向应力的关系式zvpxvzvyvpzvyvxvpxvyvzzzzxzxyyyyzyzxxxyxxy2)(2)(2)(代入上式的第一式并整理得：代入上式的第一式并整理得：21)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfDtDvzvyvxvypfDtDvzvyvxvxpfDtDvzzzzzyyyyyxxxxx同同理理得得不可压缩粘性流体的运动微分方程，也不可压缩粘性流

9、体的运动微分方程，也叫叫Navier-Stokes方程，简称方程，简称N-S方程。方程。vvtvDtvD)(其中其中22 法国工程师和物理学家。特别对力学法国工程师和物理学家。特别对力学理论有很大贡献。流体力学中的理论有很大贡献。流体力学中的纳维尔纳维尔. .斯斯托克斯（托克斯（NavierNavier-Stokes-Stokes）方程）方程就用他和斯托克就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以用于工程实斯的名字命名的。他首次建立了可以用于工程实际的际的弹性理论的数学表达式弹性理论的数学表达式。1826年，他提出年，他提出弹弹性模量性模量概念。纳维尔通常被认为是概念。纳维尔通常被认为是现

10、代结构分析现代结构分析的奠基人的奠基人。纳维尔的最大贡献当然还是。纳维尔的最大贡献当然还是N-S方程，方程，流体力学的基本方程。流体力学的基本方程。 23 英国力学家、数学家。英国力学家、数学家。18451845年斯托克斯在年斯托克斯在论运动中流体的内摩擦理论和弹性体平衡和论运动中流体的内摩擦理论和弹性体平衡和运动的理论运动的理论中给出粘性流体运动的基本方程中给出粘性流体运动的基本方程组，后称组，后称纳维纳维- -斯托克斯方程斯托克斯方程，流体力学中最，流体力学中最基本的方程组。基本的方程组。 斯托克斯在数学方面以场论中关于线积分和面积分之斯托克斯在数学方面以场论中关于线积分和面积分之间的一个

11、转换公式（斯托克斯公式）而闻名。间的一个转换公式（斯托克斯公式）而闻名。 纳维纳维从分子假设出发，将欧拉流体运动方程推广，从分子假设出发，将欧拉流体运动方程推广，18211821年获得粘年获得粘性流体运动方程。性流体运动方程。18451845年年斯托克斯斯托克斯从连续系统的力学模型和牛顿关于从连续系统的力学模型和牛顿关于粘性流体的规律出发，给出粘性流体运动的基本方程组，后称纳维粘性流体的规律出发，给出粘性流体运动的基本方程组，后称纳维- -斯托克斯方程。斯托克斯方程。 24N-S方程方程理想流体理想流体=0=0理想流体理想流体欧拉运动欧拉运动微分方程微分方程 定常流动定常流动欧拉欧拉平衡平衡微

12、分方程微分方程25 莱昂哈德莱昂哈德欧拉欧拉 （Leonhard Euler） 17071783 瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位数学家之一两位数学家之一。欧拉是第一个使用欧拉是第一个使用“函数函数”一词来描述包含各种参数一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼函数的定义由莱布尼兹在兹在1694年给出年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。者之一。欧拉在微积分、微分方程、几何、数论、变欧拉在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域均做

13、出了巨大贡献。分学等领域均做出了巨大贡献。 26vpfvvtv21)(非定常项非定常项 对流项对流项单位质量流体的体积力单位质量流体的体积力单位质量流体的压力差单位质量流体的压力差扩散项或粘性力项扩散项或粘性力项N-S方程的矢量形式为方程的矢量形式为各项意义为：各项意义为：27 由于引入了广义牛顿剪切定律，故由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方方程只适用于牛顿流体程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题处理非牛顿流体问题时可用以应力表示的运动方程。时可用以应力表示的运动方程。 NavierNavier-Stokes-Stokes方程是不可压流体理论中最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可压缩粘

14、性流体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方程 。286.36.3基本微分方程组的定解条件基本微分方程组的定解条件 N-SN-S方程有四个未知数，方程有四个未知数，vx、vy、vz和和p，将，将N-SN-S方方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理论上可通过程和不可压缩流体的连续性方程联立，理论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积分得积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程组的定到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件和边界条件，确定积分常数，才解条件，即初始条件和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流动问题的

15、特解。能得到具体流动问题的特解。vpfvvtv21)(291.1.初始条件初始条件 对非定常流动，要求给定变量初始时刻对非定常流动，要求给定变量初始时刻t=tt=t0 0的空间分布的空间分布),(),(),(),(0000zyxppzyxvvzyxvvzyxvvzzyyxx显然，对于定显然，对于定常流动，不需常流动，不需要初始条件。要初始条件。302.2.边界条件边界条件 所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场数值。不同种类的流动，边界条件也不相同。流体流数值。不同种类的流动，边界条件也不相同。流体流动分析中最常遇到的三类边界条件如下：动分析中最常

16、遇到的三类边界条件如下：（1）固体壁面）固体壁面 粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接触，在贴壁处，流体速度触，在贴壁处，流体速度wvv 若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温度连续度连续wTT 31（2）进口与出口）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通常也是需要知道的，如管流。常也是需要知道的，如管流。（3）液体）液体-气体交界面气体交界面 液体液体-气体交界面的边界条件主要有两个：气体交界面的边界条件主要有两个： 运动学条件运动学

17、条件，即通过交界面的法向速度应相等。，即通过交界面的法向速度应相等。 压强平衡条件压强平衡条件，即液体的压强必须与大气压和表，即液体的压强必须与大气压和表面张力相平衡。面张力相平衡。32 根据这些初始条件和边界条件，我们可对根据这些初始条件和边界条件，我们可对基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到符合实际流动的求解结果。符合实际流动的求解结果。 但实际上，只有极少数的问题可求出理论但实际上，只有极少数的问题可求出理论解，解，通常采用数值解法通常采用数值解法。33例题例题：不可压缩粘性流体在距离为：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水的两个大水平板间作定

18、常层流流动，假定流体沿流动方向平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向的压强降已知，求的压强降已知，求: （1 1）两板固定不动两板固定不动;（2 2）下板固定上板以等速下板固定上板以等速U沿流动方向运动；沿流动方向运动；两板间流体运动的速度分布。两板间流体运动的速度分布。流向流向yxb34解：由于流体水平运动，则有解：由于流体水平运动，则有0,0zyxfgff由于流动是一维的，有由于流动是一维的，有vy=vz=0；由于流动是定常的，有由于流动是定常的，有0tvtvtvzyx35)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfDtDvzvyvxvypfDtDvzvyvxvxpfDtDvzzzzzyyyyyxxxxxvvtvDtvD)(水平流动、一维、稳态流动水平流动、一维、稳态流动36所以所以N-S方程可简化为方程可简化为)2() 1 ()(12222ypgyvxvxpxvvxxxx由连续方程可得由连续方程可得)3(0 xvx37将式将式(3)代入式代入式(1)得得)4(22dyvdxpx思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？对上