人教版平行四边形单元易错题难题测试综合卷检测

1、人教版平行四边形单元易错题难题测试综合卷检测2 ,1）A. a2B. a2342.如图,矩形48CD中,AB=2PA+PB+PC的最小值是（）A. 4、/J+3B. 2用3.如图，平行四边形ABC。中AB与DE的延长线交于点F ,5 ,4 ,C. a2D. a299JJ, 8c=6, P为矩形内一点，连接%, PB, PC,贝IJc. 2JJ+6D. 4/54石平分NW。，交BC于点E，且A8 = A石，延长 连接AC, CF .下列结论：AA8C丝AE4O：一、选择题1.点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE, RS FEG的两条直角边EF、EG分别交BC、DC于M、N两点，若正方

2、形ABCD的边长为a,则四边形EMCN的面积（）AA5石是等边三角形：AD = BF；（）一A. 1个B. 2个4.如图，四边形ABCD是平行四边形， 点F, P是EB延长线上一点，下列结论PF = PC.其中正确结论的个数为（D Ec S3EF = Sue?): S'CEF = S、be 中正确的有C. 3个D. 4个点E是边CD上一点，且BC=EC, CF_LBE交AB于 ：BE平分NCBF：CF平分NDCB：BC=FB；)A. 1B. 2C. 3D. 45 .如图，在AA8C中，BC = 4, 8。平分NA8C,过点A作AO_L3。于点D,过点D 悴DEHCB,分别交43、AC于

3、点E、F,若石尸=2。/，则A8的长为（）6 .如图，在菱形A5CO中，若E为对角线AC上一点，且CE = CD,连接OE,若DFA8 = 5,AC = 8,则士&=（）AD7 .如图，在等腰RtzXABC中，ZC = 90°, AC = 8,是川8边上的中点，点。、£分别 在AC、8c边上运动，且保持A£> = CE.连接。£、DF、EF.在此运动变化的过程中，下 列结论：。此是等腰直角三角形；四边形CDFE不可能为正方形，DE长度的最小值为4：四边形CDFE的面积保持不变；口）£而积的最大值为8.其中正确的结论是（）A.B.

4、©C.D.8 .在菱形48CD中，M, N, P, Q分别为边48, 8C, CD, 04上的一点（不与端点重合），对于任意的菱形A8C。，下面四个结论中：存在无数个四边形MA/PQ是平行四边形：存在无数个四边形MNPQ是矩形：存在无 数个四边形MNPQ是菱形：至少存在一个四边形MNPQ是正方形正确的结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个9 .如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点0,点P在边AD上从点A到点D运动，过 点P作PE_LAC于点E,作PF_LBD于点F,已知AB=3, AD=4,随着点P的运动，关于0CD.始终等于3A.先增大，后减小 B,先减小，后增大

5、C.始终等于2.410 .如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE_LBC于点E, PF_LCD于点F,连 接EF给出下列五个结论：AP=EF：4APD一定是等腰三角形：AP_LEF： 走PD=EF.其中正确结论的番号是（）2A. ®®二、填空题B.够C.D.11 .如图，四边形A8CD，四边形EBFG,四边形4A/PN均是正方形，点石、F、N分别在边45、BC、CD、AO上，点”、G、M在4c上，阴影部分的面积 依次记为S1, S?,则5：邑等于.12 .如图，在矩形ABCD中，NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G 是EF的中点，连接CG,

6、BG, BD, DG,下列结论：BC=DF：NOGF = 135°325BG ± DG AB = AD ,则2皿圮=S/dg，正确的4-13 .如图，在平行四边形48CD中，48=6, 8c=4, NA = 120。，E是48的中点，点F在 平行四边形48CD的边上，若为等腰三角形，贝IJEF的长为.14 .如图，菱形A3CQ的边长是4, NA3C = 60。，点E，尸分别是AB，8C边上的 动点（不与点A，B,。重合），且BE = BF,若EGHBC, FG/AB , EG与FG相 交于点G,当AQG为等腰三角形时，况的长为.15 .如图，在 RtZ48C 中，ZBAC=

7、90" , A8 = 8, AC=6.以 8c 为一边作正方形 8DEC 设 正方形的对称中心为0，连接40,则40=.16 .如图，在平行四边形ABCD中，AC±AB, AC与BD相交于点0,在同一平面内将4ABC 沿AC翻折，得到"Bl,若四边形ABCD的面积为24cm2,则翻折后重叠部分（即S.ce） 的面积为cm2.B'NAED等于度.17 .如图，已知在aABC中，AB=AC=13, BC=1O,点M是AC边上任意一点，连接MB,以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是点F为CD上一点，BF与AC交于点E,若NCBF=2

8、O°,则19 .如图，正方形ABCD的边长为4,点E为AD的延长线上一点，且DE = DC,点P为边 AD上一动点，且PCLPG, PG = PC,点F为EG的中点.当点P从D点运动到A点时，则20 .定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1,在R348C中，ZACB=90。，若点。是斜边48的中点，则CD=l48,运用：如图2, 08c中，N84C=90。, 248 = 2, 47=3,点。是8c的中点，将4阳。沿4）翻折得到AED连接8E, CE, DE,则CE的长为.三、解答题21 .如图，在ABC中，ZB=90 AC=60cm, /A=60。，点D从点C出发沿C

9、A方向 以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间 是 ts (0<t<15).过点 D 作 DF_LBC 于点 F,连接 DE, EF.(1)求证:AE = DF：(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；22 .如图1所示，把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形488摆放在一起，使三 角板的直角顶点和正方形的顶点c重合，点& F分别在正方形的边C8, CD上，连接AE、 AF.(1)求证：AE=AF.取

10、4F的中点M，EF的中点N,连接MD, MN,则MD,的数量关系是,MD. M/V的位置关系是将图2中的直角三角板ECF,绕点C旋转180。，如怪| 3所示，其他条件不变，则中的 两个结论还成立吗？若成立，清加以证明：若不成立，请说明理由.图1图2图323 .如图，在平行四边形ABCQ中，的平分线交BC于点E,交。的延长线于 F，以EC、CF为邻边作平行四边形£CFG.(1)求证：四边形EC户G是菱形;(2)连结30、CG,若NA3C = 120。，则MDG是等边三角形吗？为什么？(3)若NA3C = 90。，AB = O, AO = 24, M 是E尸的中点，求DW 的长.24 .

11、如图，点。是正方形ABC。内的一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90。, 得到线段C。,连接BP,OQ.(1)如图甲，求证：NCBP = NCDQ；(2)如图乙，延长族交直线。于点足求证：BELDQ：(3)如图丙，若3CP为等边三角形，探索线段P2PE之间的数量关系，并说明理札25 .已知正方形A8CD点尸是射线。上一动点(不与C,。重合).连接A尸并延长交直 线BC于点E，交80于”，连接CH.在石广上取一点G,使N£CG = NZM”.(1)若点、F在边CD上,如图1,求证：CH 1CG.求证：GFC是等腰三角形.(2)取。/中点M,连接MG.若MG = 3,正方形边长为

12、4,则BE=.26 .如图，在正方形八8CD中，点E是8c边所在直线上一动点(不与点8、C重合)，过 点B作8F_LDE,交射线0E于点F,连接CF.备用图(1)如图，当点E在线段8c上时，Z BDF=a.按要求补全图形；N EBF= (用含a的式子表示)：判断线段8F, CF, DF之间的数量关系，并证明.(2)当点E在直线8c上时，直接写出线段8F, CF, DF之间的数量关系，不需证明.27 .已知E, F分别为正方形ABCD的边BC, CD上的点，AF, DE相交于点G,当E, F分 别为边BC, CD的中点时，有：AF=DE：AF_LDE成立.试探究下列问题：(1)如图1,若点E不是

13、边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF,上述结论， 是否仍然成立？(请直接回答"成立"或“不成立”)，不需要证明)(2)如图2,若点E, F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF,此时，上述结 论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3)如图3,在(2)的基础上，连接AE和BF,若点M, N, P, Q分别为AE, EF, FD, AD的中点，请判断四边形MNPQ是"矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论. 28.在四边形48CD中，对角线AC、8。相交于点0,过点0的直线GH分别交边AB. CD, AD. BC

14、 于点、E、F、G、H.（1）观察发现：如图，若四边形A8C。是正方形，且EF_LGH,易知Sa80e=Saaog，又因为 SAOB= S川边形Q8C。， 所以 S川边影片EOG =S正方即288；4（2）类比探究：如图，若四边形488是矩形，S闪边形aeog=二S班形q8cd，If AB = a, 4AD=b, BE=m,求AG的长（用含。、b、m的代数式表示）：（3）拓展迁移：如图，若四边形488是平行四边形，且Srwog=Ls.e 若9=图图图29.已知三角形纸片ABC的面积为48, BC的长为8.按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁 剪和拼图：第一步：如图L沿三角形ABC的中位线DE将纸

15、片剪成两部分.在线段DE上任意取一点 F,在线段BC上任意取一点H,沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分： 第二步：如图2,将FH左侧纸片绕点D旋转180° ,使线段DB与DA重合;将FH右侧纸片 绕点E旋转180° ,使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片.（1）当点F, H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四 边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为.30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF, AE=AF （AE<AD）,连接DE、BF, P是 DE的中

16、点，连接AP.将4AEF绕点A逆时针旋转.（1）如图，当4AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位 置关系为，数量关系为.（2）当4AEF绕点A逆时针旋转到如图所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成 立.（3）若AB=3,AE=1,则线段AP的取值范围为.E【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. D解析：D【解析】【分析】根据题意过E作EK垂直于直线CD,垂足为K,再过E作EL垂直于直线BC,垂足为L,只要证明AENK = AELM，则可计算S四边形白帽” =soekcl .【详解】解：根据题意过E作EK垂直于直线CD,垂足为K,再过E作EL垂直

17、于直线BC,垂足 为L.,/四边形ABCD为正方形EL=EKEK LCD,EL±BCZELM = /EKN = 90。/BCD =96：.AKEL = 90°.FEG为直角三角形/. NKEM + NLEM = ZKEM + 4NEK = 90°/LEM = ZNEKENK 三 AELM 二 S四边形= S口 ekcl =(3 a 1=ga故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线.2. B解析：B【解析】【分析】将aBPC绕点C逆时针旋转60° ,得到AEFC,连接PF、AE、AC,则AE的长即为所求.【详解】解：将ABPC绕点

18、C逆时针旋转60° ,得到AEFC,连接PF、AE、AC,则AE的长即为所由旋转的性质可知：4PFC是等边三角形,，PC=PF,VPB=EF,APA+PB+PC=PA+PF+EF,当A P、F、E共线时,PA+PB+PC的值最小, 四边形ABCD是矩形，A ZABC=90° , z AB y/3 tan NACB =二 «BC 3A ZACB=30° , AC=2AB=46, VZBCE=60° , ，NACE=90° ,AE=（4/3）2+62=2>/2T.故选B.【点睛】本题考查轴对称一最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，

19、解题的关键是学会添加常用 辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.3. C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出ADBC, AD=BC,由AE平分NBAD,可得NBAE二NDAE,可得NBAE二NBEA,得AB二BE,由AB=AE,得到4ABE是等边三角形，正确：则 ZABE=ZEAD=60% 由 SAS 证明ABCg/EAD,正确；由4FCD 与4ABD 等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S"cd=Smbd，由AEC与DEC同底等 高，所以 Saaec=S&dec，得出 Saabe=S&cef,正.确.【详解】解：.四边形ABCD是平

20、行四边形，ADBC, AD=BC, AZEAD=ZAEB.又平分/BAD,，NBAE=NDAE,AZBAE=ZBEA, ，AB 二 BE,VAB=AE>.ABE是等边三角形： 正确；，ZABE=ZEAD=60°, VAB=AE» BC=AD, 在4ABC和AEAD中，'AB = AE< NABE = ZEAD ,BC = AD toAAABCAEAD （SAS）；正确；:FCD与ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等）， S,LFCD=SaABC，又AEC与4DEC同底等高，S.nAEC=SlDEC，S.aabe=Sacef;正确；若 AD

21、 与 AF 相等，KPZAFD=ZADF=ZDEC,即 EC=CD=BE,即 BC=2CD,题中未限定这一条件，不一定正确；故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此 题比较复杂，注意将每个问题仔细分析.4. D解析：D【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答 案.【详解】证明：如图：*. BC=EC,，/CEB=NCBE, 四边形ABCD是平行四边形，DC: AB,，NCEB=NEBF,，NCBE=NEBF,，BE平分NCBF,正确： BC=EC, CF±BE,AZECF=ZBCF,，

22、CF平分NDCB,正确： DC/7AB,，NDCF=NCFB,VZECF=ZBCF,，NCFB=NBCF,，BF = BC, 正确：；FB = BC, CF±BE, .B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC,，PF = PC,故正确.故选：D.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知 识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键.5. D解析：D【分析】延长A。、8C交于点G,根据三线合一性质推出AA3G是等腰三角形，从而可得D是4G的中点，E是A3的中点，再利用中位线定理即可得.【详解】如图，延长A。、BC交于点、G 3。平分乙48。

23、，于点D/. ZABD = NGBD、ZADB = AGDB = 90° ABAD = ZGAB = BG, D是4G的中点 DEHBG，E是A8的中点，F是4c的中点，。石是A43G的中位线，E厂是AABC的中位线EF = -BC = 2,BG = 2DE2又，：EF = 2DF . DF = ：DE = EF + DF = 3 . BG = 2DE = 6 AB = 6故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形 是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不 到位.6. . B解析：B【分析

24、】连接BD,与AC相交于点0,则AC_LBD, AO = -AC = 4,由AO = AB = 5,根据勾股 2定理求出DO,求出EO,由勾股定理求出DE,即可得到答案.【详解】解：连接BD,与AC相交于点O,则AC_LBD,在菱形A3CQ中，AO = -AC = 492 AD = AB = CD = 59在RtAOD中，由勾股定理，得：DO =6-4? =3,/ CE = CD=5, AC = S, A七=8-5 = 3,:.0E = 43 = 1,在RtZXODE中，由勾股定理，得DE = j32+E =M，.DE M =.AD 5故选：B.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及线段

25、的和差关系，解题的关键是正确作出辅助 线，利用勾股定理求出DE的长度.7 . B解析：B【分析】连接CF,证明ADFgZkCEF,得到AEDF是等腰直角三角形；根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理 进行判断：当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；根据 ADF=ACEF,得到S四边彩ccfd=Saafc;由的结论进行计算即可.【详解】连接CF.c:ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点，AZFCB=ZA=ZB=45 CF=AF=FB,VAD=CE,AAADFACEF,，EF=DF, NAFD=NCFE,ZAFD+

26、ZCFD=90°,，ZCFE+ZCFD=ZEFD=90°,.EDF是等腰直角三角形，正确；当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为RtAAFC和RtaBFC斜边上的中线,11ACD=DF=-AC, FE=EC=-BC, 22ACD=DF=FE=EC,四边形CDFE是菱形，又NC=90。，.四边形CDFE是正方形，错误；由于4DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，当DF_LAC时，DE最小，此时EF=DF=1bC=4.,DE=1dF? + EF? = M + 4? = 4&，错误;:ADF 也CEF,/ Sacef=S/.adf>*S 凶

27、边形 cefd=Saafc,四边形CDFE的面积保持不变，正确：由可知当DE最小时，DF也最小，DF的最小值是4,则DE的最小值为45历，当4CEF而积最大时，此时ADEF的面积最小.此时 Saccf=Scefd-Sadef=Saafc-Sadef=16-8=8> 正确:综上，正确的是：，故选:B.【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方 形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的 关键.8. D 解析：D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结 论.【详解】如

28、图，连接AC, BD交于0,四边形ABCD是菱形，过点0直线MP和QN,分别交AB, BC, CD, AD于M, N, P, Q,则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形：故正确:如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确:当PM_LQN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确;当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正 方形：故正确：综上，4个均正确，故选：D.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各 定理是解题的关键.9. C解析：

29、c【分析】 在矩形ABCD中，由矩形边长，可得矩形面积是12,进而得与皿=；5地切8四=3，由矩 形对角线相等且互相平分得AO = OC, OB = OD, AC = BD,利用勾股定理可解得 4。= 5 厕。4 = 00 = 2,2S .OD =+ S nop = OAPE + ODPF = OA(PE + PF) = 3 ,即可求出 PE+PFa/f /» l/j的值.【详解】解：连接P0,如下图:; 在矩形 488 中，AB=3, AD=4,.S.e=A&8C = 12, AO=OC, OB=OD, AC=BD, AC=JaB、BC2 = 5, S,AOD = W 5飒

30、8C。= W X 12 = 3 ,OA = OD =, 2Sj°d= L” + 5次= ； QA PE + J OD.PF = | OA(PE + PF) = lx|(PE + PF) = 3 乙乙乙乙 乙12:.PE+PF = = 24； 故选C.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角 形的斜边：利用而积法求解，是本题的解题突破点.10. C解析：C【分析】 过P作PG_LAB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明AGPg/kFPE 后即可证明AP=EF：在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在RtDPF中, D

31、P2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得立 DP = EC，即可得到答案.2【详解】证明：过P作PG_LAB于点G,AGP=EP,在4GPB 中，NGBP二45。，AZGPB=45，GB=GP,同理,得PE=BE,VAB=BC=GF>JAG二AB-GB, FP二GFGP=AB-GB,，AG=PF,/AGPAFPE,.AP=EF：故正确： 延长AP至IJEF上于一点H,AZPAG=ZPFH./ ZAPG=ZFPH, AZPHF=ZPGA=90°, 即AP_LEF：故正确:,:点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45度, .当NPAD=45度或67.5

32、度或90度时，"PD是等腰三角形， 除此之外，4APD不是等腰三角形，故错误.VGF/BC,，NDPF=NDBC, XVZDPF=ZDBC=45",，NPDF=NDPF=450,APF=EC,，在 RtA DPF 中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,工上OP = EC,故错误.2正确的选项是：故选：C.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质, 勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题.二、填空题11 . 4:9【分析】设 DP = DN = m,则 PN=J5m, PC=2m, AD=CD

33、= 3mt13再求出 FG=CF= BC=一m,分 22别求出两个阴影部分的而枳即可解决问题.【详解】根据图形的特点设DP = DN = m,则PN =+& m,APM=72 m=MC, PC= J PM、+ MC? =2 m, /. BC=CD = PC+DP=3m,四边形"MPN是正方形,AGF1BC ,/ ZACB = 45° ,/. FGC是等腰直角三角形,13AFG=CF= BC=-m, 22故答案为4： 9.【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中 考常考题型.12 .©【分析】由矩形的性质可得 A

34、B=CD, AD=BC, ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°, AC=BD,由角平分 线的性质和余角的性质可得NF=NFAD=45。，可得AD=DF=BC,可判断；通过证明 DCGABEG,可得NBGE=NDGC, BG=DG,即可判断；过点G作GH_LCD于H,设 AD=4x=DF, AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性质可得 HG=CH=FH=gx, DG=GB=WIx,由三角形面积公式可求解，可判断.22【详解】解：.四边形ABCD是矩形，AB=CD, AD=BC, ZBAD= ZABC= ZBCD= ZADC=90°, AC=BD,

35、 AE 平分/BAD,，N BAE= N DAE=45°, ，NF二/FAD,，AD 二 DF,A BC=DF,故正确; VZEAB=ZBEA=45°,，AB 二 BE=CD,VZCEF=ZAEB=45% ZECF=90°, .,.CEF是等腰直角三角形， ,点G为EF的中点,.CG=EG, NFCG=45°, CG±AG, AZBEG=ZDCG=135°, 在ADCG和abeg中，BE=CD ZBEG=ZDCG, CG=EGAADCGABEG (SAS). AZBGE=ZDGC, BG=DG, VZBGE<ZAEB, AZDG

36、C=ZBGE<45% VZCGF=90%AZDGF<135故错误: VZBGE=ZDGC,，Z BGE+ Z DGA= Z DGC+ Z DGA, AZCGA=ZDGB=90",A BG±DG,故正确： 过点G作GH_LCD于H,3/ AB = -AD, 4，设 AD=4x=DF, AB=3x,.CF=CE=x, BD= Jab】+ A。' =5x，VACFG, 4GBD是等腰直角三角形，.15 72AHG=CH=FH= x, DG=GB=1x, 22 12125 2 Sadgf= _ xDFxHG=x , S/.bdg= DGxGB二x ,22425S

37、, bog = S/DG » 故正确：故答案为：.【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.1s .3#或3或等【分析】 AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解.【详解】解：当AE="时，如图，过点A作A_L£F于H, E是A8的中点，.AEJA5 = 3, 2 AE=AF AH 1EF，ZA = 120°, .Z4£F = Z4庄= 30。，FH = EH，：.AH

38、 = AE = l，EH = 43AH=, 222EF = 2EH = 3/，当= E尸时，如图2,过点A作ANJLCD于N,过点尸作于M ,在平行四边形ABC。中，48 = 6，8C = 4，ZA = 120% .AD = BC = 4, Z4£>C = 60°,4 DAN = 30°,:DN = gAD = 2, AN = 6dN = 26v AB/CD, AN 人 CD, FM A.AB, .AN = MF = 26，Y AF = EF，EW_LA8，3.AM=ME =，2:.EF = y/ME2+MF2 =2当4£ =石尸=3时，如图3,D

39、，EF = 3,综上所述：石尸的长为34或3或半 2【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问 题是本题的关键.84 l14. _或4_>/5 33【分析】连接AC交BD于O,由菱形的性质可得AB二BC二4, ZABD=30% ACJ_BD, B0=D0, A0=C0,可证四边形BEGF是菱形，可得NABG=30°,可得点B,点G,点D三点共线，由 直角三角形性质可求BD=4/, AC=4,分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.【详解】如图，连接AC交BD于O,菱形ABCD的边长是4, ZABC=60°,JAB=BC=

40、4, ZABD=30% AC±BDt BO=DO, AO=CO,EGBC, FGAB,.四边形BEGF是平行四边形，又BE二BF,.四边形BEGF是菱形，ZABG=30°>.点B,点G,点D三点共线，VAC±BD> ZABD=30% .ao=；ab=2, bo= yjAB2-AO2 = a/42-22 = 273 »ABD=4>/3 > AC=4，_BG同理可求 BG=>/3 BE,即 BE=-y=r , 若 AD=DG'=4 时，ABG,=BD-DG,= 473-4 ,.RF, 473-4 . 46 百 3若AG&

41、#39;三G"D时,过点G"作G”H_LAD于H, AAH=HD=2,VZADB=30% G,H±AD.，DG”=2HG”，: HD2 + HGm2 = DG ,2,解得：HG“二X1 3BG"=BD-DG-= 473 -,83综上所述：BE为'或4-士E.33【点睛】 本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论 思想解决问题是本题的关键.15. 772：【分析】连接AO、BO、CO,过O作FOLAO,交AB的延长线于F,判定AOCg/FOB (ASA), 即可得出 AO=FO, FB=AC=6,进而得到 A

42、F=8+6=14, ZFAO=45% 根据 AO=AFxcos450进行计 算即可.【详解】解：连接AO、BO、CO,过O作FOJ_AO,交AB的延长线于F,70是正方形DBCE的对称中心，A BO=CO, ZBOC=90%V FO±AO> ，ZAOF=90% ，NBOC=NAOF, 即 ZAOC+ Z BOA= ZFBO+Z BOA,，NAOC=NFBO, ZBAC=90°,，在四边形 ABOC 中，ZACO+ZABO=180°, VZFBO+ZABO=180",/. ZACO=ZFBOt在AOC和FOB中， ZAOC = /FOB< AO

43、 = FO , ZACO = NFBOAAAOCAFOB (ASA), AAO=FO, FB=FC=6tAAF=8+6=14, ZFAO=ZOFA=45% .AO=AFxcos450=14xg = 7& . 故答案为7 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.16.6【分析】由折叠的性质可得NBAC=NB'AC=90° , AB=AB', SAABc=SAAB'c=12cm2,可证点 B,点 A,点 三点共线，通过证明四边形ACDB，是平行四边形，

44、可得B，E=CE,即可求解.【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD, SAABc=-x24=12cm 2 ,在同一平面内将AABC沿AC翻折，得到AAB' C, .ZBAC=ZB'AC=90° , AB=AB S“bc0ab，c=12cm2, AZBAB'=180" , 点B,点A,点8三点共线，.ABCD, AB'CD, .四边形ACDB'是平行四边形， AB'E=CE,. 1 , Saace= SAAB'c=6cm，故答案为：6.【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B,点A,点夕三点

45、共线是本题 的关键.17.1207T【分析】设MN与8c交于点O,连接AO,过点O作0H_L4C于"点，根据等腰三角形的性质和勾 股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是20H.【详解】解：设M/V与8c交于点0,连接A0,过点。作0HL4C于”点，V四边形MCNB是平行四边形, ，0 为 8c 中点，MN=2M0.9：AB=AC=13, 8c=10, ：.AOLBC.在RtZLAOC中，利用勾股定理可得A0= Jac2-CO2 = J13 二 51 = 12 利用而枳法：AOXCO=ACXOH,HP 12 X 5=13

46、X OH,解得 0=竺.13当MO最小时，则M/V就最小，O点到AC的最短距离为OH长，60所以当M点与点重合时，MO最小值为。片长是120所以此时MN最小值为2OH=13120故答案为：.13【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的 关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中我静.18. 65【分析】先由正方形的性质得到NABF的角度，从而得到NAEB的大小，再证AEBgAED,得到 ZAED的大小【详解】 四边形ABCD是正方形A ZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45° , NABC=90° , AB

47、=ADV ZFBC=20° , AABF=70°，在AABE 中，ZAEB=65°在4ABE与AADE中AB = AD NBAE = ZEAD = 45°AE = AE ABE 组 ADE，ZAED=ZAEB=65°故答案为:65°【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出 ZAEB的大小.19. 242【分析】由正方形ABCD的边长为4,得出AB=BC=4, ZB=90° ,得出AC=4点，当P与D重合 时，PC=ED=PA,即G与A重合，则EG的中点为D,即F与D重合，当点P从D点

48、运动到 A点时，则点F运动的路径为DF,由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是AEAG 的中位线，证得NFDA=45° ,则F为正方形ABCD的对角线的交点，CFJ_DF,此时CF最小，此时CF=；AG=2五.【详解】解：连接FD正方形ABCD的边长为4, AAB=BC=4, ZB=90° , ，AC=4忘，当P与D重合时，PC=ED=PA,即G与A重合， ；EG的中点为D,即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF. ,，D是AE的中点，F是EG的中点， ADF是AEAG的中位线，DFAG,V ZCAG=90" , ZCAB=45&qu

49、ot; , A ZBAG=45° , AZEAG=135" , AZEDF=135" , A ZFDA=45" ,，F为正方形ABCD的对角线的交点，CF1DF, 此时CF最小， 此时CF=；AG=20 故答案为：2点.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键.20.巫 13 【分析】根据LL可得根据 1ad8O=8。乂“，得08 = 221322 久里，再根据8E=2O8=29I,运用勾股定理可得EC.1313【详解】设8E交八。于0,作8c于从在 R28C 中，Z8/4C=90° , 48 = 2, 4c=3,由勾股

50、定理得：BC=g点。是8c的中点，於：.AD=DC=DB=y.29： -BCAH=-ABAC.22.,o- 6M 月片一- ,139；ae=ab. de=db,点A在BE的垂直平分线上，点D在8E的垂直平分线上,£»垂直平分线段8E,11/ -ADB0=-BDAH.22CA- 6岳13丽2疝 at "" zcjb ,139：DE=DB=CD ,，NDBE=NDEB, ZDEC=ZDCE,AZDEB+ZDEC=-X180° =90° ,即：ZBEC=90" ,2本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三

51、角形斜边长的 中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键.三、解答题21 . （1）证明见解析：（2）能，10： （3）彳，理由见解析：2【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD, DF, AE的式子，即可证明.（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF,求解即可得出t值.（3）由题意可知，当DEBC时，4DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代 入式子求值即可.【详解】（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形 VZB=90% ZA=60° ，NC=30。，CD=2DF, 又,:由题意知CD=43 AE=2t,ACD=2AEAAE=DF.

52、（2）能，理由如下； 由（1）知 AE=DF 又：DF_LBC, ZB = 90° ，AEDF，四边形AEFD是平行四边形.当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形VAC=60cm» DF=?CD, CD=4t, 2AAD=60-4t, DF=2t,A60-4t=2t/.t=10.（3）当t为"时，ADEF为直角三角形，理由如下： 2由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF±BC, AEDF, ，当 DEBC 时，DF±DE.ZFDE=ZDEA=90°在4AED中，VZDEA=90% ZA=60°, AE=2t AAD=4

53、t, 又AC=60cm, CD=4t, AAD+CD=AC, 8t=60,15At=即弋=，时，NFDE=NDEA=90°, ZkDEF为直角三角形. 2【点睛】本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形 的性质是解题的关键.22 . （1）见解析：（2）相等，垂直：（3）成立，理由见解析【分析】由等腰直角4ECF得到CE=CF,再由正方形ABCD进一步得到BE=DF,最后证明 ABEA ADF即可求解：MN是4AEF的中位线，得到AE=2MN,又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到 AF=2MD,再由中的 AE=AF 即可得到 MN=MD：由N

54、DMF = NDAF+NADM, ZFMN = NFAE, ZDAF=ZBAE, ZADM = ZDAF= ZBAE,由此得到N DMN = N BAD=90°： 连接AE,同中方法证明 ABEA ADF,进而得到AE=AF,此时MN是A AEF中位线， MD是直角 ADF斜边上的中线，证明方法等同中即可求解.【详解】解：（1）证明：如图1中，1 四边形488是正方形 A8=AD=BC=CD, Z 8=N ADF= 90°,CEF是等腰直角三角形，Z C=90% , CE=CF,：.BC CE=CD- CF,即 BE=DF,：. ABE 4 ADF （SAS）, . AE=

55、AF.如图2中，MD, MN的数量关系是相等，MD. MN的位置关系是垂直，理由如下: 在RtA ADF中DM是斜边AF的中线，：.AF=2DM.D图2,MN是4EF的中位线，.AE=2MN,由（1）知：AE=AF9 ：.DM=MN； / Z DMF=A DAF+i ADM, AM=MD, Z FMN=N FAE, Z DAF=Z BAE,：.Z ADM=A DAF=A BAE,：.Z DMN=A 8/40 = 90%，DMLMN,故答案为：相等，垂直：如图3中，（2）中的两个结论还成立，理由如下: 连接AE，交MD于点G,如下图所示，图3,点M为4F的中点，点/V为斤的中点,1/. MN/AE. MN= AE, 2由(1)同理可证